Tài liệu Bồi dưỡng và phát triển tư duy đột phá trong giải Toán học 8 - Tập 1

 1 
 BỒI DƯỠNG VÀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY 
 ĐỘT PHÁ TRONG GIẢI 
 TOÁN HỌC 8 
 TẬP 1 
 ĐẠI SỐ 
 THEO CHUẨN KIẾN THỨC KĨ NĂNG 
  Tóm tắt lí thuyết căn bản 
  Giải chi tiết, phân tích, bình luận, hướng dẫn làm bài dành cho học sinh lớp 8 
 và chuyên Toán. 
  Tham khảo cho phụ huynh và giáo viên. 
 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 2 
 LỜI NÓI ĐẦU 
 Sách giáo khoa Toán 8 hiện hành được biên soạn theo tinh thần đổi mới 
của chương trình và phương pháp dạy – học, nhằm nâng cao tính chủ động, 
tích cực của học sinh trong quá trình học tập. 
 Tác giả xin trân trọng giới thiệu cuốn sách “BỒI DƯỠNG VÀ PHÁT 
TRIỂN TƯ DUY ĐỘT PHÁ TRONG GIẢI TOÁN HỌC 8”, được viết với 
mong muốn gửi tới các thầy cô, phụ huynh và các em học sinh một tài liệu 
tham khảo hữu ích trong dạy và học môn Toán ở cấp THCS theo định hướng 
đổi mới của Bộ Giáo dục và Đào tạo. 
 Cuốn sách được cấu trúc gồm các phần: 
 ‐ Kiến thức căn bản cần nắm: Nhắc lại những kiến thức cơ bản cần 
nắm, những công thức quan trọng trong bài học, có ví dụ cụ thể 
 ‐ Bài tập sách giáo khoa, bài tập tham khảo: Lời giải chi tiết cho các bài 
tập, bài tập được tuyển chọn từ nhiều nguồn của môn Toán được chia bài tập 
thành các dạng có phương pháp làm bài, các ví dụ minh họa có lời giải chi 
tiết...Có nhiều cách giải khác nhau cho một bài toán... 
 Cuốn sách này còn là tài liệu tham khảo bổ ích cho quí thầy cô giáo và 
các bậc phụ huynh học sinh để hướng dẫn, giúp đỡ các em học tập tốt bộ 
môn Toán. 
 Các tác giả 
 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 3 
 MỤC LỤC 
LỜI NÓI ĐẦU ....................................................................................... Trang 
PHẦN 1. ĐẠI SỐ ................................................................................ Trang 
CHƯƠNG I. PHÉP NHÂN, PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC ......... Trang 
Bài 1. Nhân đơn thức với đa thức ...................................................... Trang 
 A. Chuẩn kiến thức ........................................................................ Trang 
 B. Luyện kĩ năng giải bài tập ........................................................ Trang 
Bài 2. Nhân đa thức với đa thức ........................................................ Trang 
 A. Chuẩn kiến thức ......................................................................... Trang 
 B. Luyện kĩ năng giải bài tập ........................................................ Trang 
Bài 3. Những hằng đẳng thức đáng nhớ ........................................... Trang 
 A. Chuẩn kiến thức ........................................................................ Trang 
 B. Luyện kĩ năng giải bài tập ........................................................ Trang 
Bài 4. Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tt) .................................... Trang 
 A. Chuẩn kiến thức ........................................................................ Trang 
Bài 5. Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tt) .................................... Trang 
 A. Chuẩn kiến thức ........................................................................ Trang 
 B. Luyện kĩ năng giải bài tập ....................................................... Trang 
Bài 6. Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử......................... Trang 
 A. Chuẩn kiến thức ........................................................................ Trang 
 B. Luyện kĩ năng giải bài tập ........................................................ Trang 
Bài 7. Chia đơn thức cho đơn thức ..................................................... Trang 
 A. Chuẩn kiến thức ........................................................................ Trang 
 B. Luyện kĩ năng giải bài tập ........................................................ Trang 
Bài 8. Chia đa thức cho đơn thức ....................................................... Trang 
 A. Chuẩn kiến thức ........................................................................ Trang 
 B. Luyện kĩ năng giải bài tập ........................................................ Trang 
