Tài liệu Tự học Toán 8 - Phần 2

 Tự học toán 8
 Bài 2
 CÁC PHÉP TOÁN VỀ PHÂN THỨC
 Tóm tắt lý thuyết
 Muốn cộng các phân thức, ta quy đồng mẫu thức, cộng các tử thức với nhau, giữ nguyên mẫu thức 
 chung, rồi rút gọn phân thức vừa tìm được.
 Muốn trừ đi một phân thức, ta lấy phân thức bị trừ cộng với phân thức đối của phân thức trừ. Muốn nhân 
 các phân thức, ta nhân các tử thức với nhau, các mẫu thức với nhau, rồi rút gọn phân thức vừa tìm được.
 Muốn chia cho một phân thức khác 0, ta lấy phân thức bị chia nhân với phân thức nghịch đảo của phân 
 thức chia.
 Một số ví dụ
 Ví dụ 1. Cho a b c 0 và a,b,c đều khác 0. Rút gọn biểu thức:
 ab bc ca
 A 2 2 2 2 2 2 2 2 2
 a b c b c a c a b
  Lời giải
Từ a b c 0 suy ra a b c
Bình phương hai vế, ta được a2 b2 2ab c2 nên a2 b2 c2 2ab
Tương tự, b2 c2 a2 2bc và c2 a2 b2 2ca
 ab bc ca 1 1 1 3
Do đó, A 
 2ab 2bc 2ca 2 2 2 2
 Ví dụ 2. Rút gọn biểu thức:
 1 1 2 4 8
 A 
 1 x 1 x 1 x2 1 x 4 1 x8
  Lời giải
 71
Nhóm word hóa tài liệu Tự học toán 8
Do đặc điểm của bài toán, ta không quy đồng mẫu tất cả các phân thức mà cộng lần lượt từng phân 
thức.
 2 2 4 8 4 4 8 8 8 16
A 
 1 x2 1 x2 1 x 4 1 x8 1 x 4 1 x 4 1 x8 1 x8 1 x8 1 x16
 Ví dụ 3. Rút gọn biểu thức:
 3 5 2n 1
 B 2 2 ... 2
 1.2 2.3 n n 1 
  Lời giải
Đương nhiên không thể quy đồng mẫu tất cả các phân thức. Ta tìm cách tách mỗi phân thức thành 
hiệu của hai phân thức rồi dùng phương pháp khử liên tiếp. Ta có
 2
 2k 1 k 1 k2 1 1
 2 2 2 2
 2 2 k
 k k 1 k k 1 k 1 
Do đó
 1 1 1 1 1 1 1 n n 2 
 B 2 2 2 2 ... 2 2 1 2 2
 1 2 2 3 n n 1 n 1 n 1 
 Ví dụ 4. Xác định các số a, b, c sao cho:
 1 ax b c
 (1)
 x2 1 x 1 x2 1 x 1
  Lời giải
Thực hiện phép cộng ở vế phải của (1) ta được
 2 2
 ax b x 1 c x 1 ax2 ax bx b cx2 c a c x b a x c b 
 x2 1 x 1 x2 1 x 1 x2 1 x 1 
 1
Đồng nhất phân thức trên với phân thức , ta được
 x2 1 x 1 
 a c 0
 c b 0 1 1
 b a 0 c ,b .
 c b 1 2 2
 c b 1
 1 1 1
 1 1 x
Do đó a . Như vậy 2 2 2
 2 x2 1 x 1 x2 1 x 1
 71
Nhóm word hóa tài liệu Tự học toán 8
 Ví dụ 5. Cho
 1 1 1 
 A 3 4 4 
 x y x y 
 1 1 1 
 B 4 3 3 
 x y x y 
 1 1 1 
 C 5 2 2 
 x y x y 
 Thực hiện phép tính A + B + C.
  Lời giải
Ta có
 2 2 2 2 2 2
 y4 x 4 y x y x y x y x 
 A 3 3 2 .
 x 4 y4 x y x 4 y4 x y x 4 y4 x y 
 2 1 1 1 y2 x2 
 B C 4 3 3 . 2 2 
 x y x y x y x y
 2 1 1 y x 2 y3 x3 xy y x 
 4 3 3 2 2 4 . 3 3
 x y x y x y x y x y
 2 2
 2 y x y 2yx x 2 y x 
 4 . 3 3 2
 x y x y x y x3 y3
Do đó,
 2 2
 y x y x 2 y x 
 A B C 2 2
 x 4 y4 x y x y x3 y3
 2 2 2 2
 y x y x 2xy y x y x y x 2xy y x
 2 2 4 4
 x 4 y4 x y x 4 y4 x y x y
 Bài tập tự luyện
 Bài 1. 
