Tài liệu Tự học Toán 8 - Phần 7

 Tự học toán 8
 Chương
 TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
 4
 Bài 1
 ĐỊNH LÍ TA LÉT
 Tóm tắt lý thuyết
 Chương III bắt đầu bằng việc nghiên cứu tỉ số của hai đoan thẳng, đó là tỉ số các độ dài của 
 chúng theo cùng một đơn vị đo.
 m
 Cho đoạn thẳng AB và một tỉ số 0 , tồn tại duy nhất một điểm C thuộc đoạn thẳng AB 
 n
 CA m m
 sao cho . Điểm C gọi là điểm chia trong đoạn thẳng AB theo tỉ số (khi đó điểm C 
 CB n n
 n 
 chia đoạn thẳng BA theo tỉ số .
 m 
 m m m 
 Cho đoạn thẳng AB và một tỉ số , 0, 1 , tồn tại duy nhất một điểm D thuộc đường 
 n n n 
 DA m
 thẳng AB nhưng nằm ngoài đoạn thẳng AB sao cho . Điểm D gọi là điểm chia ngoài 
 DB n
 m n 
 đoạn thẳng AB theo tỉ số (khi đó điểm D chia ngoài đoạn thẳng BA theo tỉ số .
 n m 
 Trên hình 1 , điểm C chia trong đoạn thẳng AB theo tỉ số 1: 2, điểm D chia ngoài AB theo 
 tỉ số 1: 2.
 D A C B
 AB A B 
 Nếu thì ta có các căp đoan thẳng tỉ lệ: cặp đoạn A
 CD C D 
 thẳng AB và CD tỉ lệ với cặp đoạn thẳng A B và C D . 
 Dịnh lí Ta-lét cho ta các cặp đoan thẳng tỉ lệ: Đường thẳng 
 song song với một cạnh của tam giác thì định ra trên hai D E
 đường thẳng chứa hai cạnh kia các cặp đoạn thẳng tương ứng 
 tỉ lệ (do đó tạo với các đường thẳng chứa hai cạnh kia một B C
 tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác ban đầu).
 1
Nhóm word hóa tài liệu Tự học toán 8
 AD AE DE
 DE // BC 
 AB AC BC
 Một số ví dụ
  Ví dụ 1. Cho hình thoi BEDF nội tiếp tam giác ABC(E thuộc AB, D thuộc AC, F thuộc BC)
 1 Tính cạnh hình thoi biết AB 4 cm, BC 6 cm . Tổng quát với AB c, BC a .
 2ac
 2. Chứng minh rằng BD với AB c, BC a .
 a c
 3. Tính độ dài AB, BC , biết AD m, DC n , cạnh hình thoi bằng d .
 Lời giải
1. Gọi cạnh hình thoi là x . Áp dụng định lí Ta-lét vào ABC với ED // BC , ta có:
 ED AE x 4 x
 x 2,4 cm
 BC AB 6 4
 ac
Tổng quát, x .
 a c
2. Trên tia đối của tia BC lấy điểm K sao cho BK BA . Ta có ABK cân, từ đó BD // KA. Áp 
dụng định lí Ta-lét vào CAK với BD // KA ta có:
 BD CB BD a
 (1)
 AK CK AK a c
Trong ABK , ta có:
 AK AB BK c c 2c (2)
 2
Nhóm word hóa tài liệu Tự học toán 8
Từ (1) và (2) suy ra:
 a 2ac
 BD 2c 
 a c a c
3. Áp dụng định lí Ta-lét vào ABC với ED // BC ta có:
 ED AD d m d m n 
 BC .
 BC AC BC m n m
 d m n 
Tương tự AB .
 n
 Chú ý: Từ kết quả của câu b, ta có:
 1 a c 1 1 1 
 BD 2ac 2 a c 
Do đó, nếu goi AM ,CN là các dường phân giác của ABC và AC b thì
 1 1 1 1 1 1
 .
 AM BD CN a b c
  Ví dụ 2. Cho tam giác ABC(AC AB) . Lấy các điểm D, E tùy ý theo thứ tự nằm trên các 
 cạnh AB, AC sao cho BD CE. Gọi K là giao điểm của các đường thẳng DE, BC . Chứng minh 
 KE
 rằng tỉ số không phụ thuộc vào cách chọn các điểm D và E .
 KD
 Lời giải
 KE
Cách 1: Để làm xuất hiện một tỉ số bằng , ta A
 KD
vẽ qua D đường thẳng DG // AC . Theo định lí 
Ta-lét, ta có: D
 E
 KE KC KE EC
 , .
 KD KG KD DG K
 B G C
Trong hai tỉ số trên, ta chú ý đến tỉ số sau, vì độ 
dài EC được nêu trong giả thiết EC BD .
 3
Nhóm word hóa tài liệu Tự học toán 8
 EC BD BA
Ta thay bằng và tỉ số này bằng (vì DG // AC)
 DG DG AC
 A
Cách 2:
Vẽ EH // AB ta có: D
 E
 KE EH EH AB
 . K
 KD BD EC AC B H C
 A
Cách 3: Vẽ DM // BC . Ta có:
 KE CE BD AD AB D M
 E
 KD CM CM AM AC
 K
 B C
Nhận xét: Trong các bài tập vận dụng định lí Ta-lét, nhiều khi ta cần vẽ thêm một đường thẳng song 
song với một đường thẳng cho trước.
