Chuyên đề đồng dư thức

Chuyên đề 
ĐỒNG DƯ THỨC
A.Tóm tắt các kiến thức cơ bản :
I/Định nghĩa : Cho m là số nguyên dương. Hai số nguyên a và b được gọi đồng với nhau theo module m, nếu a - b chia hết cho m ( a - b )| m hay m\(a - b) 
Ký hiệu : a ≡ b (mod m) được gọi là một đồng dư thức.
Ví dụ : 3 ≡ - 1 (mod 4)
 5 ≡ 17 (mod 6)
18 ≡ 0 (mod 6)
Điều kiện a ≡ 0 (mod m) có nghĩa là bội của a m (a | m) hay m là ước của a ( m \ a) .
Nếu a - b không chia hết cho m, ta viết a ≡ b (mod m)
II/ Các tính chất cơ bản :
1) Với mọi số nguyên a, ta có a ≡ a (mod m)
2) a ≡ b (mod m) => b ≡ a (mod m)
3) a ≡ b (mod m) và b ≡ c (mod m) => a ≡ c (mod m)
 	*Chứng minh : Ta có : a ≡ b (mod m) => a - b m (m \ (a - b)
 	 và b ≡ c (mod m) => b - c m (m \ (b - c)
Vì a - c = (a - b) + (b - c) => a - c m (tính chất chia hết của tổng) hay 
 a ≡ c (mod m).
4) ) a ≡ b (mod m) và c ≡ d (mod m) => a + c ≡ b + d (mod m)
*Chứng minh : 
Ta có : a ≡ b (mod m) => a - b m => a - b = m.q1 (với q1Î Z) (1)
 c...ay ≡ (mod m)
7)Nếu a ≡ b (mod m) và d là số nguyên là ước chung của ba số a, b, m 
thì ≡ (mod )
*Chứng minh :
Vì Nếu a ≡ b (mod m) => a - b m => a - b = mq (1)
Và d là ước chung của a, b, m => d ≠ 0. Chia cả hai về (1) cho d
 = - = .q => - hay là ước của - 
Vậy : ≡ (mod )
8)Nếu a ≡ r (mod m) với 0 ≤ r < m , thì r chính là số dư trong phép chia a cho m. 
Chứng minh : Ta có a ≡ r (mod m) => a - r = m.q => a = m.q + r (với 0 ≤ r < m)
B/Áp dụng :
I.Các ví dụ :
 Dạng 1 : Tìm số dư của phép chia
Bài 1 : Tìm số dư trong phép chia 20042004 cho 11
Sử dụng dấu hiệu chia hết cho 11 : Một số được gọi là chia hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu giữa các tổng chữ số ở hàng lẻ và tổng các chữ số hàng chẵn kể từ trái sang phải chia hết cho 11.
Ví dụ : Xét xem số 5016 có chia hết cho 11 ?
Ta có (5 + 1) - (0 + 6) = 0. Vì 0 11 = > 5016 11
Giải :
Ta có 2002 11 => 2004 - 2 11 => 2004 ≡ 2 (mod 11) 
 => 20042004 ≡ 22004 (mod 11) , mà 210 ≡ 1 (mod 11) (vì 1024 - 1 11)
 => 20042004 = 24.22000 = 24.(210)200 ≡ 24 ≡ 5 (mod 11) 
Vậy 20042004 chia 11 dư 5.
Bài 2 : Tìm số dư khi chia A = 19442005 cho 7
Giải :
Ta có : 1944 ≡ -2 (mod 7) => 19442005 ≡ (-2)2005 (mod 7) 
Mà (-2)3 ≡ - 1 (mod 7) => (-23)668 ≡ 1668 (mod 7) hay (-23)668 ≡ 1 (mod 7) 
=> (-23)668.(-2) ≡ - 2 (mod 7) hay (-2)2005 ≡ - 2 (mod 7) 
Vậy 19442005 cho 7 dư 5.
