Đề cương ôn tập môn Hình học Lớp 8 - Chương I - Bài 1 đến 6

 CHƯƠNG 1 TỨ GIÁC
 B i 1. TỨ GIÁC
 A. ĐỊNH NGHĨA
 1. Tứ giác
 Định nghĩa 1.
 Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, trong đó C
 B
 bất kì đoạn thẳng nào cũng không cùng nằm trên một đường thẳng.
 A D
 2. Tứ giác lồi
 Tứ giác lồi là tứ giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng mà bờ là đường thẳng chứa bất
 kì cạnh nào của tứ giác.
 B. TÍNH CHẤT
 Tính chất 1. Tổng các góc của một tứ giác bằng 360±.
 VÍ DỤ 1. Tìm x trong các hình bên dưới
Nguy¹n T§t Thu
 1
 ............................................................. B
 120± C
 ............................................................. 80±
 A
 ............................................................. 110±
 .............................................................
 x
 D
 2
 .......................................................... B C
 ..........................................................
 x
 .......................................................... A D
 ..........................................................
 3
 3 4 CHƯƠNG 1. TỨ GIÁC
 .......................................................... B
 .......................................................... x C
 ..........................................................
 .......................................................... 65±
 A D
 4
 ................................................
 ................................................ B C
 3x 4x
 ................................................
 ................................................ 2x x
 A D
 5
 ................................................ B
 C
 50±
 ................................................ x
 ................................................
 80
 ................................................ 40 ± Nguy¹n T§t Thu
 A ± D
 VÍ DỤ 2. Cho tứ giác ABCD có AB AD, CB CD.
 Æ Æ
 1 Chứng minh rằng AC là đường trung trực của đoạn BD.
 2 Biết góc Cb 100±, Ab 60±. Tính góc Bb và Db.
 Æ Æ
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
 VÍ DỤ 3. Cho tứ giác ABCD có B D 180± và CB CD. Chứng minh rằng AC là phân
 Å Æ Æ
 giác của góc A.
..............................................................................................
.............................................................................................. 1. TỨ GIÁC 5
 ..............................................................................................
 ..............................................................................................
 ..............................................................................................
 ..............................................................................................
 ..............................................................................................
 ..............................................................................................
 ..............................................................................................
 ..............................................................................................
 VÍ DỤ 4. Trong mặt phẳng cho 4 điểm bất kì sao cho không có ba điểm nào thẳng
 hàng. Chứng minh rằng ta luôn tìm được một tam giác có đỉnh là ba điểm trong bốn
 điểm đã cho và có ít nhất một góc có số đo không lớn hơn 45±.
 ..............................................................................................
 ..............................................................................................
 ..............................................................................................
 ..............................................................................................
 ..............................................................................................
 ..............................................................................................
 ..............................................................................................
 ..............................................................................................
 ..............................................................................................
 ..............................................................................................
Nguy¹n T§t Thu ..............................................................................................
 ..............................................................................................
 ..............................................................................................
 ..............................................................................................
 ..............................................................................................
 ..............................................................................................
 C. BÀI TẬP
 BÀI 1. Cho tứ giác ABCD có Bb Cb 200±, Bb Db 180±, Db Cb 120±.
 Å Æ Å Æ Å Æ
 1 Tính các góc của tứ giác.
 Cb Db
 2 Các tia phân giác của góc Ab và Bb cắt nhau tại I. Chứng minh rằng AIB Å .
 Æ 2
 BÀI 2. Cho tứ giác ABCD biết Ab : Bb : Cb : Db 1 : 2 : 3 : 4.
 Æ
 1 Tính các góc của tứ giác; 6 CHƯƠNG 1. TỨ GIÁC
 2 Chứng minh AB CD;
 ∥
 3 Gọi giao điểm của AD và BC là E. Tính các góc của CDE.
 4
BÀI 3. Tứ giác ABCD có AB BC, AD DC AC và Ab 105±. Tính các góc còn lại của tứ
 Æ Æ Æ Æ
giác.