Đây là một cách vẽ được phụ hay dùng, vì nhờ đó mà tạo thêm được các cặp đoạn thẳng tỉ lệ.
.
  Ví dụ 3. Cho hình thang ABCD có AB // CD, AB CD . Gọi O là giao điểm của hai đường chéo, K là 
 giao điểm của AD và BC . Đường thẳng KO cắt AB,CD theo thứ tự ở M , N Chứng minh rằng:
 MA MB MA MB
 a) b) c) MA MB; NC ND
 ND NC NC ND
 4
Nhóm word hóa tài liệu Tự học toán 8
 Lời giải K
 A M B
 O
 C
 D N
 1. Áp dụng định lí Ta-lét vào các tam giác KDN, KNC với AB // CD , ta có:
 MA KM MB KM MA MB
 , , suy ra (1)
 ND KN NC KN ND NC
 2. Áp dụng định lí Ta-lét vào các tam giác ONC,OND với AB // CD , ta có:
 MA OM MB OM MA MB
 , , suy ra (2)
 NC ON ND ON NC ND
 3. Nhân từng vế (1) với (2) ta được:
 MA2 MB2
 , suy ra MA2 MB2 tức là MA MB
 ND  NC NC  ND
Từ đó NC ND .
Nhận xét: Từ ví dụ trên, ta suy ra:
Trong hình thang có hai cạnh đáy không bằng nhau, đường thẳng đi qua giao điểm của các đường 
chéo và đi qua giao điểm của các đường thẳng chứa hai cạnh bên thì đi qua trung điểm của hai cạnh 
đáy.
Tính chất này có nhiều ứng dụng quan trọng, được gọi là bổ đề hình thang.
 Bài tâp tự luyện 
 Bài 1. Trong hình thang ABCD AB // CD có AB 28 cm,CD 70 cm, AD 35 cm , vẽ một 
đường thẳng song song với hai cạnh đáy, cắt AD, BC theo thứ tự ở E và F . Tính độ dài EF biết 
rằng DE 10 cm .
 Lời giải
 5
Nhóm word hóa tài liệu Tự học toán 8
 A B
Gọi I là giao của AC và EF . Áp dụng định lí Ta-
lét cho ACD nên ta có:
AE EI AI 25 EI
 EI 50 E I
AD DC AC 35 70 F
 AI 5 IC 2
Vì 
 AC 7 AC 7 D C
Áp dụng định lí Ta-lét cho tam giác ABC ta có:
IC IF 2 IF
 IF 8
CA AB 7 28
Vậy EF 58 cm
 Bài 2. Gọi O là giao điểm của các đường thẳng chứa hai cạnh bên AD, BC của hình thang 
ABCD . Đường thẳng đi qua O và song song với AB cắt các đường thẳng AC, BD theo thứ tự ở 
M , N . Chứng minh rằng OM ON
 Lời giải O
Vì MN // CD nên ta có N M
 OM OA ON OB
 ; (1)
 CD AD CD BC
Áp dụng định lí Ta-lét cho tam A B
giác OCD ta có 
 OA OB
 2 
 AD BC
Từ 1 và 2 suy ra D C
OM ON
 OM ON
CD CD
 Bài 3. Cho hình thang ABCD có các cạnh đáy AB a,CD b . Qua giao điểm O của hai 
đường chéo, kẻ đường thẳng song song với AB , cắt AD và BC theo thứ tự ở E và G . Chứng 
 1 1 1 1
minh rằng 
 OE OG a b
 Lời giải A B
 E G
 O
 D C
 6
Nhóm word hóa tài liệu Tự học toán 8
Áp dụng định lí Ta-lét cho tam giác ACD , ta có
 OE AO 1 AC 1 CO 1 DC 1 1 1
  1  1  
 DC AC OE AO DC AO DC AB DC AB CD
 OG OC 1 AC 1 AO 1 AB 1 1 1
  1  1  
 AB AC OG OC AB CO AB DC AB AB CD
 1 1 1 1
Vậy .
 OE OG a b
 Bài 4. Cho hình thang ABCD AB // CD . Một đường thẳng d song song với hai cạnh đáy cắt 
hai cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M , N và cắt hai đường chéo BD, AC theo thứ tự ở H, K
 1. Chứng minh rằng MH KN .
 2. Hãy nêu cách dựng đường thẳng d sao cho MH KH KN .
 Lời giải
 A B
 1 Vì MN // AB, MN // CD nên áp dụng định lý Ta-lét ta có M N
 H K
 MH MD CN KN
 AB AD CB AB D I C
Suy ra MH KN
 2 Gọi I là giao điểm của AH và CD . Khi đó
 MH AH HK
 DI AI IC
 Suy ra MH HK DI IC .
