Đề cương ôn tập môn Hình học Lớp 8 - Chương I đến IV

 ĐỘT PHÁ HèNH HỌC 8 :
 CHƯƠNG I. TỨ GIÁC .BÀI 1. TỨ GIÁC
A.Lí THUYẾT:
 1) Định nghĩa: 
 Tứ giỏc ABCD là hỡnh gồm 4 đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, trong đú bất kỳ hai đoạn 
 thẳng nào cũng khụng cựng nằm trờn một đường thẳng.
 Tứ giỏc lồi là tứ giỏc luụn nằm trong một nửa mặt phẳng cú bờ là đường thẳng chứa 
 bất kỳ cạnh nào của tứ giỏc.
 Hai đỉnh kề nhau: A và B; B và C; C và D; D và A
 Hai đỉnh đối nhau: A và C; B và D
 Đường chộo AC; BD
 Hai cạnh kề nhau: AB và BC; BC và CD; CD và DA
 Hai cạnh đối nhau: AB và CD; AD và BC
 Hai gúc kề nhau: À và Bà ; Bà và Cà ; Cà và Dà ; Dà và À
 Hai gúc đối nhau: À và Cà ; Bà và Dà
 Điểm nằm trong tứ giỏc: M
 Điểm nằm trờn tứ giỏc: N
 Điểm nằm ngoài tứ giỏc: P
2) Định lý: Tổng cỏc gúc của một tứ giỏc bằng 1800
B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI BÀI TẬP
Bài 1. Cho tứ giỏc ABCD biết Bà + Cà = 2000, Bà + Dà = 1800; Cà + Dà = 1200.
a) Tớnh số đo cỏc gúc của tứ giỏc.
b) Gọi I là giao điểm của cỏc tia phõn giỏc của À và Bà của tứ giỏc. Chứng minh: 
 Cà Dà
à IB 
 2
 Bài giải:
a) Từ giả thiết ta cú: 2Bà 2Cà 2Dà 2000 1800 1200 Bà Cà Dà 2500.
Vỡ À Bà Cà Dà 3600 À 1100 .
 B
Bà 2500 Cà Dà 2500 1200 1300 . 
Cà 2000 Bà 2000 1300 700 . A
Dà 1200 Cà 1200 700 500 .
b) Trong tam giỏc ABI: 
 0 à à I
 À Bà 360 A B Cà Dà
à IB 1800 .
 2 2 2 D C
 1 A
Bài 2. Cho tứ giỏc lồi ABCD cú Bà + Dà = 1800, CB = CD. Chứng 
 Bã AD
minh AC là tia phõn giỏc của . D
 Bài giải:
Trờn tia đối tia BA lấy điểm I sao cho BI = AD.
Ta cú à DC IãBC (cựng bự với gúcà BC ).
AD = IB, DC = BC. Từ đú ta cú ADC IBC . B C
Suy ra: Dã AC Bã IC và AC = IC.
Tam giỏc ACI cõn tại C nờn Bã AC Bã IC Dã AC .
Vậy AC là phõn giỏc trong gúc Bã AD . I
Bài 3. Cho tứ giỏc lồi ABCD, hai cạnh AD và BC cắt nhau tại E, hai cạnh DC và AB cắt nhau 
tại F. Kẻ tia phõn giỏc của hai gúc CED và BFC cắt nhau tại I. Tớnh gúc EIF theo cỏc gúc trong 
tứ giỏc ABCD.
 Bài giải:
FI cắt BC tại K, suy ra K thuộc đoạn BC
 ả ã ã ả F
 EIF EKI IEK (EIF là gúc ngoài của IKE)
 = Bà Bã FK IãEK (Cã KF là gúc ngoài của FBK)
 Bà Cà
Bã FC 1800 Bà Cà Bã FK 900 .
 2 A
 À Bà D
à EB 1800 À Bà IãEK 900 .