BÀI 4. Cho tứ giác ABCD, biết hai đường thẳng AD và BC cắt nhau ở E, hai đường thẳng
AB và CD cắt nhau tại F. Các tia phân giác của góc E và góc F cắt nhau ở I. Tính góc EIF
theo góc A và góc C của tứ giác ABCD.
BÀI 5. Tứ giác ABCD có Ab Bb 50±. Các tia phân giác của góc C và D cắt nhau tại I và
 ¡ Æ
CDI 115±. Tính các góc A và B.
 Æ
BÀI 6. Cho tứ giác ABCD, E là giao điểm của các đường thẳng AB và CD, F là giao điểm
của các đường thẳng BC và AD. Các tia phân giác của các góc E và F cắt nhau ở I. Chứng
minh rằng
 1 Nếu BADƒ 130±, BCDƒ 50± thì IE vuông góc với IF. Nguy¹n T§t Thu
 Æ Æ
 2 Góc EIF bằng nửa tổng của một trong hai cặp góc đối đỉnh của tứ giác ABCD.
BÀI 7. Chứng minh rằng nếu M là giao điểm các đường chéo của tứ giác ABCD thì MA
 Å
MB MC MD nhỏ hơn chu vi nhưng lớn hơn nửa chu vi tứ giác.
 Å Å
BÀI 8. So sánh độ dài cạnh AB và đường chéo AC của tứ giác ABCD biết rằng chu vi tam
giác ABD nhỏ hơn hoặc bằng chu vi tam giác ACD.
BÀI 9. Tứ giác ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo, AB 6, OA 8, OB 4, OD 6.
 Æ Æ Æ Æ
Tính độ dài AD.
BÀI 10. Cho năm điểm trên mặt phẳng trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Chứng
minh rằng bao giờ cũng có thể chọn ra được bốn điểm là đỉnh của một tứ giác lồi. 2. HÌNH THANG 7
 B i 2. HÌNH THANG
 A. LÝ THUYẾT
 1. Hình thang
 Định nghĩa 1.
 Là tứ giác có hai cạnh đối song song. B C
 Trong trường hợp hai đáy có độ lớn khác nhau thì ta còn
 phân biệt đáy lớn, đáy bé.
 A D
 Tính chất 1. Trong một hình thang:
  Nếu hai cạnh bên song song với nhau thì hai đáy bằng nhau.
  Nếu hai đáy bằng nhau thì hai cạnh bên song song và bằng nhau.
  Tổng hai góc kề với cạnh bên bằng 180±.
 Hình thang có một góc vuông được gọi là hình thang vuông.
 2. Hình thang cân
 Là hình thang có hai góc ở đáy bằng nhau. B C
 Trong một hình thang cân ta có:
Nguy¹n T§t Thu
 
 Hai cạnh bên bằng nhau. A D
  Hai đường chéo bằng nhau.
 Tính chất 2. Một tứ giác là hình thang cân khi và chỉ khi tứ giác đó là hình thang và có hai
 đường chéo bằng nhau hoặc có hai góc ở đáy bằng nhau.
 3. Đường trung bình của tam giác
 Định nghĩa 2. Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của
 tam giác.
 Tính chất 3.
 Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng
 A
 nửa cạnh ấy.
 Trong tam giác ABC có D, E là trung điểm các cạnh AB và AC. Khi D E
 1
 đó DE BC và DE BC.
 ∥ Æ 2 B C 8 CHƯƠNG 1. TỨ GIÁC
 4. Đường trung bình của hình thang
 Định nghĩa 3. Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh
 bên của hình thang.
 Tính chất 4.
 Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và B C
 song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai.
 M N
 Cho hình thang ABCD (AD BC) và M là trung điểm AB. Khi đó,
 ∥
 nếu MN BC thì N là trung điểm CD. A D
 ∥
 Tính chất 5.
 Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng B C
 nửa tổng hai đáy.
 M N
 Cho hình thang ABCD (AD BC) và M, N lần lượt là trung điểm
 ∥ AD BC
 AB và CD. Khi đó MN BC AD và MN Å . A D
 ∥ ∥ Æ 2
 Nguy¹n T§t Thu
B. VÍ DỤ
 VÍ DỤ 1. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD.
