Đề cương ôn tập môn Hình học Lớp 8 - Chương 3: Ôn tập chương III

 TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC
 ÔN TẬP CHƯƠNG III 
Bài 1:Cho tam giác ABC vuông tại A AB AC , đường cao AH. Gọi M ,N lần lượt là hình chiếu 
của H trên AB,AC. Đường thẳng qua A vuông góc với MN tại I , cắt BC tại K .
 a) Chứng minh: AN.AC AB.AM
 b) Chứng minh rằng K là trung điểm của BC.
 c) Chứng minh: AB 2 BH.HC .
 Lời giải
 a) Chứng minh: ACB ∽ HCA
 Ta có: HCA ∽ NHA ; 
 NHA ∽ AMN;
 Suy ra: AMN ∽ ACB.
 AN AM
 Suy ra: 
 AB AC
 Suy ra: AN.AC AB.AM ( Điều phải chứng minh).
 b) Chứng minh: AKC cân tại K . 
 Suy ra:K là trung điểm của BC.
 c) Ta có: AB 2 AC 2 BC 2
 2
 Suy ra: AH 2 BH 2 AH 2 CH 2 BH CH 
 Suy ra: AH 2 BH.HC
 Do đó: AB 2 AH 2 BH 2 BH.CH BH 2 BH(CH BH )
 2
 AB BH.BC .
Bài 2:Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH , trung tuyến AM . Gọi D và E lần lượt là 
hình chiếu của H trên AB và AC .
 a) Chứng minh AD.AB AE.AC .
 1
 b) Tam giác ABC phải có thêm điều kiện gì nữa để diện tích tứ giác AEHD bằng diện tích 
 2
tam giác ABC ?
 CF CB
 c) Vẽ phân giác góc ACB cắt AM tại F và cắt AB tại G . Chứng minh 1.
 FG CA
 Lời giải
 Trang 1 TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC
 a) Ta có AEHD là hình chữ nhật nên ·ADE ·AHE . 
 ·AHE Cµ (vì cùng phụ E· HC ).
 Suy ra ADE ∽ ACB (g-g) nên AD.AB AE.AC .
 2
 1 1 DE 1
 b) Ta có SAEHD SABC nên SADE SABC . Suy ra 
 2 4 BC 4
 DE 1
 Suy ra . Suy ra DE AM . Khi đó AH AM nghĩa là ABC vuông cân tại A.
 BC 2
 CM CF BG BK
 c) Kẻ GK / / AM , ta có (1) (theo Talet) (2) (theo Talet)
 MK FG GA KM
 BG CB
 Mặt khác lại có (3)
 GA CA
 BK CB
 Từ (2) và (3) ta có (4) . 
 KM CA
 CF CB CM BK CM BK
 Từ (1) và (4) lấy vế trừ vế ta có: 1.
 FG CA MK KM KM
Bài 3:Cho ABC nhọn, các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H . Từ H hạ HM vuông góc với 
EF tại M và HN vuông góc với ED tại N .
 a) Chứng minh BED và BCH đồng dạng.
 b) Chứng minh HM HN .
 Lời giải.
 a) Xét BDH và BEC có:
 D· BH là góc chung
 B· DH B· EC 90o
 Do đó BDH ∽ BEC (g-g)
 BD BH BD BE
 BE BC BH BC
 Trang 2 TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC
 Xét BED và BCH có:
 E· BD là góc chung
 BD BE
 (cmt)
 BH BC
 Do đó BDH ∽ BEC (c-g-c).
 b) Xét BFH và CEH có:
 B· FH B· EH 90o
 B· HF C· HE (hai góc đối đỉnh)
 Do đó BFH ∽ CEH (c-g-c)
 FH BH FH EH
 EH CH BH CH
 +Xét FEH và BCH có:
 F· HE B· HC (hai góc đối đỉnh)
 FH EH
 (cmt)
 BH CH
 Do đó FEH ∽ BCH (c-g-c) F· EH B· CH hay M· EH B· CH (1)
 · · · ·
 Lại có BED ∽ BCH (câu a) BEH CBH hay HEN BCH 2 
 Từ (1) và 2 M· EN H· EN
 +Xét MHE và NHE có:
 H· ME H· NE 90o
 HE: cạnh chung
 M· EH N· EH (cmt)
 Do đó MHE NHE (c.huyền – góc nhọn) HM HN .
Bài 4:Cho hình tthang ABCD(AB / /CD) . Gọi O là giao điểm của AC và BD , I là giao điểm của 
AD và BC , OI cắt AB tai E , cắt CD tại F .
 OA OB LA IB
 a) Chứng minh: .
 OC OD IC ID
 b) Chứng minh: EA EB .
 1 1 1
 c) Kẻ OP / / AB,P AD , Chứng minh: .
 AB CD OP
 Lời giải
 a) Xét IDC có:
 AB // CD IAB ∽ IDC (g-g). 
 Trang 3 TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC
 IA IB AB IA IB AB
 (1)
 ID IC CD ID IC CD
 Xét OAB và OCD có:
 A· OB C· OD (Đối đỉnh)
 B· AO D· CO (So le trong)
 => OAB ∽ OCD (g-g)
 OA OB AB OA OB AB
 (2)
 OC OD CD OC OD CD
 OA OB LA IB
 Từ (1) và (2) suy ra: .