Bài 9. Chia đa thức một biến đã sắp xếp ........................................... Trang 
 A. Chuẩn kiến thức ....................................................................... Trang 
 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 4 
 B. Luyện kĩ năng giải bài tập ....................................................... Trang 
CHƯƠNG 2. PHÂN THỨC ĐẠI SỐ ............................................... Trang 
Bài 1. Chuyên đề kiến thức mở đầu về phân thức đại số ............... Trang 
 A. Chuẩn kiến thức ....................................................................... Trang 
 B. Luyện kĩ năng giải bài tập ....................................................... Trang 
Bài 2. Chuyên đề cộng trừ nhân chia phân thức đại số .................. Trang 
 A. Chuẩn kiến thức ........................................................................ Trang 
 B. Luyện kĩ năng giải bài tập ........................................................ Trang 
CHƯƠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN ............. Trang 
 Bài 1. Mở đầu về phương trình. Phương trình bậc nhất môt ẩn .. Trang 
 A. Chuẩn kiến thức ....................................................................... Trang 
 B. Luyện kĩ năng giải bài tập ....................................................... Trang 
 Bài 2. Phương trình đưa về dạng ax+ b =0 ....................................... Trang 
 A. Chuẩn kiến thức ....................................................................... Trang 
 B. Luyện kĩ năng giải bài tập ....................................................... Trang 
 Bài 3. Phương tình tích........................................................................ Trang 
 A. Chuẩn kiến thức ....................................................................... Trang 
 B. Luyện kĩ năng giải bài tập ....................................................... Trang 
 Bài 4. Phương trình chứa ẩn ở mẫu. Bài tập tổng hợp ................... Trang 
 A. Chuẩn kiến thức ........................................................................ Trang 
 B. Luyện kĩ năng giải bài tập ........................................................ Trang 
 Bài 5. Giải bài toán bằng cách lập phương trình ............................ Trang 
 A. Chuẩn kiến thức ......................................................................... Trang 
 B. Luyện kĩ năng giải bài tập ........................................................ Trang 
 CHƯƠNG 4. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN .. Trang 
Bài 1. Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng, giữa thứ tự và phép nhân .Trang 
 A. Chuẩn kiến thức ......................................................................... Trang 
 B. Luyện kĩ năng giải bài tập ........................................................ Trang 
Bài 2. Bất phương trình bậc nhất một ẩn .......................................... Trang 
 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 5 
 A. Chuẩn kiến thức ........................................................................ Trang 
 B. Luyện kĩ năng giải bài tập ........................................................ Trang 
Bài 3. Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối ................................ Trang 
 A. Chuẩn kiến thức ........................................................................ Trang 
 B. Luyện kĩ năng giải bài tập ........................................................ Trang 
 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 6 
 CHƯƠNG I. PHÉP NHÂN, PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC 
 BÀI 1. NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC 
A. CHUẨN KIẾN THỨC 
1. Hãy làm theo các hướng dẫn sau: 
 Viết một đơn thức bậc 3 gồm hai biến x, y; một đa thức có ba hạng tử 
 bậc 3 gồm hai biến x, y. 
Ví dụ 
Đơn thức bậc 3 gồm hai biến x, y là x2y 
Đa thức có ba hạng tử bậc 3 gồm hai biến x, y là x2y + xy +1 
 Hãy nhân đơn thức đó với từng hạng tử của đa thức vừa viết. 
 x2y.x2y = x4y2 ; x2y.xy = x3y2; x2y.1 = x2y 
 Hãy cộng các tích tìm được 
 S = x4y2 + x3y2 + x2y 
2. Quy tắc: Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với 
từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích lại với nhau. 