Thực hiện các phép tính
 x 3 2x 1 x 3
1) 
 x 1 x 1 x2 1
 71
Nhóm word hóa tài liệu Tự học toán 8
 1 1 1 1
2) 
 x x y y x y x x y y y x 
  Lời giải
 x 3 2x 1 x 3 x 3 x 1 2x 1 x 1 x 3 x2 1
1) 1
 x 1 x 1 x2 1 x2 1 x2 1
 1 1 1 1 x y y x 1 1
2) 0
 x x y y x y x x y y y x xy x y xy x y xy xy
 Bài 2. Thực hiện phép tính
 1 1 1
1) A ;
 a b a c b a b c c a c b 
 1 1 1
2) B ;
 a a b a c b b a b c c c a c b 
 bc ac ab
3) C ;
 a b a c b a b c c a c b 
 a2 b2 c2
4) D ;
 a b a c b a b c c a c b 
  Lời giải
 1 1 1 c b a c b a
1) A 0
 a b a c b a b c c a c b a b b c c a 
2) Ta có
 1 1 1
 B 
 a a b a c b b a b c c c a c b 
 bc b c ac a c ab a b 
 abc a b b c a c 
 c b2 bc a2 ac ab a b 
 abc a b b c a c 
 c b a b a c b a ab a b 
 abc a b b c a c 
 a b cb ca c2 ab a b 
 abc a b b c a c 
 71
Nhóm word hóa tài liệu Tự học toán 8
 a b cb ca c2 ab 
 abc a b b c a c 
 a b b c a c 1
 abc a b b c a c abc
3) Ta có
 bc ac ab
 C 
 a b a c b a b c c a c b 
 bc b c ac a c ab a b 
 a b b c a c
 c b2 bc a2 ac ab a b 
 a b b c a c
 c b a b a c b a ab a b 
 a b b c a c
 a b cb ca c2 ab a b 
 a b b c a c
 a b cb ca c2 ab 
 a b b c a c
 a b b c a c 
 1
 a b b c a c
 4) Ta có
 a2 b2 c2
 D 
 a b a c b a b c c a c b 
 a2 b c b2 a c c2 a b 
 a b b c a c
 a2 b c b2a b2c c2a c2b
 a b b c a c
 a2 b c a b2 c2 bc b c 
 a b b c a c
 b c a2 ab ac cb 
 a b b c a c
 71
Nhóm word hóa tài liệu Tự học toán 8
 b c a a b c a b 
 a b b c a c
 a b b c a c 
 1
 a b b c a c
 Bài 3. Cho a, b, clà các số nguyên khác nhau đôi một. Chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị 
là một số nguyên:
 a3 b3 c3
P 
 a b a c b a b c c a c b 
  Lời giải
Ta có
 3 3 3
 a b c 3 3 3
 P a b c b c a c a b 
 a b a c b a b c c a c b 
 a b b c a c 
Phân tích tử thành nhân tử
 a3 b c b3 c a c3 a b a3b a3c b3c b3a c3 a b 
 a3b b3a a3c b3c c3 a b 
 ab a b a b c a b a2 ab b2 c3 a b 
 a b a2b ab2 ca2 cb2 abc c3
 a b c3 cb2 abc ab2 a2b ca2 
 a b b c cb c2 ab a2
 a b b c ab cb a2 c2 
 a b b c a c a b c
Vậy P a b c
 x 2x 3y
 Bài 4. Cho 3y x 6 . Tính giá trị biểu thức A .
 y 2 x 6
  Lời giải
 x 2x 3y 3y 6 2x x 6
 A 3 1 4
 y 2 x 6 y 2 x 6
 71
Nhóm word hóa tài liệu Tự học toán 8
 x2 y2 z2 x2 y2 z2
 Bài 5. Tìm x, y,z biết rằng .
 2 3 4 5
  Lời giải
 x2 y2 z2 x2 y2 z2 x2 x2 y2 y2 z2 z2 
Từ suy ra 0
 2 3 4 5 2 5 3 5 4 5 
 3x2 2y2 z2
Cho nên 0 . Do đó, x y z 0
 10 15 20
 1 1
 Bài 6. Tìm x, y biết rằng x2 y2 4
 x2 y2
  Lời giải
Ta có
 2 2 1 1 2 1 2 1 
 x y 2 2 4 x 2 2 y 2 2 0
 x y x y 
 2 2
 1 1 
 x y 0
 x y 
 1
 x 0
 x x2 1
 1 2
 y 0 y 1
 y
Có bốn đáp án như bảng sau
 x 1 1 -1 -1
 y 1 -1 1 -1
 1 1 1
 Bài 7. Cho biết 2, (1)
 a b c
 1 1 1
 2 (2)
 a2 b2 c2
Chứng minh rằng: a b c abc
  Lời giải
 1 1 1 1 1 1 
Từ (1) suy ra: 2 2 2 2 4
 a b c ab bc ca 
 1 1 1 a b c
Do (2) nên 1 suy ra 1.
