Tài liệu Tự học Toán 8 - Phần 4

 Tự học Toán 8
Nhóm word tài liệu Tự học Toán 8
 Bài 5
 BẤT PHƯƠNG TRÌNH TÍCH. BẤT PHƯƠNG TRÌNH THƯƠNG
 Một số ví dụ
  Ví dụ 1. Giải bất phương trình x2 2x 1 9 .
 Lời giải
Cách 1:
x2 2x 1 9 (x 1)2 9
 | x 1| 3
 3 x 1 3
 2 x 4
Cách 2 :Biến đổi thành bất phương trình dạng tích:
x2 2x 8 0 (x 2)(x 4) 0
Lập bảng xét dấu các nhị thức x 2 và x 4:
 2 4
 x
 +
 x 2 - 0 +
 x 4 - - 0 +
 Nghiệm của bất phương trình đã cho là: 2 x 4
 1 5x
  Ví dụ 2. Giải bất phương trình 1.
 x 1
Điều kiện xác định: x 1.
 Lời giải
1 5x 1 5x
 1 1 0
 x 1 x 1
Nhóm word tài liệu Tự học Toán 8
 1 5x x 1
 0
 x 1
 2 6x
 0
 x 1
Lập bảng xét dấu
 1
 x 1
 3
 1 3x 0 
 x 1 0 
 1 3x
 0 
 x 1
 1
Vậy nghiệm của bất phương trình là x 1 W
 3
 Bài tập tự luyện
Bài 1.Giải các bất phương trình sau:
 2 3 3 2
 a)4x 4x 1 9 b) x 27 x 1 2x 3 x 0
 x3 4x2 5x 20 x2 2x 2 x2 4x 5
 c) 0 d) 1 
 x3 x2 10x 8 x 1 x 2
 Lời giải
a) Cách 1. Biến đổi bất phương trình tích
 4 x 1 x 2 0
Cách 2 .Đưa bất phương trình về dạng
| 2x 1| 3
Đáp số: x 2; x 1.
b) Hai nghiệm 1,3 .
c) x 2; 1 x 4; x 4
d) x 2; x 1
Nhóm word tài liệu Tự học Toán 8
 1 x x 3 x 3 x 1 
Bài 2. Tìm điều kiện của x để biểu thức sau có giá trị âm: A : 
 x 3 x 1 x 1 x 3 
 Lời giải
 x2 2x 5
A ;
 4 x 1 
A 0 x 1 đồng thời x 1 W
Bài 3. Tìm điều kiện của x và y để biểu thức sau có giá trị dương: 
 x2 xy x2 y2 y2 1 
 A 2 2 : 3 2 
 y xy x xy x xy x y 
 Lời giải
 x y 2
A ; A 0 y 0; x 0, x y
 y
Bài 4. Tìm điều kiện của x và y để biểu thức sau lớn hơn 1:
 x x y y2 1 x
 A 2 2 : 3 2 : .
 y xy x xy x xy x y y
 Lời giải
 x y y
A 1 A 1 xy 0; x y 0
 x x
 x 2
Bài 5. Tìm điều kiện của x để biểu thức sau lớn hơn 1: 
 x 2 x 3
 Lời giải
2 x 3
 2
Bài 6. Tìm điều kiện của m để phương trình sau có nghiệm âm: 4 m
 x 1
 Lời giải
Nhóm word tài liệu Tự học Toán 8
 6 m
 x với m 4 .
Nghiệm của phương trình: 4 m
 Phương trình có nghiệm âm, vậy 4 m 6 .
Nhóm word tài liệu Tự học Toán 8
 Bài 6
 CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
 Tóm tắt lý thuyết
A. CÁC TÍNH CHẤT CỦA BÁT ĐẲNG THỨC
Ngoài các tính chất của bất đẳng thức được nêu ở §11, ta còn sử dụng các tính chất sau:
1. Cộng từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều, được bất đẳng thức mới cùng chiều với các bất đẳng 
thức đã cho:
 a b,c d a c b d
Chú ý: Không được trừ từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều.
2. Trừ từng vế của hai bất đẳng thức ngược chiều được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng 
thức bị trừ:
 a b,c d a c b d
3. Tính chất đơn điệu của phép nhân
1. Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số dương:
 a b,c 0 a c bc.
2. Nhân hai vế của bất đửng thức với cùng 1 số âm và đổi chiều của bất đẳng thức:
 a b,c 0 a c bc
4. Nhân hai vế của bất đẳng thức cùng chiều mà hai vế không âm a b 0,c d 0 ac bd
5. Nâng lên lũy thừa bậc nguyên dương hai vế của bất đẳng thức:
a b 0 an bn ; 
a b an bn với n lẻ; 
| a | | b | an bn với n chẵn.
6. So sánh hai lũy thừa cùng cơ số với số mũ nguyên dương:
Nếu m n 0 thì a 1 am an ;
Nhóm word tài liệu Tự học Toán 8
 a 1 am an ;
 0 a 1 am an .
7. Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều của bất đẳng thức nếu hai vế cùng dấu:
 1 1
 a b,a b 0 ( xem bài325a ); 
 a b
Chú ý: Ngoài các bất đẳng thức chặt, chẳng hạn a b , ta còn găp các bất đang thức không chăt, 
chẳng han a b (tức là a b hoăc a b) . Trong các tính chất trên, nhiều dấu (hoặc ) có thể 
thay bởi dấu (hoăc ).