 A(B+C) = AB + AC 
3. Áp dụng: Làm tính nhân 
 3211 33323 1 1 3
 3xyx xyy 6x 3x yyxy .6x .6x xyy .6x
 25 2 5
 6
 18x44yyxy 3x 33 24
 5
B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI BÀI TẬP
Bài 1. Thực hiện phép nhân: 
 3 21 1
a) (‐5x2)(3x3 – 2x2 + x ‐1) b) 4x yyzxy 
 34 2
c) (‐7mxy2)(8m2x – 3my + y2 – 4ny) d) ‐3a2b(4ax + 2xy – 4b2y) 
Bài giải 
 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 7 
a) (‐5x2)(3x3 – 2x2 + x ‐1) = ‐15x5 + 10x4 – 5x3 + 5x2 
 342221 1 1 1
b) 4xy yz xy 2x y xy xy z 
 34 2 3 8
c) (‐7mxy2)(8m2x – 3my + y2 – 4ny) = ‐56m3x2y2 + 21m2xy3 – 7mxy4 + 28mnxy3 
d) ‐3a2b(4ax + 2xy – 4b2y) = ‐12a3bx – 6a2bxy + 12a2b3y 
Bài 2. Tính: 
a) 3x2y(2x2 – y) – 2x2(2x2y – y2) 
b) 3x2(2y – 1) – [2x2(5y – 3) – 2x(x – 1)] 
c) 2(x2n + 2xnyn + y2n) – yn(4xn + 2yn) (n N) 
d) 3xn‐2(xn+2 – yn+2) + yn+2(3xn‐2 – yn‐2) (n N, n >1) 
e)4n+1 – 3.4n (n N) 
f) 63.38.28 – 66(65 – 1) 
Bài giải 
a) 3x2y(2x2 – y) – 2x2(2x2y – y2) = 6x4y – 3x2y2 – 4x4y + 2x2y2 
 = 2x4y – x2y2 
b) 3x2(2y – 1) – [2x2(5y – 3) – 2x(x – 1)] = 6x2y – 3x2 – 10x2y + 6x2 + 2x2 – 2x 
 = ‐4x2y + 5x2 – 2x 
c) 2(x2n + 2xnyn + y2n) – yn(4xn + 2yn) = 2x2n + 4xnyn + 2y2n – 4xnyn – 2y2n 
 = 2x2n 
d) 3xn‐2(xn+2 – yn+2) + yn+2(3xn‐2 – yn‐2) = 3x2n – 3xn‐2yn+2 + 3xn‐2yn+2 – y2n 
 = 3x2n – y2n 
e) 4n+1 – 3.4n = 4.4n – 3.4n = 4n 
f) 63.38.28 – 66.(65 ‐ 1) = 611 – 611+ 65 = 65 
Bài 3. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x và y: 
a) 3x(x – 5y) + ( y ‐5x)(‐3y) ‐1 ‐3(x2 – y2) 
b) x(x3 + 2x2 ‐ 3x +2) – ( x2 + 2x)x2 + 3x(x – 1) +x ‐12 
c) 3xy2(4x2 – 2y) – 6y(2x3y + 1) + 6(xy3 + y ‐3) 
d) 2(3xn+1 – yn‐1) + 4(xn+1 + yn‐1) ‐2x(5xn + 1) – 2(yn‐1 –x + 3) (n N*) 
 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 8 
Bài giải 
a) 3x(x – 5y) + ( y ‐5x)(‐3y) ‐1 ‐ 3(x2 – y2) 
 = 3x2 – 15xy – 3y2 + 15xy – 1 – 3x2 + 3y2 
 = ‐ 1 
b) x(x3 + 2x2 ‐3x +2) – ( x2 + 2x)x2 + 3x(x – 1) +x ‐12 
 = x4 + 2x3 – 3x2 + 2x – x4 – 2x3 + 3x2 – 3x + x ‐12 
 = ‐12 
c) 3xy2(4x2 – 2y) – 6y(2x3y + 1) + 6(xy3 + y ‐3) 
 = 12x3y2 – 6xy3 – 12x3y2 – 6y + 6xy3 + 6y – 18 
 = ‐18 
d) 2(3xn+1 – yn‐1) + 4(xn+1 + yn‐1) ‐2x(5xn + 1) – 2(yn‐1 –x + 3) 
 = 6xn+1 – 2yn‐1 + 4xn+1 + 4yn‐1 – 10xn+1 – 2x – 2yn‐1 + 2x – 6 
 = ‐ 6 
 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 9 
 BÀI 2. NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC 
A. CHUẨN KIẾN THỨC 
1. Hãy làm theo các hướng dẫn sau 
 Hãy viết một đa thức ba hạng tử bậc 3 một ẩn x; một đa thức ba hạng tử 
 bậc 4 một ẩn x. 