 2
 Bà Cà À Bà I E
Vậy EảIF Bà + 900 900 
 2 2
 C
 À Cà Bà Dà B K
 1800 
 2 2
 1
Bài 4. Cho tứ giỏc ABCD. Chứng minh: p < AC + BD < p (p: chu vi của tứ giỏc)
 2
 Bài giải:
Gọi I là giao điểm của AC và BD. Theo bất đẳng thức tam B giỏc, 
ta cú:
 A
IA + IB > AB, IA + ID >AD, IB + IC >BC, IC +ID >CD 
Cộng theo vế, ta được: 2(IA + IB + IC + ID) > p, từ đú:
 1
AC + BD > p. I
 2
Lại cú: AC < AB+BC, AC < AD + DC, BD < BA +AD, BD < BC + 
CD. D C
Suy ra 2(AC + BD) < 2(AB + BC + CD + DA) = 2p AC + BD < p.
Bài 5. Cho tứ giỏc ABCD, M là một điểm trong tứ giỏc đú. Xỏc định vị trớ của M để MA + MB 
+ MC + MD nhỏ nhất.
 2 Bài giải:
 B
Gọi I là giao điểm của AC và BD. Ta cú cỏc bất đẳng thức: A
MA + MC AC, MB + MD BD. I
Từ đú suy ra MA + MB + MC + MD AC + BD
MA + MB + MC + MD = AC + BD khi M trựng với I.
Vậy khi M là giao điểm hai đường chộo thỡ MA + MB + MC + MD M
nhỏ nhất. D C
Bài 6. Một đường thẳng đi qua trung điểm của hai cạnh đối diện của một tứ giỏc lồi tạo với 
cỏc đường chộo của hai gúc bằng nhau .Chứng minh rằng tứ giỏc ấy cú hai đường chộo bằng 
nhau.
 B
Giải.
 N
 Q 1
 K
 O C
 2
 Q
 A P
 M
Gọi Q,P lần lượt là trung điểm của D
AB ,CD tương ứng 
Khi đú ta cú :
QN//MP ; NP//QM. Tứ giỏc QNPM là hỡnh bỡnh hành.
Vỡ MN tạo với AC và BD hai gúc bằng nhau nờn suy ra MN cũng tạo với QN và QM hai gúc 
bằng nhau 
Tức là :Qã NM Qã MN
Suy ra Tam giỏc QMN cõn tại Q
Suy ra QN=QM 
 1 1
Ta cú QN= AC và QM= BD (Đường trung bỡnh của tam giỏc)
 2 2
Mà QN=QM (Chứng minh trờn )
Suy ra AC=BD
Vậy Tứ giỏc trờn cú hai đường chộo bằng nhau
 BÀI 2. HèNH THANG
A. Lí THUYẾT
 3 AB // CD
1. Định nghĩa: Tứ giỏc ABCD là hỡnh thang 
 BC // AD
 A cạnh đỏy nhỏ B
 cạnh bờn
 cạnh bờn
2.Tớnh chất: 
* Nếu một hỡnh thang cú hai cạnh bờn song 
song thỡ nú là hỡnh chữ nhật.
 D cạnh đỏy lớn C
* Nếu một hỡnh thang cú hai cạnh đỏy bằng 
nhau thỡ nú là hỡnh bỡnh hành.
3. Hỡnh thang vuụng:
Hỡnh thang vuụng là hỡnh thang cú hai gúc vuụng. A cạnh đỏy nhỏB
 cạnh bờn cạnh bờn
 D cạnh đỏy lớn C
B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI BÀI TẬP
 A
Bài 7. Cho tứ giỏc ABCD cú AD = DC, đường chộo AC là phõn B
giỏc gúc Â. Chứng minh rằng ABCD là hỡnh thang.
 Bài giải:
Ta cú AD = DC nờn tam giỏc ADC cõn tại D.
Suy ra Dã CA = Dã AC = Bã AC
Suy ra AB//CD (hai gúc so le trong bằng nhau)
 D
Vậy ABCD là hỡnh thang. C
Bài 8. Cho hỡnh thang ABCD, đỏy AB = 40cm, CD = 80cm, BC = 50cm, AD = 30cm. Chứng 
minh rằng ABCD là hỡnh thang vuụng.