 AD BC
 Biết MN Å . Chứng minh tứ giác ABCD là hình thang.
 Æ 2
 ..............................................................................................
 ..............................................................................................
 ..............................................................................................
 ..............................................................................................
 ..............................................................................................
 ..............................................................................................
 ..............................................................................................
 ..............................................................................................
 ..............................................................................................
 ..............................................................................................
 Nhận xét. Ta có thể tổng quát bài toán trên như sau:
 AD BC
 Cho tứ giác ABCD có M, N là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng MN Å .
 · 2
 VÍ DỤ 2. Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ các đường phân giác BD và CE. Chứng
 minh rằng BEDC là hình thang cân.
 ..............................................................................................
 .............................................................................................. 2. HÌNH THANG 9
 ..............................................................................................
 ..............................................................................................
 ..............................................................................................
 ..............................................................................................
 ..............................................................................................
 ..............................................................................................
 ..............................................................................................
 ..............................................................................................
 VÍ DỤ 3. Hình thang ABCD (AB CD) có A D 20±, B 2C. Tính các góc của hình
 ∥ ¡ Æ Æ
 thang.
 ..............................................................................................
 ..............................................................................................
 ..............................................................................................
 ..............................................................................................
 ..............................................................................................
 ..............................................................................................
 ..............................................................................................
 ..............................................................................................
 ..............................................................................................
 ..............................................................................................
Nguy¹n T§t Thu VÍ DỤ 4. Cho hình thang ABCD (BC AD), biết BC AD AB. Chứng minh rằng các
 ∥ Å Æ
 tia phân giác của góc A và góc B cắt nhau tại trung điểm của cạnh CD.
 ..............................................................................................
 ..............................................................................................
 ..............................................................................................
 ..............................................................................................
 ..............................................................................................
 ..............................................................................................
 ..............................................................................................
 ..............................................................................................
 ..............................................................................................
 ..............................................................................................
 ..............................................................................................
 .............................................................................................. 10 CHƯƠNG 1. TỨ GIÁC
 VÍ DỤ 5. Cho hình thang ABCD (AB CD). Các tia phân giác của góc A và D cắt nhau
 ∥
 ở I, của góc B và góc C cắt nhau ở J. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC.
 Chứng minh bốn điểm M, N, I, J thẳng hàng.
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
.............................................................................................. Nguy¹n T§t Thu
..............................................................................................
 VÍ DỤ 6. Cho hình thang cân, đáy nhỏ AB, đáy lớn CD và O là giao điểm của hai
 đường chéo. Biết ƒAOB 60±. Gọi M, N là hình chiếu của B và C lên AC và BD, P là
 Æ
 trung điểm cạnh BC. Chứng minh tam giác MNP là tam giác đều.
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
 VÍ DỤ 7. Cho tam giác ABC có BC a, các đường trung tuyến BD, CE. Lấy các điểm
 Æ
 M, N trên cạnh BC sao cho BM MN NC. Gọi I là giao điểm của AM và BD, K là
 Æ Æ
 giao điểm của AN và CE. Tính độ dài IK.
..............................................................................................
.............................................................................................. 2. HÌNH THANG 11
 ..............................................................................................
 ..............................................................................................
 ..............................................................................................
 ..............................................................................................
 ..............................................................................................
 ..............................................................................................
 ..............................................................................................
 ..............................................................................................
 ..............................................................................................
 ..............................................................................................
 VÍ DỤ 8. Một hình thang cân có đường cao bằng nửa tổng hai đáy. Chứng minh rằng
 hai đường chéo của hình thang vuông góc với nhau.
 ..............................................................................................
 ..............................................................................................
 ..............................................................................................
 ..............................................................................................
 ..............................................................................................
 ..............................................................................................
 ..............................................................................................
 ..............................................................................................
 ..............................................................................................
Nguy¹n T§t Thu ..............................................................................................
 ..............................................................................................
