Đề cương ôn tập Toán 8 - Chuyên đề: Tính chia hết đối với đa thức

 TÍNH CHIA HẾT ĐỐI VỚI ĐA THỨC
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Khỏi niệm
+) Đa thức A x chia hết cho đa thức B x khi và chỉ khi tồn tại đa thức C x sao cho 
A x B x .C x . Tức là A x B x C x : A x B x .C x 
+) Với 2 đa thức một biến A x và B x tựy ý, tồn tại duy nhất 2 đa thức Q x và R x sao 
cho: A x B x .Q x R x ( R x 0x Ă hoặc R x cú bậc nhỏ hơn bậc của B x ). Nếu 
R x 0x Ă thỡ ta cú phộp chia hết, cũn khụng thỡ ta cú phộp chia cú dư.
+) Định lý Bezout (phỏt biểu năm 1770 bởi nhà toỏn học Phỏp ẫtienne Bộzout (1730-1783))
“Khi đa thức f x chia cho nhị thức x a được dư là R thỡ R f a ”.
+) Lược đồ Horner (Phương phỏp đặt tờn theo nhà toỏn học người Anh William George Horner, mặc 
dự cỏc phương phỏp này đó được biết đến trước đú bởi Paolo Ruffini và sỏu trăm năm trước bởi nhà toỏn 
học Trung Quốc Tần Cửu Thiều)
 n n 1
Dạng 1. Cho đa thức P x an x an 1x ... a1x a0 , an ,an 1,...,a1,a0 Ă . Chia đa thức P x 
cho nhị thức x ta được Q x , khi đú Q x được tỡm như sau:
 an an 1 ... a1 a0
 bn an bn 1 .bn an 1 ... b1 b2 a1 b0 b1 a0
 b
Khi đú Q x b xn 1 b xn 2 ... b x b 0 . Nếu b 0 thỡ ta được phộp chia hết.
 n n 1 2 1 x 0
 n n 1
Dạng 2. Cho đa thức P x an x an 1x ... a1x a0 , an ,an 1,...,a1,a0 Ă . Ta cần phõn tớch P x 
 n
theo đa thức Q x an x ... c1 x b0 . Hệ số Q x ta tỡm theo lược đồ sau:
 Bậc an an 1 an 2 ..... a1 a0
 0 bn an bn 1 .bn an 1 bn 2 .bn 1 an 2 b1 .b2 a1 b0 .b1 a0
 1 cn bn cn 1 .cn bn 1 cn 2 .cn 1 bn 2 c1 .c2 b1
 2 dn cn
 3 en dn
 n tn an
Sau khi lập xong lược đồ, ta lấy giỏ trị ở cỏc ụ tụ màu làm kết quả, tức là
 n
 Q x an x ... c1 x b0 2. Tớnh chất.
 A x B x 
a)  A x C x B x ; b) A x B x A x .M x B x 
 C x B x  
 A x M x 
c)  A x .B x M x .N x 
 B x N x  
II. Tỡm dư của phộp chia mà khụng thực hiện phộp chia.
 1. Đa thức chia cú dạng x-a (a là hằng số)
*Phương phỏp:
+ Sử dụng định lớ Bơdu
+Sử dụng sơ đồ Hoocne
 1.1. Định lớ Bơdu
a)Định lớ: Số dư của phộp chia đa thức f (x) cho nhị thức x-a đỳng bằng f(a)
Vớ dụ: Tỡm số dư của phộp chia da thức f(x) = x243+x27+x9+x3+1 cho x+1
Giải:
Theo định lớ Bơdu ta cú số dư của phộp chia f(x) cho x+1 đỳng băng f(-1)
Cú f(-1)= (-1)243+(-1)27+(-1)9+(-1)3+1=-3
Vậy số dư của phộp chia đa thức f(x) cho x+1 bằng -3.
b) Hệ quả.
+) f(x) (x-a) f(a)=0.
+) Đa thức f(x) cú tổng cỏc hệ số bằng 0 thỡ f(x)  (x-1)
+) Đa thức f(x) cú tổng cỏc hệ số của cỏc hạng tử bậc chẵn bằng tổng cỏc hệ số của cỏc hạng tử 
bậc lẻ thỡ f(x)  (x+1).