Ví dụ 
Đa thức ba hạng tử bậc 3 một ẩn x là x3 + x +1 
Đa thức ba hạng tử bậc 4 một ẩn x là x4 + x2 + 1 
 Hãy nhân mỗi hạng tử của đa thức này với đa thức kia. 
 x3(x4 + x2 + 1) = x7 + x5 + x3; 
 x(x4 + x2 + 1) = x5 + x3 + x; 
 1(x4 + x2 + 1) = x4 + x2 + 1; 
 Hãy cộng các kết quả vừa tìm được. 
 S = x7 + x5 + x3 + x5 + x3 + x + x4 + x2 + 1 = x7 + 2x5 + x4 + 2x3 + x2 + x + 1 
2. Quy tắc: Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của 
đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích lại với nhau. 
 (A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD 
3. Áp dụng: Làm tính nhân 
 232232
 xx 33x53539156415 xxxxx xxx 
B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI BÀI TẬP
Bài 4. Thực hiện phép nhân: 
a) (2x + 3y)(2x – 3xy +4y) b) (2a – 1)(a2 – 5 + 2a) 
c) (5y2 – 11y + 8)(3 – 2y) d) (x + 1)(x – 2)(2x – 1) 
e) (x – 2)(3x + 1)(x + 1) f) (3x2 + 11 – 5x)(8x ‐6 + 2x2) 
g) (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 – x + 1) h) (x2 + x +1)(x3 – x2 + 1) 
i) (x2n + xnyn + y2n)(xn – yn)(x3n + y3n) (n N) 
j) (a + b + c)(a2 + b2 +c2 – ab –bc – ca) 
k)* (a + b + c + d)(a2 + b2 + c2 + d2 – ab –ac – ad – bc – bd –cd) 
 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 10 
 Bài giải 
 a) (2x + 3y)(2x – 3xy +4y) = 4x2 – 6x2y + 8xy + 6xy – 9xy2 + 12y2 
 = 4x2 – 6x2y + 14xy – 9xy2 + 12y2 
 b) (2a – 1)(a2 – 5 + 2a) = 2a3 – 10a + 4a2 – a2 + 5 – 2a 
 = 2a3 + 3a2 – 12a + 5 
 c) (5y2 – 11y + 8)(3 – 2y) = 15y2 – 10y3 – 33y + 22y2 + 24 – 16y 
 = ‐ 10y3 + 37y2 – 49y + 24 
 d) (x + 1)(x – 2)(2x – 1) = (x2 – x – 2)(2x – 1) 
 = 2x3 – x2 – 2x2 + x – 4x + 2 
 = 2x3 – 3x2 – 3x + 2 
 e) (x – 2)(3x + 1)(x + 1) = (3x2 – 5x – 2)(x + 1) 
 = 3x3 + 3x2 – 5x2 – 5x – 2x – 2 
 = 3x3 – 2x2 – 7x – 2 
 f) (3x2 + 11 – 5x)(8x ‐ 6 + 2x2) 
 = 24x3 – 18x2 + 6x4 + 88x – 66 + 22x2 – 40x2 + 30x – 10x3 
 = 6x4 – 14x3 – 36x2 + 118x – 66 
 g) (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 – x + 1) 
 = x7 – x6 + x4 – x3 + x2 + x6 – x5 + x3 – x2 + x + x5 – x4 + x2 – x + 1 
 = x7 + x2 + 1 
 h) (x2 + x +1)(x3 – x2 + 1) = x5 – x4 + x2 + x4 – x3 + x + x3 – x2 + 1 
 = x5 + x + 1 
 i) (x2n + xnyn + y2n)(xn – yn)(x3n + y3n) = (x3n – y3n))(x3n + y3n) 
 = x6n ‐ y6n 
 j) (a + b + c)(a2 + b2 +c2 – ab –bc – ca) 
 = a3 + ab2 + ac2 – a2b – abc – a2c + a2b + b3 + bc2 – ab2 – b2c – abc + a2c + b2c + c3 
 – abc – bc2 – ac2 
 = a3 + b3 + c3 – 3abc 
 k)* (a + b + c + d)(a2 + b2 + c2 + d2 – ab –ac – ad – bc – bd –cd) 
 TÀI LIỆU TOÁN HỌC