 OC OD IC ID
 b) +Xét EOA và FOC có:
 A· OE F· OC (Đối đỉnh)
 E· AO F· CO (So le trong)
 => EOA ∽ FOC (g-g).
 OA EA OA AB
 mà 
 OC CF OC CD
 EA AB
 (3)
 CF CD
 + Xét IFC có:
 EB//CF DAB ∽ DPO (g-g) .
 EB IB IB AB EB AB
 => mà (4)
 CF IC IC CD FC CD
 EA EB
 Từ (3) và (4) suy ra: EA EB .
 CF CF
 c)Xét ADB có:
 OP //AB DAB ∽ DPO (g-g)
 OP DP
 => 
 AB DA
 OP AP
 Tương tự ta có: 
 CD DA
 OP OP DP AP
 1
 AB CD DA DA
 1 1 1
 .
 AB CD OP
Bài 5: Cho tam giác ABC có B· AC 90,AB AC, đường cao AH. Gọi M ,N lần lượt là hình 
chiếu của H trên cạnh AB và AC.
 a) Chứng minh: MN AH;
 b) Chứng minh rằng: AM .AB AN.AC AH 2;
 c) Gọi K là giao điểm của NM và BC. Chứng minh rằng KB.KC KH 2;
 Lời giải
 Trang 4 TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC
 a) Ta có HM  AB tại M (vì M là hình chiếu của H trên AB)
 ·
 AMH 90 .
 HN  AC tại M (vì N là hình chiếu của H trên AC)
 ·
 ANH 90.
 Xét tứ giác AMHN có A· MH A· NH M· AN 90
 AMHN là hình chữ nhật.
 AH MN (tính chất hình chữ nhật)
 b) Ta có AMHN là hình chữ nhật (chứng minh trên).
 A· HM A· NM (tính chất hình chữ nhật).
 Mà A· HM ABH (cùng phụ với H· AB) .
 A· NM A· BH hayA· NM A· BC
 Xét hai tam giác ANM và ABC có:
 Aµ chung, A· NM A· BC
 Suy ra ANM ∽ ABC (g – g).
 AN AM
 AM .AB AN.AC .
 AB AC
 Mà AN.AC AH 2
 Suy ra AM .AB AH 2 .
 c) Xét hai tam giác KHM và KNH có:
 Kµ chung, K· HM K· NH H· AB .
 Do đó: KHM ∽ KNH (g – g).
 KH KM
 KH 2 KM .KN (1)
 KN KN
 Xét hai tam giác KMB và KCN có
 Kµ chung, K· MB K· CN A· MN
 Do đó KMB ∽ KCN (g – g)
 KM KB
 KM .KN KB.KC (2)
 KC KN
 Từ (1) và (2) suy ra KH 2 KB.KC .
 Bài 6:Cho tam giác nhọn ABC . Các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H. Chứng minh 
 rằng:
 Trang 5 TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC
 a) AEF ∽ ABC .
 b) BH.BE CH.CF BC 2 .
 BC 2
 c) AD.HD .
 4
 d) Gọi I ,K ,Q,R lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ E xuống AB,AD ,CF,BC . 
 Chứng minh bốn điểm I ,K ,Q,R cùng nằm trên một đường thẳng.
 Lời giải
 a) AEB và AFC có:
 µA chung; ·AEB ·AFC 900 (gt).
 AEB ∽ AFC(g.g) .
 AE AB
 AF AC
 AEF và ABC có:
 AE AB
 Aˆ chung; (cmt)
 AF AC
 AEF ∽ ABC (g-g)
 b) BDH và BEC có:
 Bµ chung; B· DH B· EC 900 (gt).
 BDH ∽ BEC(g.g)
 BD BH
 BE BC
 BH.BE BC.BD (1)
 CDH và CFB có:
 Bµ chung; B· DH B· EC 900 (gt).
 Trang 6 TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC
 CDH ∽ CFB(g.g)
 CD CH
 CF BC
 CH.CF BC.CD (2)
 Từ (1) và (2) suy ra BH.BE CH.CF BC.BD BC.CD BC 2 .
 c) DBH và DAC có:
 H· DB B· EC( DBH ∽ ECB)
 H· DB ·ADC 900 (gt)
 DBH ∽ DAC(g.g)
 DH DB
 DC DA
 DH.DA DC.DB
 2
 DC DB BC 2
 Lại có: DC.DB 
 4 4
 BC 2
 Do đó: AD.HD .
 4
 d) Ta có:
 EI //CF(EI  AB,CF  AB)
 EK //BC(EK  AD, BC  AD)
 EQ//AB(EQ  CF, AB  CF)
 ER//AD(ER  BC, AD  BC)
 Áp dụng định lý Talet ta có:
 AI AE AK
 * IK //DF (3)
 AF AC AD
 BF BH BD
 * IR //DF (4)
 BI BE BR
 CR CE CQ
 * RQ //DF (5)
 CD CA CF
 Từ 3 ; 4 ; 5 suy ra bốn điểm I ,K ,Q,R thẳng hàng.
Bài 7:Cho hình bình hành ABCD ( cóAC BD ), O là giao điểm của AC vàBD . Gọi E,F lần 
lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC . Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C 
xuống đường thẳng AB vàAD . Chứng minh:
 a) Tứ giác BEDF là hình bình hành? 
 b)CH.CD CK .CB .
 c)AB.AH AD.AK AC 2 .
 Lời giải
 Trang 7 _
 TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC
 H
 B C
 F
 O
 E
 A
 K
 D
 a) Ta có : BE  AC gt ; DF  AC gt BE // DF 1 
 Xét BEO và DFO có:
 B· EO D· FO 900 (gt)
 OB = OD (t/c hình bình hành)
 E· OB F· OB (đối đỉnh)
 BEO DFO (cạnh huyền – góc nhọn)
 BE DF (2)
 Từ (1) và (2) suy ra: tứ giác BEDF là hình bình hành (đpcm).
 b) Ta có: ABCD là hình bình hành (gt) ·ABC ·ADC
 Mà ·ABC H· BC ·ADC K· DC 1800
 H· BC K· DC
 Xét CBH và CDK có: 
 · · 0
 BHC DKC 90
 · ·
 HBC KDC (chứng minh trên)
 CBH ∽ CDK (g-g)
 CH CK
 CB CD
 CH.CD CK.CB (đpcm).
 c) Xét AFD và AKC có:
 A· FD ·AKC 900
 F· AD chung
 AFD ∽ AKC (g-g)
 AF AK
 AD.AK AF.AC (3)
 AD AC
 Trang 8 TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC
 Xét CFD và AHC có:
 · · 0
 CFD AHC 90
 · ·
 FCD HAC (so le trong)
 CFD ∽ AHC (g-g)
 CF AH
 CD AC
 Mà : CD AB
 CF AH
 AB.AH CF.AC (4)
 AB AC
 Từ (3) và (4) AB.AH AD.AK CF.AC AF.AC
 (CF AF)AC AC 2 (đpcm).
Bài 8: Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB . Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng 
AB kẻ hai tia Ax,By cùng vuông góc với AB . Trên tia Ax lấy điểm C (C A) . TừO kẻ đường 
thẳng vuông góc với OC , đường thẳng này cắt By tại D . Từ O hạ đường vuông góc OM xuống CD 
(M CD) .
 2
 a) Chứng minh OA AC.BD .
 b) Chứng minh AMB vuông.
 c) Gọi N là giao điểm của BC và AD.Chứng minh MN //AC .
 Lời giải
 a) Xét ACO và BOD có:
 Aµ Bµ 900;C· OA O· DB (cùng phụ với D· OB)
 AO BD
 Nên ACO ∽ BOD g.g AO.BO AC .BD
 AC BO
 Mà AO BO nên AO2 AC.BD
 b) Xét CMO và OMD có:
 C· MO O· MD 900;O· CM D· OM (cùng phụ với C·OM )
 CO OM
 CMO ∽ OMD (1)
 OD MD
 Trang 9 TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC
 CO AO CO OB
 Mà ACO ∽ BOD (Do AO OB) 2
 OD OD OD BD 
 OM OB
 Từ (1) và (2) ta có: OMD ∽ OBD (c-g-c)
 MD BD
 M· OD B· OD OMD OBD (cạnh huyền - góc nhọn)
 OM OB OA AMB vuông tại M.
 CN AC
 c) Ta có: AC / /BD (cùng vuông góc với AB) 
 NB BD
 Mà BD MD ( OMD OBD ).
 Tương tự ta chứng minh:AC CM
 CN CM
 Nên MN //BD//AC .
 BN DM
Bài 9: Cho ABC vuông tại A(AB AC) , đường cao AH . Vẽ BD là đường tia phân giác góc 
 ·ABC D AC . 
 2
 a) Chứng minh ABC đồng dạng HBA và suy ra AB BH.BC .
 b) Cho HB 9cm, HC 16cm . Tính BC, AB, AH AD, DC.
 c) Gọi BD  AH Q . Chứng minh AD AQ.
 d) Trên tia đối của tia AH lấy điểm M , vẽ tia Cx  MB K. Lấy E Cx sao cho
 BE BA. Chứng minh MBE vuông.
 Lời giải
 B
 H
 x
 E Q
 K
 A
 D C
 M
 a) Có ABC vuông tại A (gt) B· AC 900 , 
 mà AH đường cao của ABC (gt) AH  BC B· HA C· HA 900
 Xét ABC và HBA có: ·ABH chung và B· AC B· HA 90(cmt) .
 AB BH 2
 Do đó: ABC ∽ HBA (g – g) AB BH.BC
 BC AB
 b) Có BC BH HC 9 16 25(cm)
 Mà AB2 BH.BC (cmt) AB2 9.25 AB 15(cm)
 Xét ABH vuông tại H (gt) BA2 AH 2 BH 2 ( định lý pytago)
 152 AH 2 92 AH 2 6.24 AH 12(cm)
 Tương tự AC 20(cm)
 Trang 10