 ..............................................................................................
 C. BÀI TẬP
 BÀI 1. Cho hình thang ABCD (AB CD) có Ab Db 20±, Bb 2Cb. Tính các góc của hình thang.
 ∥ ¡ Æ Æ
 BÀI 2. Cho hình thang ABCD (AB CD). Biết Ab 3Db và Bb Cb 30±. Tính các góc của hình
 ∥ Æ ¡ Æ
 thang.
 BÀI 3. Tứ giác ABCD có BC CD và BD là tia phân giác của góc Db. Chứng minh rằng
 Æ
 ABCD là hình thang.
 BÀI 4. Hình thang vuông ABCD có A D 90±, C 45±. Biết đường cao bằng 4 cm và
 Æ Æ Æ
 AB CD 10 cm. Tính hai đáy của hình thang.
 Å Æ
 BÀI 5. Hình thang ABCD (AB CD) có E là trung điểm của BC, ƒAED 90±. Chứng minh
 ∥ Æ
 rằng DE là tia phân giác của góc D. 12 CHƯƠNG 1. TỨ GIÁC
BÀI 6. Hình thang cân ABCD (AB CD) có đường chéo BD chia hình thang thành hai tam
 ∥
giác cân ABD cân tại A và tam giác BCD cân tại D. Tính các góc của hình thang cân đó.
BÀI 7. Trên đoạn thẳng AB lấy một điểm M (MA MB). Trên cùng một nửa mặt phẳng có
 È
bờ AB, vẽ tam giác đều AMC, BMD. Gọi E, F, I, K theo thứ tự là trung điểm của CM, CB,
 1
DM, DA. Chứng minh rằng EF IK là hình thang cân và KF CD.
 Æ 2
BÀI 8. Cho điểm M nằm bên trong tam giác đều ABC. Chứng minh rằng trong ba đoạn
thẳng MA, MB, MC đoạn lớn nhất nhỏ hơn tổng hai đoạn kia.
BÀI 9. Cho tam giác ABC, trọng tâm G.
 1 Vẽ đường thẳng d đi qua G, cắt các đoạn thẳng AB, AC. Gọi A0, B0, C0 là hình chiếu
 của A, B, C trên d. Tìm mối liên hệ giữa các độ dài AA0, BB0, CC0.
 2 Nếu đường thẳng d nằm ngoài tam giác ABC và G0 là hình chiếu của G trên d thì các
 độ dài AA0, BB0, CC0, GG0 có liên hệ gì?
BÀI 10. Trên đoạn thẳng AB lấy các điểm M và N (M nằm giữa A và N). Vẽ về một phía Nguy¹n T§t Thu
của AB các tam giác đều AMD, MNE, BNF. Gọi G là trọng tâm của tam giác DEF. Chứng
minh rằng khoảng cách từ G đến AB không phụ thuộc vào vị trí của điểm M, N trên đoạn
AB.
BÀI 11. Tứ giác ABCD có E, F theo thứ tự là trung điểm của AD, BC.
 AB CD
 1 Chứng minh rằng EF Å .
 · 2
 AB CD
 2 Tứ giác ABCD có điều kiện gì thì EF Å .
 Æ 2
BÀI 12. Tứ giác ABCD có AB CD. Chứng minh rằng đường thẳng đi qua trung điểm của
 Æ
hai đường chéo tạo với AB và CD các góc bằng nhau.
BÀI 13. Trong tứ giác ABCD, gọi A0, B0, C0, D0 thứ tự là trọng tâm của các tam giác BCD,
ACD, ABD, ABC. Chứng minh rằng bốn đường thẳng AA0, BB0, CC0, DD0 đồng quy.
BÀI 14. Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H, M là trung điểm BC. Qua H kẻ đường thẳng
vuông góc với HM cắt AB và AC theo thứ tự ở E và F.
 1 Trên tia đối của tia HC lấy điểm D sao cho HD HC. Chứng minh rằng E là trực tâm
 Æ
 của tam giác DBH.
 2 Chứng minh rằng HE HF.
 Æ