 Bài giải:
 A B
Gọi H là trung điểm của CD. Ta cú DH = CH = 40cm
Xột hai tam giỏc ABH và CHB cú:
AB = CH = 40cm, Ã BH Cã HB (so le trong), BH = HB
 D C
Suy ra ABH = CHB (c-g-c) AH = CB = 50cm. H
 2 2 2 2 2 2
Tam giỏc ADH cú: AD + DH =40 + 30 = 50 = AH 
 4 Suy ra tam giỏc ADH vuụng tại D. Vậy hỡnh thang ABCD là hỡnh thang vuụng.
Bài 9. Cho hỡnh thang ABCD (AD//BC; AD > BC) cú đường chộo AC và BD vuụng gúc với 
nhau tại I. Trờn đỏy AD lấy M sao cho AM bằng độ dài đường trung bỡnh của hỡnh thang. 
Chứng minh: tam giỏc ACM cõn tại M
 B
 C
 I
 N
 P
 A
 M D
 L
Giải:
Gọi L là điểm đối xứng với đối xứng với A qua M Gọi NM là đường trung bỡnh của hỡnh 
thang ABCD như hỡnh vẽ 
Gọi I là giỏo điểm của AC và NP
Vỡ NP//BC ị NI//BC mà N là trung điểm AB
 ị I cũng là trung điểm AC 1)
Suy ra IM//CL (2)
Xột hỡnh thang ABCD ta cú:'
 BC + AD
P= =AM Û BC + AD = 2AM
 2
 ị BC+ AD- AM = AM ị BC+ MD = AM = ML
 ị BC = ML- MD = DL
Suy ra BC=DL mà BC//DL
Suy ra tứ giỏc BCLD là hỡnh bỡnh hành
Suy ra BD//CL
Mà BD^ AC (gt)ị CL ^ AC (3)
Từ (1) ,(2) và (3) IM^ AC và MI là đường trung trục của đoạn thẳng AC
Suy ra MA=MC
Vậy tam giỏc MAC cõn tại M.
 BÀI 3. HèNH THANG CÂN
A. Lí THUYẾT
 5 AB // CD
1. Định nghĩa: Tứ giỏc ABCD là hỡnh thang cõn Cà = Dà
 à à
 A = B
 A cạnh đỏy nhỏ B
 cạnh bờn cạnh bờn
 D cạnh đỏy lớn C
2. Tớnh chất: Trong hỡnh thang cõn:
* Hai cạnh bờn bằng nhau
* Hai đường chộo bằng nhau
3. Dấu hiệu nhõn biết:
* Hỡnh thang cú hai đường chộo bằng nhau là hỡnh thang cõn.
* Hỡnh thang cú hai gúc chung một cạnh đỏy bằng nhau là hỡnh thang cõn.
B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI BÀI TẬP
Bài 10. Cho hỡnh thang cõn ABCD (AB//CD). AD cắt BC tại I, AC cắt BD tại J. Chứng minh 
rằng IJ là trung trực của AB và là trung trực của CD.
 Bài giải:
ABCD là hỡnh thang cõn nờn Cà = Dà
Suy ra tam giỏc ICD cõn tại I 
 I nằm trờn đường trung trực của CD. (1)
 ã à à ã
Ta lại cú IAB = D = C = IBA nờn tam giỏc IAB cõn tại I.
 I nằm trờn đường trung trực của AB. (2)
Xột tam giỏc ACD và tam giỏc BDC cú:
AD = BC (vỡ ABCD là hỡnh thang cõn)
CD: cạnh chung
AC = BD (2 đường chộo của hỡnh thang cõn)
Do đú ΔACD = ΔBDC , suy ra à CD = Bã DC
 tam giỏc JCD cõn tại J J nằm trờn đường trung trực của CD (3)
Tương tự ta cú tam giỏc JAB cõn tại J J nằm trờn đường trung trực của AB (4)
Từ (1), (2), (3), (4) suy ra IJ là đường trung trực của AB và CD.
 6 Bài 11. Cho hỡnh thang ABCD (AB // CD). AC cắt BD tại O. Biết OA = OB. Chứng minh rằng: 
ABCD là hỡnh thang cõn.
 Bài giải:
Vỡ OA = OB nờn tam giỏc OAB cõn tại O
 Oã AB = Oã BA
Ta cú Oã CD = Oã AB = Oã BA = Oã DC
 tam giỏc OCD cõn tại O OC = OD
Suy ra AC = OA + OC = OB + OD = BD.
