Tài liệu Tự học Toán 8 - Phần 3

 Tự học toán 8
 Bài 5
 TÍNH CHẤT CHIA HẾT ĐỐI VỚI ĐA THỨC
 TÌM DƯ CỦA PHÉP CHIA MÀ KHÔNG THỰC HIỆN PHÉP CHIA 
 1. Đa thức chia có dạng x - a ( a là hằng ) .
  Ví dụ 1. Chứng minh rằng số dư khi chia đa thức f x cho nhị thức x a bằng giá trị của 
 đa
 thức f x tại x a
 Định lí Bê-du( Bézout, 1730-1783, nhà toán học Pháp)
Dự án 1: Bài tập Toán 8 Lời giải
 Do đa thức chia x a có bậc nhất nên số dư khi chia f x cho x a là hằng số r
 Ta có: f x x a Q x r
 Đẳng thức trên đúng với mọi x nên với x a , ta có
 f a 0Q x r hay f a r
 ˆ
 Từ đinh lí B e du ta suy ra
 Đa thức f x chia hết cho x a khi và chi khi f a 0 (túc là khi a là nghiệm của da thức).
  Ví dụ 2. Chứng minh rằng nếu đa thức f x có tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức ấy chia 
 hết cho x 1 
 Lời giải
 n n 1
 Gọi f x a0 x a1x  an 1x an
 Theo giả thuyết, a0 a1  an 0
 Theo định lý Bê-du, số dư khi chia f x cho x 1 là
 r f 1 a0 a1  an 1 an
 Từ (1) và (2), suy ra r 0 .
 Vậy f x chia hết cho x 1
 Nhóm word hóa tài liệu Tự học toán 8
  Ví dụ 3. Chứng minh rằng nếu đa thức f x có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn 
 bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ thì đa thức ây chia hết cho x 1 
 Lời giải
 2n 2n 1 2n 2 2
 Gọi f x a0 x a1x a2 x  a2n 2 x a2n 1x a2n , trong đó, a0 có thể bằng 0 . Theo 
 giả thuyết, a0 a2 .. a2n a1 a3  a2n 1 nên
 a0 a2  a2n a1 a3  a2n 1 0
 Theo định lí Bê-du, số dư khi chia f x cho x 1 bằng
 r f 1 a0 a1 a2 a3  a2n 2 a2n a a2n
 a0 a2  a2n a1 a3  a2n 1 
 Từ (1) và (2), suy ra r 0 .
 Vậy f x chia hết cho x 1.
Dự án 1: Bài tập Toán 8 1. Đa thức có bậc tử từ bậc hai trở lên
  Ví dụ 4. Tìm dư khi chia x7 x5 x3 1 cho x2 1
 Lời giải
 Để tìm dư trong trường hợp này, ta thường dùng các cách sau:
 Cách 1. (Tách ra ở đa thức bị chia nhưng đa thức chia hết cho đa thức chia).
 Ta biết rằng xn 1 chia hết cho x 1 với mọi số tự nhiên n nên x2n 1 chia hết cho x2 1.
 Do đó x4 1, x6 1, chia hết cho x2 1.
 Ta có :
 x7 x5 x3 1 x7 x x5 x x3 x 3x 1
 x x6 1 x x4 1 x x2 1 3x 1 
 Dư khi chia x7 x5 x3 1 cho x2 1 là 3x 1.
 Cách 2. (Xét giá trị riêng).
 Gọi thương là Q x , dư là ax b . Ta có
 x7 x5 x3 1 x 1 x 1 Q x ax b,x
 Đẳng thức đúng với mọi x nên với x 1, ta được 4 a b . (1)
 Với x 1 ta được 2 a b . (2) 
 Từ (1) và (2), suy ra a 3,b 1.
 Dư phải tìm là 3x 1.
 Nhóm word hóa tài liệu Tự học toán 8
 Để tách ra các đa thức chia hết cho x2 1 hoăc x2 1, cần nhớ lai các hằng đẳng thức 8 và 9 :
 an bn a b a b ; 
 an bn  a b a b , n lẻ
 SƠ ĐỒ HOÓC-NE
 1. Các ví dụ
  Ví dụ 5: Chia các đa thức
 a) x3 5x2 8x 4 : x 2 b) x3 9x2 6x 10 : x 1 
 c) x3 7x 6 : x 3 
 Lời giải
 1. Thương là x2 3x 2 .
Dự án 1: Bài tập Toán 8
 2. Thương là x2 10x 16 , dư là 6
 3 . Thương là x2 3x 2 .
