Đề cương ôn tập môn Hình học Lớp 8 - Chương 2

 ĐỀ ÔN TẬP HỎA TỐC-CORONA ÔN HKI-HÌNH HỌC 8
ĐỀ 1
 (Bài tập tổng hợp, mỗi bài gồm nhiều ý từ cơ bản đến nâng cao).
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A , điểm D là trung điểm của BC . Gọi M là điểm đối 
xứng với D qua AB , E là giao điểm của DM và AB . Gọi N là điểm đối xứng với D qua 
 AC , F là giao điểm DN và AC .Tứ giác AEDF là hình gì? Vì sao ?
a) Các tứ giác ADBM , ADCN là hình gì ? Vì sao ?
b) Chứng minh rằng M đối xứng với N qua A .
c) Tam giác vuông ABC có điều kiện gì thì tứ giác AEDF là hình vuông?
Bài 2: Cho tam giác ABC , các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau ở G . Gọi H là trung 
điểm GB , K là trung điểm GC .
a) Chứng minh rằng tứ giác DEHK là hình bình hành.
b) Tam giác ABC có điều kiện gì thì tứ giác DEHK là hình chữ nhật.
c) Nếu các đường trung tuyến BD và CE vuông góc với nhau thì tứ giác DEHK là hình 
gì?
Bài 3: Cho hình bình hành ABCD . Có E , F theo thứ tự là trung điểm của AB , CD .
a) Tứ giác DEBF là hình gì ? Vì sao ?
b) Chứng minh các đường thẳng AC , BD , EF cùng cắt nhau tại một điểm.
c) Gọi giao điểm AC với DE và BF theo thứ tự là M và N . Chứng minh rằng tứ giác 
 EMFN là hình bình hành .
Bài 4: Cho hình vuông ABCD , điểm E thuộc cạnh BC , F thuộc tia đối của tia DC sao cho 
 BE DF . Qua A kẻ đường vuông góc với EF , cắt CD ở K . Qua E kẻ đường thẳng song 
song với CD , cắt AK ở I . Tứ giác FIEK là hình gì? Vì sao?
Bài 5: Cho tam giác ABC . Trên tia đối của tia BC lấy điểm D , trên tia đối của tia CB lấy 
điểm E sao cho BD BC CE . Qua D kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC ở H , qua 
 E kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB ở K , chúng cắt nhau ở I . a) Tứ giác BHKC BHKC là hình gì? Vì sao?
b) Tia IAcắt BC ở M . Chứng minh rằng MB MC .
c) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác DHKE là hình thang cân.
Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường trung tuyến AM . Gọi D là trung điểm của 
 AB , E là điểm đối xứng với M qua D .
a) Chứng minh tứ giác AEBM là hình thoi.
b) Gọi I là trung điểm AM . Chứng minh E , I ,C thẳng hàng.
c) ABC có thêm điều kiện gì thì AEBM là hình vuông.
Bài 7: Cho hình thang cân ABCD AB / /CD . Gọi M , N , P , Q lần lượt 
 A M B
là trung điểm của các cạnh AB , BC , CD , DA .
a) Chứng minh MP là tia phân giác của góc Q· MN .
 Q N
b) Hình thang ABCD phải có thêm điều kiện gì đối với hai đường 
chéo để góc M· NQ 45 ?
 D C
c) Chứng minh rằng nếu có thêm điều kiện của câu b thì hình P
thang cân ABCD có đường cao bằng đường trung bình của nó
Bài 8: Cho hình bình hành ABCD có Aµ 90 . Ở phía ngoài hình bình hành vẽ các tam 
giác đều ADF , ABE .
a) Tính E· AF .
b) Chứng minh rằng tam giác CEF là tam giác đều.
Bài 9: Cho tứ giác ABCD có AB vuông góc với CD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của 
 BC và AD. P ,Q là trung điểm của hai đường chéo AC và BD. Chứng minh rằng tứ giác 
 MPNQ là hình chữ nhật. Bài 10: Cho tam giác ABC cân tại A (góc A nhọn), các đường cao BD và CE cắt nhau tại 
 A
 H . Tia phân giác của góc ·ABD cắt EC và AC theo thứ tự ở M và P . Tia phân 
giác của góc ·ACE cắt BD và AB theo thứ tự ở Q và N . Chứng minh 
 N P
rằng:
 O
 · ·
a) ABD ACE . E D
b) BH HC .
 M Q
 1 H 1
c) Tam giác BOC vuông cân. 2 2
 3 3
d) MNPQ là hình vuông. B C
ĐÁP ÁN THAM KHẢO
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A , điểm D là trung điểm của BC . Gọi M là điểm đối 
xứng với D qua AB , E là giao điểm của DM và AB . Gọi N là điểm đối xứng với D qua 
 AC , F là giao điểm DN và AC .
a) Tứ giác AEDF là hình gì? Vì sao ?
b) Các tứ giác ADBM , ADCN là hình gì ? Vì sao ?
c) Chứng minh rằng M đối xứng với N qua A .
d) Tam giác vuông ABC có điều kiện gì thì tứ giác AEDF là hình vuông?