Bài 3 : Chứng minh rằng các số A = 61000 - 1 và B = 61001 + 1 đều là bội số của 7
Giải :
Ta có 6 ≡ - 1 (mod 7) => 61000 ≡ 1 (mod 7) => 61000 - 1 7
Vậy A là bội của 7
Từ 61000 ≡ 1 (mod 7) => 61001 ≡ 6 (mod 7) , mà 6 ≡ - 1 (mod 7)
=> 61001 ≡ -1 (mod 7) => 61001 + 1 7
Vậy B là bội của 7
Bài 4 : Tìm số dư trong phép chia 15325 - 1 cho 9
Giải :
Ta có 1532 ≡ 2 (mod 9) => 15325 ≡ 25 (mod 9) , mà 25 ≡ 5 (mod 9)
=> 15325 ≡ 5 (mod 9) => 15325 - 1 ≡ 4(mod 9) 
Vậy 15325 - 1 chia cho 9 dư là 4.
Bài 5 : Chứng minh rằng A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19
Giải :
Ta có A = A = 7.52n + 12....78 (mod 5)
=> 776776 + 777777 + 778778 ≡ 1 - 3777 + 3778 (mod 5)
Hay 776776 + 777777 + 778778 ≡ 1 + 3.3777 - 3777 (mod 5)
776776 + 777777 + 778778 ≡ 1 + 3777(3 - 1) (mod 5)
776776 + 777777 + 778778 ≡ 1 + 2.3777
Mà 32 ≡ - 1(mod 3) => (32)388.3 ≡ 3 (mod 5)
Vậy A = 776776 + 777777 + 778778 ≡ 1 + 2.3 ≡ 2 (mod 5)
Vậy A chia cho 5 dư 2.
Bài 11 : Tìm số dư của A = 32005 + 42005 khi chia cho 11 và khi chia cho 13 ?
Giải :
+Ta có : 35 ≡ 1 (mod 11) => (35)401 ≡ 1 (mod 11)
 Và 45 ≡ 1 (mod 11) => (45)401 ≡ 1 (mod 11)
=> A = 32005 + 42005 ≡ 2 (mod 11) 
=> A chia cho 11 dư 2
+Ta có : 33 ≡ 1 (mod 13) => (33)668. 3 ≡ 1.3 (mod 13) => 32005 ≡ 3 (mod 13) 
 Và 43 ≡ -1 (mod 13) =>(43)668 .4≡ 1.4 (mod 13) => 42005 ≡ 4 (mod 13) 
=> A = 32005 + 42005 ≡ 7 (mod 13) 
=> A chia cho 13 dư 7 .
Bài 12 : Giả sử m là số nguyên dương. Chứng minh rằng : Nếu ac1 ≡ ac2 (mod m) và (a, m) = 1 thì c1 ≡ c2 (mod m)
Giải :
Ta có : ac1 ≡ ac2 (mod m) => m \ ac1 - ac2 => m \a(c1 - c2)
Vì (a, m) = 1 => m \ c1 - c2 => c1 ≡ c2 (mod m)
Bài 13 :
Chứng minh rằng : Nếu p là một số nguyên tố và không là ước của số nguyên a thì ap - 1 ≡ 1 (mod p) 
Giải :
Xét dãy số 1; 2; 3; ... ; p - 1. Tất cả các số này đôi một không đồng dư với nhau theo môđun p. Do đó các số a, 2a, 3a, ... ; (p - 1)a cũng đôi một không đồng dư với nhau rtheo môđun p. Bởi vì ngược lại nếu có r1a ≡ r2a (mod p) mà (a, p) = 1 => r1 ≡ r2 (mod p) - với r1, r2 là hai số nào đó của dãy số 1, 2, 3, ... , p - 1 (vô lí) 
Hơn nửa mõi một số của dãy a, 2a, 3a, ... , (p - 1)a đồng dư với đúng một trong các số 1, 2, 3, ... , p - 1 theo môđun p
=> a.2a.3a. ... .(p- 1)a ≡ 1.2.3. ... (p - 1) (mod p) hay (p - 1)!ap - 1 ≡ (p - 1)! (mod p).
Vì (p, (p - 1)!) = 1 => ap - 1 ≡ 1 (mod p) 
Bài 14 : Chứng minh rằng : Nếu c là số nguyên dương : a ≡ b (mod m) => ac ≡ bc (mod c.m) 
Giải : 
a ≡ b (mod m) => a - b = m.q => ac - bc = mc.q => ac ≡ bc (mod c.m) 
*Định lý nhỏ Fermat : Gi