Hỡnh thang ABCD cú hai đường chộo AC và BD bằng 
nhau nờn ABCD là hỡnh thang cõn.
Bài 12. Cho hỡnh thang cõn ABCD (AB//CD, AB < CD). AD cắt BC tại O.
a) Chứng minh rằng OAB cõn
b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng ba điểm I, J, O thẳng hàng
c) Qua điểm M thuộc cạnh AC, vẽ đường thẳng song song với CD, cắt BD tại N. Chứng minh 
rằng MNAB, MNDC là cỏc hỡnh thang cõn.
 Bài giải:
 à à
a) Vỡ ABCD là hỡnh thang cõn nờn C = D suy ra OCD là tam giỏc cõn.
Ta cú Oã AB = Dà = Cà = Oã BA (hai gúc đồng vị)
 Tam giỏc OAB cõn tại O.
b) OI là trung tuyến của tam giỏc cõn OAB 
nờn OI cũng là đường cao tam giỏc OAB
 OI  AB
Mà AB // CD nờn OI  CD
Tam giỏc OCD cõn tại O cú OI  CD nờn OI cắt CD tại 
trung điểm J của CD.
Vậy ba điểm O, I, J thẳng hàng.
c) Xột ACD và BDC cú:
AC = BD (2 đường chộo của hỡnh thang cõn)
AD = BC (2 cạnh bờn của hỡnh thang cõn)
CD = DC
Do đú ACD = BDC (c-c-c)
Suy ra à CD = Bã DC hay Mã CD = Nã DC
Hỡnh thang MNDC cú Mã CD = Nã DC nờn MNDC là hỡnh thang cõn.
 MC = ND AC – MC = BD – ND AM = BN
Hỡnh thang MNAB cú hai đường chộo AM và BN bằng nhau nờn MNAB là hỡnh thang cõn.
 BÀI 4. ĐƯỜNG TRUNG BèNH
 7 A. Lí THUYẾT
1. Đường trung bỡnh của tam giỏc:
 A
 M N
 B C
a) Định lý mở đầu:
Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giỏc và song song với cạnh thứ hai thỡ đi 
qua trung điểm cạnh thứ ba.
b) Định nghĩa:
Đường trung bỡnh của tam giỏc là đoạn thẳng nối hai trung điểm hai cạnh của tam giỏc đú.
c) Định lý đường trung bỡnh của tam giỏc:
Đường trung bỡnh của tam giỏc thỡ song song với cạnh thứ ba và cú độ dài bằng một nửa 
cạnh ấy.
 2. Đường trung bỡnh của hỡnh thang:
a) Định lý mở đầu:
Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bờn của hỡnh thang và song song với hai đỏy thỡ đi 
qua trung điểm cạnh bờn cũn lại.
b) Định nghĩa:
Đường trung bỡnh của hỡnh thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bờn của hỡnh thang 
ấy.
c) Định lý đường trung bỡnh của hỡnh thang:
Đường trung bỡnh của hỡnh thang thỡ song song với hai đỏy và cú độ dài bằng nửa tổng độ 
dài hai đỏy. A B
 D C
B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI BÀI TẬP
Bài 13. Cho hỡnh thang ABCD cú À Dà 90o và AB = 2AD = 2CD. Kẻ CH vuụng gúc với AB 
tại H. 
a) Tớnh số đo cỏc gúc của hỡnh thang ABCD.
b) CMR tam giỏc ABC vuụng cõn.
c) Tớnh chu vi hỡnh thang nếu AB = 6cm.
 8 d) Gọi O là giao điểm AC và DH, O’ là giao điểm của DB và CH. Chứng minh rằng AB = 
4OO’
 Bài giải:
a) Ta cú tứ giỏc ADCH À Dà Hà Cà 90o và AH // CD, AD // CH 
AHCD là hỡnh thang cõn hai đỏy AH, CD
 AD = CH.
AHCD cũng là hỡnh thang cõn với hai đỏy AD, HC 
 AH = CD .