 Vậy ta dựng đường thẳng d như sau: Lấy I là trung điểm của CD . Gọi H là giao của AI 
và BD . Kẻ đường thẳng d đi qua H và song song với AB ta được đường thẳng cần tìm.
 Bài 5. Tam giác ABC có AC AB, AC 45 cm . Hình chiếu của AC A
và AB trên BC theo thứ tự là 27 cm và 15 cm . Đường trung trực của N
 BC cắt AC ở N . Tính độ dài CN Lời giải
Gọi M là trung điểm của BC, AH  BC . Ta xét hai trường hợp sau B H M C
 Bˆ 90 . Khi đó, H nằm giữa B và C nên BC 42 cm , suy ra CM BM 21 cm .
 CI CN
Áp dụng định lí Ta-lét cho tam giác AHC ta có CN 35 cm
 CH AC
 7
Nhóm word hóa tài liệu Tự học toán 8
 Bˆ 90 . Khi đó, B nằm giữa H và C nên BC 12 cm , suy ra A
CM BM 6 cm .
Áp dụng định lí Ta-lét cho tam giác AHC ta có
 N
 CI CN
 CN 10 cm 
 CH AC
 Bài 6. Cho hình bình hành ABCD , điểm G chia trong cạnh DC theo tỉ số 
 H B C
1: 2, điểm K chia trong cạnh BC theo tỉ số 3: 2 . Tính độ dài ba đoạn thẳng do M
AG, AK định ra trên BD , biết rằng BD 16 cm
 Lời giải
Gọi E, F là giao điểm của AG, AK với BD . Ta có
 A B
DE DG DG 1
EB AB DC 3 F
 1 1 K
nên DE EB 4 cm E
 3 4
 D G C
 0.4
 3
Tương tự, BF BD 6 cm. Vậy EF 6 cm
 8
Vẽ đường thẳng song song trong các bài tập sau để tạo thành các cặp đoạn thẳng tỉ lệ.
 Bài 7. 1) Cho tam giác ABC có Aˆ 120 , AB 3 cm, AC 6 cm . Tính độ dài đường phân giác 
AD
 1 1 1
 2) Cho tam giác ABC với đường phân giác AD thỏa mãn . 
 AD AB AC
 Tính số đo góc BAC .
 Lời giải
1. Kẻ DE // AB, ADE đều. Đặt AD DE EA x . Ta có
 DE CE x 6 x
 AB CA 3 6
Từ đó x 2 . Vậy AD 2 cm .
 A
 E
 B D C
 8
Nhóm word hóa tài liệu Tự học toán 8
2. Kẻ DE // AB . Đặt DE EA x . Ta có
 DE CE x AC x x
 1 
 AB CA AB AC AC
 x x 1 1 1
 1 
 AB AC AB AC x
 1 1 1
Theo đề bài . Suy ra AD x, ADE đều, B· AC 120 .
 AB AC AD
 Bài 8. Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng nếu một đường thẳng cắt cạnh AB ở D , cắt cạnh 
 BC ở K và cắt tia đối của tia CA ở E sao cho 
 KE
 BD CE thì tỉ số không đổi. A
 KD Lời giải
 D G
 C
 B K
 E
 KE CE BD BA
Kẻ DG // BC. Ta có . 
 KD CG CG CA
 Bài 9. Cho tam giác ABC , điểm D chia trong cạnh BA theo tỉ số 1: 2, điểm E chia trong 
cạnh AC theo tỉ số 2 :5 . Gọi F là giao điểm của các đường thẳng ED và BC . Tính tỉ số FB : FC . 
 Lời giải
 A
 D G
 C
 B K
 E
 9
Nhóm word hóa tài liệu Tự học toán 8
 FB EG EG EA DB EA 1 2 1
Kẻ BG // DE. Ta có    
 FC EC EA EC DA EC 2 5 5
 Bài 10. Cho tam giác ABC , điểm D chia trong cạnh BC theo tỉ số 1: 2, điểm O chia trong 
AD theo tỉ số 3: 2 . Gọi K là giao điểm của BO và AC . Tính tỉ số AK : KC .
 Lời giải
 AK AK KG AO BD 3 1 1
Kẻ DG // BK . Ta có    .
 KC KG KC OD BC 2 3 2
 Bài 11. Cho tam giác ABC , đường trung tuyến AM . Gọi I là điểm bất kì trên cạnh BC . Đường 
 thẳng đi qua I và song song với AC cắt AB ở K , đường thẳng đi qua I và song song với 
 AB cắt AM , AC theo thứ tự ở D , E . Chứng minh rằng DE BK
 Lời giải
 BK BA DE MG MG BA
Kẻ MG // IE . Ta có ; 
 KI AC AE AG GC AC
 BK DE
Suy ra , mà KI AE nên BK DE .
 KI AE
 Bài 12. Tứ giác ABCD có E , F theo thức tự là trung điểm của CD , CB , O là giao điểm của 
 2
 AE và DF;OA 4OE,OD OF . Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành.
 3
 Lời giải
Kẻ EI // DA cắt DF , lấy K là trung điểm của CF . Đặt OD 2a,OF 3a . 
 10
Nhóm word hóa tài liệu