 2. Sơ đồ Hoóc-ne
 Ta có thể tìm được kết quả khi chia đa thức f x cho nhị thức x a(a là hằng số) bằng một cách 
 khác.
 Trở lại câu a) ở ví dụ trên x3 5x2 8x 4 : x 2 . Các hệ số của đa thức bị chia thứ tự là 1 , 
 5,8, 4 ; hằng số a trong ví dụ này bằng 2 .
 1. Đặt các hệ số của đa thức bị chia theo thứ tự vào các cột của dòng trên
 1 -5 8 -4
 a 2
 2. Trong 4 cột để trống ở dòng dưới, ba cột đầu cho ta các hệ số của đa thức thương, cột cuối cùng 
 cho ta số dư.
 • Số ở cột thứ nhất của dòng dưới bằng số tương ứng ở dòng trên.
 1 -5 8 -4
 a 2 1
 • Kể từ dòng thứ hai, mỗi số ở dòng dưới được xác định bằng cách lấy a nhân với số cùng 
 dòng liền trước, rồi cộng với số cùng cột ở dòng trên.
 1 -5 8 -4
 Nhóm word hóa tài liệu Tự học toán 8
 a 2 1 2.1 5 3
 1 -5 8 -4
 a 2 1 2.1 5 3 2. 3 8 2
 1 -5 8 -4
 a 2 1 2.1 5 3 2. 3 8 2 2.2 4 0
 Sơ đồ
Dự án 1: Bài tập Toán 8
 Ta có thương bằng x2 3x 2 , số dư bằng 0 .
 Sơ đồ của thuật toán trên được gọi là sở đồ Hoóc-ne.
 Bạn đọc hãy dùng sơ đồ trên để kiểm tra lại kết quả của các câu b) và c).
 3 2
 Như vậy nếu đa thức bị chia là ao x a1x a2 x a3 , đa thức chia là x a , ta được thương 
 2
 b0 x b1x b2 , dư r . Theo sơ đồ Hoóc-ne, ta có
 a0 a1 a2 a3
 a b0 a0 b1 ab0 a1 b2 ab1 a2 r ab2 a3
 3. Sơ đồ Hoóc-ne
 n n 1 n 2
 Tổng quát với đa thức bị chia là a0 x a1x a2 x  an 1x an , đa thức chia là x a thương 
 n 1 n 2
 là b0 x b1x  bn 2 x bn 1 , dư r . Ta cần chứng minh rằng
 b0 a0
 b1 ab0 a1
 b2 ab1 a2
 
 bn 1 abn 2 an 1
 r abn 1 an.
 Thật vậy, thực hiện phép tính
 Nhóm word hóa tài liệu Tự học toán 8
 n 1 n 2
 x 1 b0 x b1x  bn 2 x bn 1 r
 n n 1
 rồi rút gọn, ta được: b0 x b1 ab0 x  bn 1 abn 2 x abn 1 r
 Đồng nhất đa thức này với đa thức bị chia, ta được
 b0 a0
 b1 ab0 a1
 b2 ab1 a2
 
 bn 1 abn 2 an 1
 r abn 1 an.
 Từ đó, suy ra điều phải chứng minh.
 4. Áp dụng sơ đồ Hoóc-ne để tính giá trị của đa thức f x tại 4x a
 Sơ đồ Ho óc-ne cho ta thương và dư khi chia đa thức f x cho nhị thức x a . Chú ý rằng theo 
Dự án 1: Bài tập Toán 8 định lí Bê-du, số dư khi chia f x cho x a bằng f a . Do đó, dùng sơ đồ Hoóc-ne ta cũng tính 
 được giá trị của đa thức f x tại x a .
  Ví dụ 6. Tính giá trị của đa thức f x x3 3x2 4 tại x 37 .
 Lời giải
 Theo định lý Bê-du, f 37 là số dư khi chia f x cho x 37 . Ta lập sơ đồ Hoóc-ne
 1 3 0 4
 1 37.1 3 40 37.40 0 1480 37.1480 4 54756
 a 37
 Vậy f 37 54756 .