BH = AB – AH = 2CD – CD = CD và CH = AD = BH
 à o ã o
Do đú BCH vuụng cõn tại H, suy ra B = 45 , BCH = 45
Cà Bã CH Dã CH = 45o + 90o = 135o 
Vậy À Dà 90o , Bà = 45o, Cà = 135o
b) ABC cú H là trung điểm AB và CH  AB nờn ABC là tam giỏc cõn tại C
Ta lại cú Bà = 45o , suy ra ABC vuụng cõn tại C.
c) Ta cú AB = 6cm
 1
AD = CD = AB = 3cm.
 2
 1 6
 ABC vuụng cõn tại C nờn BC = AB = = 3 2 cm
 2 2
Chu vi hỡnh thang ABCD là: AB + BC + CD + DA = 6 + 3 2 + 3 + 3 = 12 + 3 2 cm 
d) Dễ thấy à CD 450 Hã DC 450 DH // BC DH AC.
Vỡ ACD vuụng cõn tại D nờn O là trung điểm của AC.
Ta cú DO’C BO’H (g-c-g) O’C = O’H, hay O’ là trung điểm của CH.
Xột AHC cú OO’ là đường trung bỡnh nờn AH = 2OO’
Mà AB = 2AH nờn AB = 4OO’.
Bài 14. Cho hỡnh thang ABCD (AB//CD) cú E là trung điểm của BC, ãAED = 90o. Gọi K là giao 
điểm của AE và DC. Chứng minh rằng:
a) ABE = KCE
b) DE là tia phõn giỏc của gúc D.
 Bài giải:
a) Xột ABE và KCE cú:
à BE = Kã CE (2 gúc sole trong)
à EB = Kã EC (2 gúc đối đỉnh)
BE = CE (E là trung điểm BC)
Do đú ABE = KCE (g – c – g)
b) Vỡ ABE = KCE nờn AE = KE E là trung điểm AK 
 DE là trung tuyến của tam giỏc ADK
Ta lại cú DE  AK suy ra DE là đường cao của ADK.
 9 Do đú tam giỏc ADK cõn tại D và DE là phõn giỏc gúc D.
Bài 15. Cho tứ giỏc ABCD trong đú CD > AB. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BD và AC. 
 CD AB
Chứng minh rằng nếu ABCD là hỡnh thang thỡ EF = .
 2
 Bài giải:
Gọi I là trung điểm AD. A B
 1
Ta cú EI // AB và EI = AB 
 2
 1
FI // CD và FI = CD.
 2 I E F
Qua điểm I ta cú EI // AB và FI // CD // AB nờn I, E, F 
thẳng hàng.
 1 1 CD AB
Suy ra EF = FI – EI = AB – CD hay EF=
 2 2 D C 2
Bài 16. Cho hỡnh thang ABCD (AB//CD), tia phõn giỏc của gúc C đi qua trung điểm M của 
cạnh bờn AD. Chứng minh rằng:
a) Bã MC = 90o b) BC = AB + CD
 Bài giải:
a) Gọi N là trung điểm BC.
Ta cú MN // CD Mã CD = Cã MN
Mà Mã CD = Mã CN (vỡ CM là phõn giỏc Dà ) 
 1
Suy ra Cã MN = Mã CN = Dã CB
 2
Tam giỏc MCN cõn tại N MN = NC = NB, do đú MNB cõn tại N
 1
 Nã MB = Nã BM . Mặt khỏc Nã MB = Mã BA , suy ra Nã MB = Ã BC
 2
 1
Bã MC = Cã MN + Nã MB = Bã CD + Ã BC = 90o
 2 .
 1
b) Vỡ MN là đường trung bỡnh của hỡnh thang ABCD nờn MN = 2 (AB + CD) 
 1
Ta lại cú MN = BC. Do đú BC = AB + CD
 2
Bài 17. Cho tam giỏc ABC cú cỏc trung tuyến BD và CE. Trờn cạnh BC lấy cỏc điểm M, N sao 
cho BM = MN = NC. Gọi I là giao điểm của AM và BD, K là giao điểm của AN và CE. Chứng 
minh rằng:
a) BCDE là hỡnh thang
b) K là trung điểm của EC
 10