1.2 . Sơ đồ Hooc-ne.
 a) Sơ đồ
Vớ dụ1 : Tỡm đa thức thương và dư cuả phộp chia đa thức x3-5x2+8x-4 cho x-2 mà khụng cần 
thực hiện phộp chia.
GV thực hiện mẫu:
 1 -5 8 -4 a= 2 1 -3 2 0
Vớ dụ 2:(x3-7x+6):(x+3)
HS thực hiện VD2.
GV tổng quỏt:
 n n-1 n-2
Với đa thức f(x)=a0x +a1x +a2x + ..+an-1x+an.
Ta cú sơ đồ Hoocne:
 a0 a1 a2 an-1 an
a B0=a0 b1=a.b0+a1 b2=a.b1+a2 bn-1=a.bn-2+an-1 r=a.bn-1+an
 b,Chứng minh sơ đồ (Nõng cao phỏt triển ) 
c,Áp dụng sơ đồ Hooc –ne để tớnh giỏ trị của đa thức f(x) tại x=a (Đọc SGK/68)
2. Đa thức chia cú bậc từ bậc hai trở lờn
*Phương phỏp
Cỏch1: Tỏch ra ở đa thức bị chia những đa thức chia hết cho đa thức chia 
Cỏch2: Xột giỏ trị riờng (sử dụng khi đa thức chia cú nghiệm )
 Vớ dụ:Tỡm dư khi chia f(x) =x7+x5+x3+1 cho x2-1
C1: f(x)=x7+x5+x3+1=(x7-x)+(x5-x)+(x3-x) +3x+1
 =x(x6-1)+x(x4-1)+x(x2-1)+3x+1
Cú x6-1 x2-1;x4-1x2-1;x2-1x2-1
 f(x): x2 -1 dư 3x+1
C2: Cú f(x)=(x2-1).Q(x)+ax+b với mọi x (1)
Đẳng thức (1) đỳng với mọi x ,nờn 
Với x=1 cú f(x)=a+b=4
 x=-1 cú f(-1)=-a+b=-2
a=3;a=1
Vậy dư là 3x+1
*Chỳ ý :
+) an-bna-b ( a b)
 an+bna+b (n lẻ ;a -b)
+) xn-1x-1
 x2n-1x2-1 x-1; x-1 x4n-1x4-1 x2-1; x2 +1
 x3n-1x3-1  x2+x+1
III Chứng minh một đa thức chia hết cho 1 đa thức 
*Phương phỏp : cú 4 cỏch 
C1:Phõn tớch đa thức bị chia thành nhõn tử cú chứa đa thức chia (đ/n~ A=B.Q)
C2:Biến đổi đa thức bị chia thành tổng cỏc đa thức chia hết cho đa thức chia(t/chất)
C3:Sử dụng cỏc biến đổi tương đương 
 f(x) g(x) f(x) g(x) g(x)
C4:Chứng tỏ rằng mọi nghiệm của đa thức chia đều là nghiệm của đa thức bị chia 
B.Cỏc dạng bài tập 
Dạng 1:Tỡm dư của phộp chia (khụng làm tớnh chia)
Phương phỏp: Sử dụng cỏc pp trong phần II lớ thuyết.
Bài1:Tỡm dư của phộp chia x41 cho x2+1 
Gv gợi ý để HS chọn được đỳng phương phỏp
HS: x41=x41-x+x=x(x40-1)+x
 =x[(x4)10-1]+x
 =x[(x2-1)(x2+1)]10+x
 x[(x2-1)(x2+1)]10+x:(x2+1) dư x
Bài 2.Tỡm dư của phộp chia f(x) =x50+x49+..........+x2+x+1 cho x2-1.
 Gv gợi ý để HS chọn được đỳng phương phỏp
HS: Chọn cỏch xột giỏ trị riờng vỡ đa thức cú nghiệm 
Bài 3.Đa thức f(x) khi chia cho x+1 dư 4 , chia cho x2+1 dư 2x+3
Tỡm phần dư khi chia f(x) cho (x+1)(x2+1)
HD: Cú f(x)=(x+1).A(x)+4 (1)
 f(x)=(x2+1).B(x)+2x+3 (2)
 f(x)=(x+1)(x2+1).C(x) +ax2+bx+c (3) =(x+1)(x2+1).C(x)+a(x2+1)+bx+c-a
 =(x2+1)[C(x).(x+1)+a]+bx+(c-a) (4)
 Từ (2) và (4) b=2;c-a=3
 9 3
 b=2;c= ;a=
 2 2
 3 9
 Vậy đa thức dư là x2+2x+
 2 2
Dạng 2: Tỡm đa thức thỏa món điều kiện cho trước.