B. CÁC HẰNG BẤT ĐẲNG THỨC
1. Ngoài các hằng bất đẳng thức a2 0; a2 0 , cần nhớ các hằng bất đẳng thức liên quan đến giá 
trị tuyệt đối:
| a | 0 . Xảy ra đẳng thức khi a 0 ;
| a | a . Xảy ra đẳng thức khi a 0 ; | a b | | a | | b |. Xãy ra đẳng thức khi ab 0 ; 
| a b | | a | | b |. Xãy ra đẳng thức khi ab 0 và | a | | b | (các điều kiện này còn có thể diễn đạt là 
 a b 0 hoặc a b b 0 ).
Chứng minh bất đẳng thức | a b | | a | | b | như sau:
| a b | | a | | b | 1 
 a2 2ab b2 a2 2 | ab | b2 (vì hai vế của 1 không âm) Bất đẳng thức 2 đúng, vậy 1 là
 ab | ab | 2 đúng. 
Chứng minh bất đẳng thức | a b | | a | | b | 3 như sau:
Nếu | a | | b | thì 3 hiển nhiên đúng Nếu | a | | b | thì (3) tương đương với:
| a b |2 (| a | | b |)2 a2 2ab b2 a2 2ab b2 | ab | ab
Bất đẳng thức 4 đúng, vậy 3 đúng.
2. Cũng cần nhớ thêm một số hẳng bất đẳng thức khác để khi giải toán có thể sử dụng chúng như 
một bổ đề, chẳng hạn:
 a2 b2 2ab;
Nhóm word tài liệu Tự học Toán 8
 2
 a b 2 1 1 4
 hay (a b) 4ab (bất đẳng thức Cô - si); với a,b 0 (ví dụ 77);
 2 a b a b
a b
 2 với a,b 0 (bài 325).
b a
 a2 b2 x2 y2 (ax by)2 (bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, xem bài 324)
C. CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
 Một số ví dụ
1. Dùng định nghĩa
Để chứng minh A B , ta xét hiệu A B và chứng minh rằng A B là số dương
  Ví dụ 88 Chứng minh rằng: (x 1)(x 2)(x 3)(x 4) 1
 Lời giải
Xét hiệu (x 1)(x 2)(x 3)(x 4) ( 1) x2 5x 4 x2 5x 6 1.
Đặt x2 5x 5 y , biểu thức trên bằng (y 1)(y 1) 1 y2 0 . 
Vậy (x 1)(x 2)(x 3)(x 4) 1.
  Ví dụ 89 Cho các số dương a và b thỏa mãn điều kiện a b 1. Chứng minh rằng: 
 1 1 
 1 1 9
 a b 
 Lời giải
Ta có
 1 1 
 1 1 9 (1) 
 a b 
 a 1 b 1
  9 ab a b 1 9ab( vì ab 0)
 a b
Nhóm word tài liệu Tự học Toán 8
 a b 1 8ab 2 8ab( vì a b 1)
 1 4ab (a b)2 4ab( vì a b 1)
Bất đẳng thức (2) đúng, mà các phép biến đổi trên tương đương, vậy bất đẳng thức (1) được chứng 
 minh .
Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi a b . Cách giải khác 
 1 1 a b a b b a 
 1 1 1 1 2 2 .
 a b a b a b 
 a b
Thực hiện phép nhân và chú ý rằng 2 do a 0,b 0 .W
 b a
Khi sử dụng phép biến đổi tương đương, cần chú ý các biến đổi tương đương có diều kiện, chẳng 
hạn: a2 b2 a b với a,b 0
 m n am an với m, n nguyên dương, a 1.
Cần chỉ rõ các Điều kiện ấy khi biến đổi tương đương.
 1
  Ví dụ 90 Cho a b 1. Chứng minh rằng a4 b4 
 8
3. Dùng các tính chất của bất đẳng thức
Ta có a b 1 0 1 
 Lời giải
Bình phương hai vế (a b)2 1 a2 2ab b2 1 2 
Mặt khác (a b)2 0 a2 2ab b2 0 3 
Cộng từng vế của (2) và (3) :
 1
 2 a2 b2 1 a2 b2 4 
 2
 1
Bình phương hai vế của 4 a4 2a2b2 b4 5 
 4
 2
Mặt khác a2 b2 0 a4 2a2b2 b4 0 6 
Cộng từng vế của (5) và (6) :
Nhóm word tài liệu Tự học Toán 8
 1 1
2 a4 b4 a4 b4 
 4 8
 a2 b2 c2 c b a
  Ví dụ 91 Chứng minh bất đẳng thức: .
 b2 c2 a2 b a c
 2 2
 Áp dụng bất đẳng thức x y 2xy Lời giải (xảy ra đẳng thức khi x y , ta có:
a2 b2 a b a
 2  2 .
b2 c2 b c c
 b2 c2 a
Tương tự 2
 c2 a2 a
 c2 a2 c
 2
 a2 b2 b
Cộng từng vế của ba bất đẳng thức trên :
 a2 b2 c2 a b c a2 b2 c2 a b c
2 2 2 2 2 2 2 2 .
 b c a c a b b c a c a b
  Ví dụ 92 Chứng minh các bất đẳng thức với a,b,c là các số dương
 1 1 1 a b c
 a) (a b c) 9; b) 1,5
 a b c b c c a a b
a). Ta có:
 Lời giải
 1 1 1 a a b b c c a b a c b c 
A (a b c) 1 1 1 3 
 a b c b c a c a b b a c a c b 
 x y
Để chứng minh 2 với x, y dương ( bài 325 )
 y x
Do đó A 3 2 2 2 9.Vậy A 9 .
Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi a b c .
Nhóm word tài liệu