 ab bc ca abc
 71
Nhóm word hóa tài liệu Tự học toán 8
Do đó: a b c abc
 x y z
 Bài 8. Cho : 0 (1)
 a b c 
 a b c
 Và 2 (2)
 x y z 
 a2 b2 c2
Tính giá trị biểu thức .
 x2 y2 z2
  Lời giải
Từ (1) suy ra bcx acy abz 0
 a2 b2 c2 ab yzbc ca 
Từ (2) suy ra 2 2 2 4
 x y z xy yz xz 
 a2 b2 c2 abz acy bcx
Do đó 4 2 4
 x2 y2 z2 xyz
 Bài 9. Cho (a b c)2 a2 b2 c2 và , , khác 0. Chứng minh rằng:
 1 1 1 3
 a3 b3 c3 abc
  Lời giải
 bc
Từ giả thiết suy ra: ab bc ca 0 b c 
 a
 ab bc ca 1 1 1
Do đó 0 , tức là 0
 abc a b c
 3
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
Suy ra 3 3 3 3 2 2 
 a b c a b c b c bc b c 
 1 1 1 3(b c) 3bc 3
 a3 b3 c3 b2c2 ab2c2 abc
 a b c b a c
 Bài 10. Cho . Chứng minh rằng trong ba số a,b,c tồn tại hai số bằng nhau. 
 b c a a c b
  Lời giải
Từ giả thiết suy ra
 2 2 2 2 2 2 2 2 2
 a c b a c b b c a b c a a (c b) a(c b ) bc(c b) 0
 (c b)(a2 ac ab bc) 0
 (c b)(a c)(a b) 0.
 71
Nhóm word hóa tài liệu Tự học toán 8
Tồn tại một trong các thừa số c b, a c, a b bằng 0. Do đó, trong ba số a,b,c tồn tại hai số bằng 
nhau.
 Bài 11. Tìm các giá trị nguyên của x để phân thức sau có giá trị là số nguyên:
 2x3 6x2 x 8
1) A 
 x 3
 x4 2x3 3x2 8x 1
2) B 
 x2 2x 1
 x 4 3x3 2x2 6x 2
 3) C 
 x2 2
  Lời giải
 2x3 6x2 x 8 5
 1) A 2x2 1 
 x 3 x 3
 A nguyên khi x nguyên, x 3nguyên và nó là ước của 5.
 Suy ra x 3 1 hoặc x 3 1 hoặc x 3 5 hoặc x 3 5
 Hay x 4 hoặc x 2 hoặc x 8 hoăc x 2
 4 3 2
 x 2x 3x 8x 1 2 3
 2) B 2 x 4 2
 x 2x 1 x 1 
 2
 B nguyên khi x nguyên, x 1 nguyên và nó là ước của 3
 2 2
 Suy ra x 1 1 hoặc x 1 3
 Hay x 1 1 hoặc x 1 1hay x 2 hoặc x 0
 x 4 3x3 2x2 6x 2 2
 3) C x2 3x 
 x2 2 x2 2
 C nguyên khi x nguyên, x2 2 nguyên và nó là ước của 2 .
 Suy ra x2 2 2 hay x 0
 a
 Bài 12. Rút gọn biểu thức sau với x 
 3a 2
 x 3a x 3a 2a
 A a
 2 x 2 x 4 x2
  Lời giải
 x 3a x 3a 2a 6ax 4x 2a 2x(3a 2) 2a
 A a = a = a a
 2 x 2 x 4 x2 4 x2 4 x2
 71
Nhóm word hóa tài liệu Tự học toán 8
 Bài 13. Rút gọn biểu thức
 2 2 2 (a b)2 (b c)2 (c a)2
 A 
 a b b c c a (a b)(b c)(c a)
  Lời giải
Đặt a b x , b c y , c a z thì x y z 0
 2 2 2 (a b)2 (b c)2 (c a)2
Ta có: A 
 a b b c c a (a b)(b c)(c a)
 2
 2 2 2 x2 y2 z2 x y z 
 0
 x y z xyz xyz
 a b c b c a c a b
 Bài 14. Cho biết 0 . Chứng minh rằng trong ba phân thức ở vế 
 ab bc ca
trái, có ít nhất một phân thức bằng 0 .
  Lời giải
Ta có: 
 a b c b c a c a b
 0 c(a b c) a(b c a) b(c a b) 0
 ab bc ca
 a2 b2 2ab c2 0
 (a b)2 c2 0
 (a b c)(a b c) 0
Vậy a b c 0 hoặc a b c 0
 Bài 15. Xác định các số a,b,c sao cho:
 1 a bx c
1) ;
 x(x2 1) x x2 1
 1 a b
2) ;
 x2 4 x 2 x 2
 1 a b c
3) .
 (x 1)2 (x 2) x 1 (x 1)2 x 2
  Lời giải
 a bx c a(x2 1) (bx c)x (a b)x2 cx a
1) Ta có: 
 x x2 1 x(x2 1) x(x2 1)
 71
Nhóm word hóa tài liệu