 M A N
 E F
 B D C
 Hướng dẫn:
a) Tứ giác AEDF là hình chữ nhật vì có Aµ Eµ F 90 .
b)Xét ABC có BD DC và DE / / AC nên AE EB .
Ta lại có DE EM ( D đối xứng với M qua AB )
Tứ giác ADBM có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình 
hành
Hình bình hành ADBM có hai đường chéo vuông góc AB  DM nên tứ giác ADBM là hình 
thoi.
Chứng minh tương tự có ADCN là hình thoi. c) ADBM là hình thoi AM / /BD hay AM / /BC .
Chứng minh tương tự có AN / /BC .
Qua A ta có AM / /BC , AN / /BC nên M , A, N thẳng hàng (1)
Ta lại có AM BD ; AN DC mà BD DC nên AM AN (2)
Từ (1) và (2) suy ra A là trung điểm của MN , do đó M đối xứng với N qua A .
d)Hình chữ nhật AEDF là hình vuông khi và chỉ khi AE AF .
 1 1
Ta lại có AE AB ; AF AC nên AE AF AB AC .
 2 2
Vậy ABC vuông cân tại A thì AEDF là hình vuông.
Bài 2: Cho tam giác ABC , các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau ở G . Gọi H là trung 
điểm GB , K là trung điểm GC .
a) Chứng minh rằng tứ giác DEHK là hình bình hành.
b) Tam giác ABC có điều kiện gì thì tứ giác DEHK là hình chữ nhật.
c) Nếu các đường trung tuyến BD và CE vuông góc với nhau thì tứ giác DEHK là hình 
gì? A
Hướng dẫn: E D
 1 G
a) Ta có ED / /BC ; ED BC (do E là TĐ của AB ; D là TĐ của AC )
 2 H K
 B C
 1
 HK / /BC ; HK BC (do H là TĐ của GB ; K là TĐ của GC )
 2
 ED / /HK; ED HK .
Suy ra tứ giác DEHK là hình bình hành.
b) Hình bình hành DEHK là hình chữ nhật HD EK GE GD CE=BD ABCcân 
tại A .
c) Nếu BD  CE thì hình bình hành DEHK có hai đường chéo vuông góc do đó DEHK là 
hình thoi.
Bài 3: Cho hình bình hành ABCD . Có E , F theo thứ tự là trung điểm của AB , CD .
a) Tứ giác DEBF là hình gì ? Vì sao ? b) Chứng minh các đường thẳng AC , BD , EF cùng cắt nhau tại một điểm.
c) Gọi giao điểm AC với DE và BF theo thứ tự là M và N . Chứng minh rằng tứ giác 
 EMFN là hình bình hành .
 A E B
 M
Hướng dẫn :
 O
a) Tứ giác DEBF là hình bình hành vì có BE / /DE và N
 D F C
 1 1
 BE DF AB CD .
 2 2
b)Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD .
Suy ra O là trung điểm của BD .
Mà DEBF là hình bình hành O cũng là trung điểm của EF .
Vậy AC, BD, EF cùng cắt nhau tại điểm O .
 1
c) ABD có các đường trung tuyến AO , DE cắt nhau ở M nên OM OA
 3
 1
Chứng minh tương tự có ON OC .
 3
Ta có OA OC nên OM ON .
Tứ giác EMFN có các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên EMFN là 
hình bình hành.
Bài 4: Cho hình vuông ABCD , điểm E thuộc cạnh BC , F thuộc tia đối của tia DC sao cho 
 BE DF . Qua A kẻ đường vuông góc với EF , cắt CD ở K . EF Qua E kẻ đường thẳng 
song song với CD , cắt AK ở I . Tứ giác FIEK là hình gì? Vì sao?
Hướng dẫn :
Gọi H là giao điểm của AK và EF
Vì ABE ADF c.g.c nên AE AF AEF cân tại A . A B
 I
 E
 H
 F D K C
Tam giác AEF cân có AH là đường cao nên HE HF .
Vì IHE KHF g.c.g nên IH HK .
Tứ giác FIEK có HE HF ; IH HK và IK  EF nên FIEK là hình thoi.
Bài 5: Cho tam giác ABC . Trên tia đối của tia BC lấy điểm D , trên tia đối của tia CB lấy 
điểm E sao cho BD BC CE . Qua D kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC ở H , qua 
 E kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB ở K , chúng cắt nhau ở I .
a) Tứ giác BHKC là hình gì? Vì sao?
b) Tia IAcắt BC ở M . Chứng minh rằng MB MC .
c) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác DHKE là hình thang cân.
Hướng dẫn :
a) Ta có AB / /DH và BD BC nên AH AC , tương tự có AB AK .
Tứ giác BHKC là hình bình hành vì có hai đường chéo BK và CH cắt nhau tại điểm A là 
trung điểm của mỗi đường.
b) Tứ giác AHIK là hình bình hành (vì có các cặp cạnh đối song song với nhau) nên 
 AK / /HI và AK HI . I
 K
Suy ra AB / /HI và AB HI . H
Do đó tứ giác ABHI là hình bình hành IA / /HB . A
 AM là đường trung bình của tam giác BHC , suy ra MB MC .
 D B M C E
c) Tứ giác DEKH là hình thang vì có HK / /DE .
Hình thang DEKH là hình thang cân Dµ Eµ Bµ Cµ (vì Dµ Bµ; Eµ Cµ các cặp góc đồng 
vị) ABC cân tại A .
Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường trung tuyến AM . Gọi D là trung điểm của 
 AB , E là điểm đối xứng với M qua D . a) Chứng minh tứ giác AEBM là hình thoi.
b) Gọi I là trung điểm AM . Chứng minh E , I ,C thẳng hàng.
c) ABC có thêm điều kiện gì thì AEBM là hình vuông.
 E A
Hướng dẫn :
a) Ta có DA DB; DE DM (Tính chất đối xứng) I
 AEBM là hình bình hành. D
Lại có MA MB (trung tuyến tam giác vuông bằng nửa cạnh B M C
huyền)
Vậy AEBM là hình thoi.
b) Ta có AE / /BM và AE BM (vì AEBM là hình thoi) mà MC BM
 AE / /MC và AE MC .
Do đó tứ giác AEMC là hình bình hành, I là trung điểm của đường chéo AM nên đường 
chéo thứ hai EC phải qua I hay ba điểm E, I,C thẳng hàng
c) Hình thoi AEBM là hình vuông
 AB EM mà EM AC
 AB AC ABC cân tại A
Vậy ABC vuông cân tại A thì AEBM là hình vuông.
Bài 7: Cho hình thang cân ABCD AB / /CD . Gọi M , N , P , Q lần lượt là trung điểm của 
các cạnh AB , BC , CD , DA .
a) Chứng minh MP là tia phân giác của góc Q· MN .
b) Hình thang ABCD phải có thêm điều kiện gì đối với hai đường chéo để góc M· NQ 45 
?
c) Chứng minh rằng nếu có thêm điều kiện của câu b thì hình thang cân ABCD có đường 
cao bằng đường trung bình của nó
Hướng dẫn : A M B
a) Ta có: M , N , P , Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB , BC , 
 CD , DA . Q N
 1
 MN / /PQ / / AC ; MN PQ AC .
 2
 D P C
 MNPQ là hình bình hành.
 1
Lại có: MQ BD ; BD AC (do ABCD là hình thang cân)
 2
 MN MQ
 Tứ giác MNPQ là hình thoi.
Suy ra MP là tia phân giác của góc Q· MN .
 1
b) Tứ giác MNPQ là hình thoi, nên NQ là phân giác của góc M· NP , suy ra M· NQ M· NP
 2 Do đó M· NQ 450 M· NP 900
 MN  NP AC  BD (vì AC / /MN ; BD / /NP )
c) Theo câu b, nếu AC  BD thì tứ giác MNPQ là hình vuông, khi đó NQ MP .
Mà NQ là đường trung bình của hình thang ABCD , còn MP là đường cao của hình thang 
đó vì MP  AB và MP  CD .
Bài 8: Cho hình bình hành ABCD có Aµ 90 . Ở phía ngoài hình bình hành vẽ các tam 
giác đều ADF , ABE .
a) Tính E· AF theo .
b) Chứng minh rằng tam giác CEF là tam giác đều.
 E
 F A
 B
 D C
Hướng dẫn:
a) E· AF 3600 B· AE D· AF 3600 600 600 2400 
b) Ta có A· DC 1800 
 C· DF A· DC A· DF 1800 600 2400 
Suy ra C· DF E· AF
Ta có CDF EAF c.g.c CF EF .
Chứng minh tương tự, EBC EAF c.g.c EC EF .
Tam giác CEF có CF EF EC nên CEF là tam giác đều.
Bài 9: Cho tứ giác ABCD có AB vuông góc với CD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của 
 BC và AD. P ,Q là trung điểm của hai đường chéo AC và BD. Chứng minh rằng tứ giác 
 MPNQ là hình chữ nhật.
Hướng dẫn:
Xét tam giác ABC có M là trung điểm của BC , P là trung điểm của AC .
 MP là đường trung bình của ABC .
 C
 1 M
 MP / / AB và MP AB .
 2 B
 1 Q
Chứng minh tương tự ta có NQ / / AB và NQ AB . P
 2
 D
 MP / /NQ và MP NQ . A N
Do đó MPNQ là hình bình hành. Chứng minh tương tự ta có MQ / /CD mà AB  CD .
 MP  MQ .
Suy ra MPNQ là hình chữ nhật (hình bình hành có một góc vuông).
Bài 10: Cho tam giác ABC cân tại A (góc A nhọn), các đường cao BD và CE cắt nhau tại H . 
Tia phân giác của góc ·ABD cắt EC và AC theo thứ tự ở M và P . Tia phân giác của góc 
 ·ACE cắt BD và AB theo thứ tự ở Q và N . Chứng minh rằng:
a) A· BD A· CE .
b) BH HC .
c) Tam giác BOC vuông cân.
d) MNPQ là hình vuông.
 A
Hướng dẫn :
a) A· BD A· CE (cùng phụ với Aµ )
 N P
b) Ta có A· BC A· CB , mà A· BD A· CE (câu a) nên O
 · · · · µ µ
 ABC ABD ACB ACE , tức là B3 C3 . E D
Vậy BH CH . M Q
 1 H 1
 µ µ µ µ µ µ µ µ 2 2
c) Tam giác OBC có B3 C3 , B2 C2 nên B3 B2 C3 C2 3 3
 B C
Tức là O· BC O· CB nên OBC là tam giác cân (1)
 µ µ µ µ µ µ µ µ 0 µ µ · 0
Ta lại có: B2 B3 C2 C3 B2 B3 B1 C3 90 (vì C2 B1 ) nên BOC 90 (2)
Từ (1) và (2) suy ra OBC vuông cân tại O .
d) OBC vuông cân tại O nên OB OC (3)
Vì BMH CQH g.c.g BM CQ (4)
Từ (3) và (4) suy ra OB – BM OC – CQ , tức là OM OQ .
Tam giác BNQ có đường cao BO cũng là đường phân giác nên ON OQ .
Tương tự OP OM .
Suy ra OM OQ ON OP do đó MNPQ là hình chữ nhật.
Ta lại có MP  NQ nên MNPQ là hình vuông.
ĐỀ 2
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A AB AC , đường cao AH . Gọi D là điểm đối xứng 
của A qua H. Đường thẳng kẻ qua D song song với AB cắt BC và AC lần lượt ở M và 
 N .
d) Tứ giác ABDM là hình gì? Vì sao?
e) Chứng minh M là trực tâm của tam giác ACD .
f) Gọi I là trung điểm của MC , chứng minh góc H· NI 90 . Bài 2: Cho hình vuông ABCD . Qua điểm M thuộc đường chéo AC , kẻ 
 ME  AD, MF  CD . Chứng minh rằng:
a) BE  AF
b) BM  EF
c) Các đường thẳng BM ,AF,CE đồng quy
Bài 3: Cho hình vuông ABCD . Trên tia đối của tia BA ta lấy một điểm M , trên tia đối của 
tia CB ta lấy điểm N , trên tia đối của tia DC ta lấy một điểm P và trên tia đối của tia AD 
ta lấy điểm Q sao cho AQ BM CN DP . Chứng minh:
a) Các tam giác vuông AQM , BMN, CNP, DPQ bằng nhau.
b) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình vuông.
c) Hai hình vuông MNPQ và ABCD có chung một tâm đối xứng.
Bài 4: Cho hình vuông ABCD . Gọi E, F, G lần lượt là trung điểm của AB, BC, DE . Vẽ 
 BT  EF tại T .
a) Chứng minh △ AGT cân.
b) Chứng minh CE  GT .
c) Gọi M là giao điểm của CE và DF . Chứng minh AM AB .
Bài 5: Cho hình thang ABCD ( AB là đáy nhỏ). Qua trung điểm I của BC kẻ đường 
thẳng song song với AD lần lượt cắt AB tại M và CD tại N .
a) Chứng minh rằng: SABCD SAMND .
b) Kẻ AH, DK lần lượt vuông góc với MN , chứng minh: SABCD SAHKD
Bài 6: Cho tam giác ABC có các trung tuyến BD vàCE . Trên cạnh BC lấy các điểm 
 M , N sao cho BM MN NC . Gọi I là giao điểm của AM và BD , K là giao điểm 
của AN và CE . Chứng minh rằng:
a) BCDE là hình thang
b) K là trung điểm của EC .
c) BC 4IK .
Bài 7: Cho tam giác ABC . Trên BC lấy điểm M bất kỳ. Trên đoạn thẳng AM lấy một 
 S BM
điểm D bất kỳ. Chứng minh ABD .
 SACD CM
Bài 8: Cho hình bình hành ABCD . Lấy M tùy ý trên cạnh DC . Gọi O là giao điểm của 
 AM và BD .