 CHỨNG MINH MỘT ĐA THỨC CHIA HẾT CHO MỘT ĐA THỨC KHÁC
 Ta chỉ xét các đa thức một biến, thường có các cách sau:
 1. Cách 1.
 Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử, trong đó có một nhân tử là đa thức chia.
 8n 4n 2n n
  Ví dụ 7. Chứng minh rằng x x 1 chia hết cho x x 1, với mọi số tự nhiên n .
 Nhóm word hóa tài liệu Tự học toán 8
 Lời giải
 Ta có
 2 2
 x8n x4n 1 x8n 2x4n 1 x4n x4n 1 x2n 
 x4n 1 x4n x2n 1 
 Tiếp tục phân tích
 2 2
 x4n x2n 1 x4n 2x2n 1 x2n x2n 1 xn 
 x2n xn 1 x2n xn 1 
 Vậy x8n x4n 1 chia hết cho x2n xn 1, với mọi số tự nhiên n .
Dự án 1: Bài tập Toán 8
 2. Cách 2
 Biến đổi đa thức bị chia thành một tổng các đa thức chia.
  Ví dụ 8. Chứng minh rằng x3m 1 x3n 2 1 chia hết cho x2 x 1 với mọi số tự nhiên m,n .
 Lời giải
 Ta có
 x3m 1 x3n 2 1 x3m 1 x x3n 2 x2 x2 x 1
 x x3m 1 x2 x3n 1 x2 x 1 
 Ta thấy x3m 1 và x3n 1 chia hết cho x3 1, do đó chia hết cho x2 x 1. 
 Vậy x3m 1 x3n 2 1 chia hết cho x2 x 1 với mọi số tự nhiên m,n .
  Ví dụ 9. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên m,n thì 
 x6m 4 x6n 2 1 chia hết cho x2 x 1 .
 Lời giải
 x6m 4 x6n 2 1 x6m 4 x4 x6n 2 x2 x4 x2 1
 x4 x6m 1 x2 x6n 1 x4 x2 1 
 Nhóm word hóa tài liệu Tự học toán 8
 Do x6m 1x6 1, x6n 1x6 1 và
 x6 1 x3 1 x3 1 x2 x 1
 2
 x4 x2 1 x2 1 x2 x2 x 1
 Nên suy ra điều cần chứng minh.
 3. Cách 3
 Sử dụng các biến đổi tương đương, chẳng hạn để chứng minh f x g x , có thể chứng minh 
 f x g x g x hoặc f x g x g x .
 Xem bài tập 268 .
 4. Cách 4 . 
 Chứng tỏ rằng mọi nghiệm của đa thức chia đều là nghiệm của đa thức bị chia (ta công nhận rằng điều 
 này dẫn dến đa thức bị chia chia hết cho đa thức chia).
Dự án 1: Bài tập Toán 8
 10 10
  Ví dụ 10. Cho f x x2 x 1 x2 x 1 2 . Chứng minh rằng f x chia hết cho
 x2 x .
 Lời giải
 Đa thức chia có hai nghiệm x 0 và x 1. Ta sẽ chứng tỏ rằng x 0 và x 1 cũng là nghiệm của 
 đa thức bị chia.
 Ta có f 0 1 1 2 0 nên f x chia hết cho x . Ta lại có f 1 1 1 2 0 nên f x chia 
 hết cho x 1. Các nhân tử x và x 1 không chứa nhân tử chung.
 Do đó f x chia hết cho x x 1 .
 Bài tập tự luyện
 Bài 1. Không đặt tính chia đa thức, hãy xét xem đa thức x3 9x2 6x 16 có hay không chia hết 
 cho
 a) x 1; b) x 3 .
 Lời giải
 Nhóm word hóa tài liệu Tự học toán 8
 a) Có; b) Không.
 Bài 2. Tìm dư khi chia các đa thức sau
 a) x41 : x2 1 b) x43 : x2 1 
 Lời giải
 10
 a, x41 x41 x x x x40 1 x. Ta thấy x40 1 x4 1 nên chia hết cho x4 1, do đó chia hết 
 cho x2 1.
 b, Dư x .
 Bài 3. Tìm dư khi chia x x3 x9 x27 cho
 a) x 1; b) x2 1;
 Lời giải
Dự án 1: Bài tập Toán 8
 a) Dư 4; b) Dư 4x
 Bài 4. Tìm dư khi chia x99 x55 x11 x 7 cho
 a) x 1; b) x2 1
 Lời giải
 a, r f 1 1 1 1 7 3 . Dư 3.
 b, x99 x55 x11 x 7 x x98 1 x x54 1 x x10 1 2x 7 .
 49 27 25
 Chú ý rằng x2 1, x2 1, x2 1 chia hết cho x2 1 (theo hằng đẳng thức 9) . Như vậy dư 
 cần tìm là 2x 7 .
 Bài 5. Tìm dư khi chia đa thức f x x50 x49  x2 x 1 cho x2 1.
 Lời giải
 Gọi thương khi chia f x cho x2 1 là Q x , dư là ax b . Ta có
 f x x2 1 Q x ax b
 Đẳng thức trên đúng với mọi x . Lần lượt cho x 1 và x 1.
 Nhóm word hóa tài liệu Tự học toán 8
 2
 Đáp: Dư khi chia f x cho x 1 là 25x 26 .
 Bài 6. Tìm đa thức f x , biết rằng f x chia cho x 3 thì dư 7, f x chia cho x 2 thì dư 
 5, f x chia cho x 2 x 3 thì được thương là 3x và còn dư.
 Lời giải
 Trước hết ta tìm dư khi chia f x cho x 2 x 3 . Xét
 f x x 3  A x 7 (1)
 f x x 2  B x 5 (2)
 Cách 1. Xét
 f x 3x x 2 x 3 ax b (3)
 Từ 1 , 2 , 3 bằng cách cho x 2, x 3 ta tìm được a 2,b 1. Dư của phép chia f x cho 
 x 2 x 3 là 2x 1 .
Dự án 1: Bài tập Toán 8
 Do đó f x 3x x 2 x 3 2x 1 3x3 15x2 20x 1.
 Cách 2. Từ (1) suy ra
 x 2 f x x 2 x 3  A x 7 x 2 . (4)
 Từ (2) suy ra
 x 3 f x x 2 x 3  B x 5 x 3 (5)
 Lấy (4) trừ (5) được f x x 2 x 3 A x B x 2x 1.
 Dư khi chia f x cho x 2 x 3 là 2x 1 . Giải tiếp như cách 1 .
 Bài 7. Tìm đa thức f x , biết rằng f x chia cho x 3 thì dư 2, f x chia cho x 4 thì dư 9, 
 còn f x chia cho x2 x 12 thì được thương là x2 3 và còn dư.
 Lời giải
 Đáp số: x4 x3 9x2 2x 31.
 1
 Bài 8. Khi chia đơn thức x8 cho x thì được thương là B x và dư là số r . Khi chia B x 
 2 1
 1
 cho x , ta được thương là C x và dư là số r2 . Tính r2 .
 2 Lời giải
 Nhóm word hóa tài liệu Tự học toán 8
 1
 Đặt a , ta có x8 x a  B x r .
 2 1
 8
 Cho x a thì r1 a , do đó
 x8 a8 x a  B x 
 nên
 x8 a8
 B x x4 a4 x2 a2 x a 
 x a
 Ta có
 4 4 2 2
 x a x a x a x a C x r2
 4 2 7
 Cho x a , ta được 2a 2a .2a r2 nên r2 8a
 1 1
 Thay a , ta được r .
 2 2 16
 Bài 9. Chứng minh rằng
Dự án 1: Bài tập Toán 8
 1, x50 x10 1 chia hết cho x20 x10 1;
 2, x2 x9 x1945 chia hết cho x2 x 1;
 3, x10 10x 9 chia hết cho (x 1)2 ;
 4, 8x9 9x8 1 chia hết cho (x 1)2 .
 Lời giải
 1, Thêm bớt x20 vào đa thức bị chia.
 2, Biến đổi x2 x9 x1945 x2 x 1 x9 1 x1945 x .
 3, x10 10x 9 x10 1 10 x 1 x 1 x9 x8 x7  x 1 10 
 Biểu thức trong dấu ngoặc thứ hai bằng x9 1 x8 1  x 1 , chia hết cho x 1.
 4, Ta có
 8x9 9x8 1 8 x9 1 9 x8 1 
 8 7 7 6 
 x 1 8 x x  x 1 9 x x  x 1 .
 Biểu thức trong dấu ngoặc vuông bằng
 Nhóm word hóa tài liệu