Phương phỏp: Xột giỏ trị riờng.
Bài 1: Với giỏ trị nào của a và b thỡ đa thức f(x)= x3+ax2+bx+2 chia cho x+1 dư 5; chia cho x+2 thỡ dư 8.
HD:
Vỡ f(x)= x3+ax2+bx+2 chia cho x+1 dư 5; chia cho x+2 thỡ dư 8 nờn ta cú:
f(x)=(x+1).Q(x)+5
f(x)=(x+2).H(x)+8
Với x=-1 ta cú f(-1)=-1+a-b+2=5 (1)
Với x=-2 ta cú f(-2)=-8+4a-2b+2=8 (2)
Từ (1) và (2) ta cú: a=3; b=-1.
Bài 2: Tỡm đa thức f(x) biết f(x) chia cho x-3 thỡ dư 7; chia cho x-2 thỡ dư 5; chia cho (x-3)(x-2) được 
thương là 3x và cũn dư.
HD:
Theo bài ta cú:
 f(x)= (x-3).A(x)+7
f(x)=(x-2).B(x)+5
f(x)=3x(x-3)(x-2)+ax+b.
cỏc đẳng thức tren đỳng với mọi x nờn:
+Với x=2 cú f(2)=5=> 2a+b=5
+Với x=3 cú f(3)=7=> 3a+b=7
  a=2; b=1.
Do đú dư là 2x+1
F(x)= 3x(x-2)(x-3)+2x+1+3x3-15x2+20x+1
Dạng 3: Chứng minh chia hết Phương phỏp: Sử dụng cỏc pp trong phần III lớ thuyết.
Bài 1: Chứng minh rằng: x50+x10+1 chia hết cho x20+x10+1
 HD:Đặt x10=t=> cần chứng minh t5+t+1 chia hết cho t2+t+1
Cú t5+t+1=t5-t2+t2+t+1=t2(t-1)(t2+t+1)+( t2+t+1)  t2+t+1
Chứng tỏ x50+x10+1 chia hết cho x20+x10+1.
Bài 2: (x2-x9-x1945) (x2-x+1)
 HD: 
x2-x9-x1945=(x2-x+1)+(-x9-1)+(-x1945+x)
Cú x2-x+1  x2-x+1
x9+1x3+1 nờn x9+1 x2-x+1
x1945-x=x(x1944-1)=x((x6)324-1) x6-1 nờn x1945-x x3+1 nờn x1945-x  x2-x+1
Chứng tỏ (x2-x9-x1945) (x2-x+1)
Bài tập về nhà:
Bài 1: Tỡm dư khi chia cỏc đa thức sau:
 a) x43: (x2+1)
 b) (x27+x9+x3+x):(x-1)
 c) (x27+x9+x3+x):(x2-1)
 d) (x99+x55+x11+x+7): (x+1)
 e) (x99+x55+x11+x+7): (x2+1)
Bài 2: Chứng minh rằng:
 a) x10-10x+9 chia hết cho (x-1)2
 b) x8n+x4n +1 chia hết cho x2n+xn +1( với n là số tự nhiờn)
 c) x3m+1 +x3n+2 +1 chia hết cho x2+x +1( với m, n là số tự nhiờn)
Bài 3: Cho đa thức f(x), cỏc phần dư trong cỏc phộp chia f(x) cho x và cho x-1 lần lượt là 1 và 2. 
Hóy tỡm phần dư trong phộp chia f(x) cho x(x-1)
Bài 4 : Tìm đa thức f(x) biết rằng f(x) chia cho x - 3 thì dư 2, f(x) chia cho x + 4 thì dư 9, còn 
f(x) chia cho x2 +x - 12 thì được thương là x2 + 3 và còn dư. 
Duyệt của tổ chuyờn mụn: Văn Lõm, ngày 14 thỏng 12 năm 2014.
 Người thực hiện:
 Nguyễn Thị Thảo
Đỏnh giỏ, nhận xột chuyờn đề: