Đề cương ôn tập môn Hình học Lớp 8 - Bài 8: Trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

 TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC
 BÀI 8: TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC VUÔNG.
Bài 1: Cho ABH vuông tại H có AB 20,BH 12 . Trên tia đối của tia HB lấy điểm C sao cho 
 5
AC AH .
 3
 a, Chứng minh ABH” CAH .
 b, Chứng minh B· AC 900 .
 Lời giải
 a) Xét AHB vuông tại H , ta có:
 AB2 AH 2 HB2 ( Định lí Py-ta-go) A
 202 AH 2 122
 AH 2 202 122 256
 AH 16
 5 5 80 B H C
 Mà AC AH gt AC .16 
 6 6 3
 Ta có AHC vuông tại H .
 AC 2 AH 2 HC 2 ( Định lí Py-ta-go)
 2
 80 2 2
 16 HC
 3 
 2
 2 80 2 4096
 HC 16 
 3 9
 64
 HC 
 3
 64 
 HC 3 4 
 HC AH
 AH 16 3  
 AH HB
 AH 16 4 
 HB 12 3 
 Xét AHB và CHAcó:
 ·AHB ·CHA 90o 
 HC AH  AHB” CHA c.g.c 
 cmt 
 AH HB 
 b) Ta có: AHB” CHA cmt 
 ·BAH ·ACH
 mà ·ACH ·HAC 90o
 ·BAH ·HAC 90o
 ·BAC 90o (đpcm).
Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD có AB 8cm,BC 6cm . Vẽ đường cao AH của ABD .
 a, Chứng minh AHB” BCD .
 b, Chứng minh AD2 DH.DB.
 c, Tính độ dài đoạn AH .
 Lời giải
 a) Xét AHB và BCD ta có:
 A B
 Trang 1
 6 cm
 H
 D 8 cm C TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC
 ·AHB ·BCD 90o
 ·ABH ·BDC AB // CD 
 AHB” BCD g.g .
 b) Xét AHD và BAD ta có:
 ·AHD ·BAD 90o
 ·ADH : chung
 AHD” BAD g.g 
 AD HD
 AD2 DH .BD (đpcm)
 BD AD
 c) Ta có: AD BC 6cm ABCD là H.C.N 
 Xét ADB vuông tại A , ta có:
 BD2 AD2 AB2 ( định lí Py-ta-go)
 BD2 6 2 82 100
 BD 10
 AH AD
 Lại có: vì AHD” BAD 
 AB BD
 AH 6 6.8
 AH 4,8
 8 10 10
 Vậy AH 4,8 cm
Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD có AB 4cm,AD 3cm . Vẽ đường cao AH của ADB .
 a, Chứng minh AHB ∽ BCD .
 b, Chứng minh AD2 DH.DB.
 c, Tính độ dài đoạn thằng DH và AH .
 Lời giải
 a) Xét AHB và BCDta có:
 A B
 ·AHB ·BCD 90o
 ·ABH ·BDC AB // CD 
 3 cm
 AHB” BCD g.g H
 b) Xét AHD và BADta có:
 D 4 cm C
 ·AHD ·BAD 90o
 ·ADH : chung
 AHD” BAD g.g 
 AD HD
 AD2 HD.BD (đpcm)
 BD AD
 c) Xét ADB vuông tại A , ta có:
 BD2 AD2 AB2 (Định lý Pi-ta-go).
 BD2 32 42 25
 BD 5( cm )
 Ta có: AD2 HD.BD (Câu b).
 Trang 2 TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC
 32 HD.5
 HD 1,8( cm )
 AH AD
 Lại có: vì AHD” BAD 
 BA BD
 AH 3 4.3
 AH 2,4
 4 5 5
 Vậy HD 1,8 cm ; AH 2,4 cm
Bài 4: Cho hình vuông ABCD . Lấy P trên AB , Q trên BC sao cho BP BQ .Có H là hình 
chiếu của B lên CP .
 a, Chứng minh HBC∽ BPC rồi viết tỉ số đồng dạng.
 b, Chứng minh CH.BQ BH.CD .
 Lời giải
 a) Xét HBC và BPC ta có: A P B
 ·BHC ·PBC 90o
 ·HCB : chung H
 HBC” BPC g.g Q
 HB HC BC
 Tỉ số đồng dạng là 
 BP BC PC D C
 b) Ta có HBC ∽ BPC cmt 
 HC HB
 BC BP
 Mà BC=CD (vì tứ giác ABCD là hình vuông) và BP BQ gt 
 HC HB
 CH .BQ BH .CD (đpcm).
 CD BQ
Bài 5: Cho hình chữ nhật ABCD , AB AD . Kẻ AH  BD , H DB . Cho 
HD 4cm,BD 16cm
 a, Chứng minh AHD ∽ BAD .
 b, Tính AD .
 c, Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AH, BH . Chứng minh MH.CD AH.MN .
 Lời giải
 a) Xét AHD và BAD ta có: A B
 ·AHD ·BAD 90o
 ·ADH : chung M N
 AHD” BAD g.g 
 H
 b) Ta có: AHD” BAD cmt 
 D C
 AD HD
 BD AD
 AD2 HD.BD
 AD2 4.16 64
 AD 8 (cm).
 c) Xét HAB có: 
 M là trung điểm AH (gt)
 Trang 3 TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC
 N là trung điểm HB (gt)
 MN là đường trung bình của HAB
 MN // AB
 HMN” HAB
 HM MN
 HM .AB HA.MN
 HN AB
 Mà AB=CD ABCD là H.C.N 
 HM .CD AH .MN (đpcm)
Bài 6: Cho ABC vuông tại A có AB 6cm,AC 8cm . Đường cao AH và phân giác BD cắt nhau 
tại I .
 a, Chứng minh ABC” HBA từ đó suy ra: AB2 BH.BC .
 IH AD
 b, Chứng minh .
 IA CD B
 c, Tính diện tích BCD .
 Lời giải H
 a) Xét ABC và HBA ta có:
 I
 ·BAC ·BHA 90o
 ·ABH chung
 ABC” HBA g.g A D C
 AB BC
 AB2 BH .BC (đpcm)
 HB BA
 b) Ta có BI là đường phân giác của HBA ·ABI ·HBI 
 IH BH
 1 
 IA BA
 Lại có BD là đường phân giác của ABC (gt)
 AD BA
 2 
 CD BC
 BH BA
 mà vì ABC” HBA 3 
 BA BC
 IH AD
 Từ 1 , 2 và 3 (đpcm).
 IA CD
 c) Xét ABC vuông tại A , ta có:
 BC 2 AB2 AC 2 (Định lí Pi-ta-go)
 BC 2 6 2 82 100
 BC 10
 AD BA
 Ta có: cmt 
 CD BC
 AD CD BA BC
 CD BC
 AC 6 10 8 16
 CD 5
 CD 10 CD 10
 1
 Ta có: S .AB.CD
 BCD 2
 Trang 4 TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC
 1
 .6.5 15 cm2 
 2
 2
 Vậy SBCD 15cm
Bài 7: Cho ABC vuông tại A , có AB 4,5cm,BC 7,5cm . Kẻ đường cao AH . Tia phân giác góc 
Bµ cắt AC tại D , cắt AH tại K .
 a, Chứng minh ABC∽ HBA rồi suy ra: AB.AH AC.BH .
 b, Tính độ dài các đoạn thẳng AH, BH,CH. 
 KH DA
 c, Chứng minh: .
 KA DC
 Lời giải
 a) Xét HBA và ABC có:
 ·BHA ·BAC 90o B
 ·ABH chung H
 HBA” ABC g.g K
 AB AC
 AB.AH AC.BH
 BH HA
 b) Xét ABC vuông tại A, ta có: A D C
 BC 2 AB2 AC 2 (Định lí Pi-ta-go)
 7,52 4,52 AC 2
 AC 2 7,52 4,52 36
 AC 6
 AB BC
 Ta có: ABC” HBA 
 HB BA
 4,5 7,5 4,5.4,5
 HB 2,7
 HB 4,5 7,5
 HC BC HB 7,5 2,7 4,8
 Lại có: AB.AH AC.HB cmt 
 4,5.AH 6.2,7 AH 3,6
 Vậy AH 3,6 cm;HB 2,7 cm;HC 4,8 cm .
 KH BH
 c) Ta có: ( BK là đường phân giác của ABH )
 KA BA
 DA BA
 ( BD là đường phân giác của ABC )
 DC BC
 BH BA
 mà ABC” HBA 
 BA BC
 KH DA
 (đpcm)
 KA DC
Bài 8: Cho ABC vuông tại A, đường cao AH . Đường phân giác góc A· BC cắt AC tại D và cắt 
AH tại E .
 a, Chứng minh ABC∽ HBA và AB2 BC.BH .
 b, Biết AB 9cm,BC 15cm . Tính DC và AD .
 c, Gọi I là trung điểm của ED . Chứng minh B· IH A· CB .
 Lời giải
 Trang 5 TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC
 a) Xét HBA và ABC có: A
 ·BHA ·BAC 90o
 ·ABH chung D
 HBA” ABC g.g E I
 AB BC
 AB2 BC.BH
 BH BA B H C
 b) Xét ABC vuông tại A, ta có:
 BC 2 AB2 AC 2 ( Định lí Pi-ta-go)
 152 92 AC 2
 AC 2 152 92 144
 AC 12
 DA BA
 Ta có: 
 DC BC
 DA BA DA 9
 DA DC BA BC AC 9 15
 DA 9 9.12
 DA 4,5
 12 24 24
 DC AC AD 12 4,5 7,5
 Vậy AC 12cm;DC 7,5cm .
 c) Ta có: ·ABD ·BDA 90o ( ABD vuông tại A )
 ·EBH ·BEH 90o ( BHE vuông tại H )
 mà ·ABE ·EBH gt 
 ·ADB ·BEH mà ·BEH ·AED (2 góc đối đỉnh)
 ·ADB ·AED EAD cân tại A 
 Mà AI là đường trung tuyến IE ID 
 AI đồng thời là đường cao AI  ED hay AI  BD
 Xét EHB và EIA ta có:
 ·AED ·BEH (2 góc đối đỉnh)
 ·BHE ·AIE 90o
 EHB” EIA g.g 
 EB EH EI EH
 EB.EI EH .EA 
 EA EI EA EB
 Xét EIH và EAB ta có:
 EI EA
 cmt 
 EA EB
 ·HEI ·BEA (2 góc đối đỉnh)
 EIH” EAB g.g 
 ·HIE ·EAB hay·HIB ·HAB
 Mà ·HAB ·ACB (cùng phụ với ·ABC ).
 · ·
 Suy ra BIH ACB .
 Trang 6 TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC
Bài 9: Cho ABC vuông tại A, đường cao AH H BC .
 a, Chứng minh HBA” ABC.
 b, Chứng minh AH2 HB.HC .
 c, Tia phân giác góc A· HC cắt AC tại D . 
 HB AD2
 Chứng minh: .
 HC DC2
 Lời giải
 a) Xét HBA và ABC có:
 · · o
 BHA BAC 90 B
 ·ABH chung
 H
 HBA” ABC g.g 
 b) Xét AHB và CHA có:
 ·AHB ·CHA 90o
 · · ·
 BAH HCA (cùng phụ HAC ) A D C
 AHB” CHA g.g 
 AH HB
 AH 2 HB.HC (đpcm)
 CH HA
 DA HA DA2 HA2
 c) Ta có: 
 DC HC DC 2 HC 2
 DA2 HB.HC DA2 HB
 mà HA2 HB.HC cmt 
 DC 2 HC 2 DC 2 HC
 HB DA2
 Vậy (đpcm)
 HC DC 2
 .
Bài 10: Cho ABC vuông tại A có AB 3cm, AC 4cm , đường cao AH . Trên cạnh BC lấy điểm E 
sao cho AB BE .
 a) Chứng minh HBA∽ ABC .
 b) Chứng minh BE 2 BH  BC .
 c) Tính BC và AH .
 S
 d) Tia phân giác ·ABC cắt AC tại D . Tính tỉ số CED .
 SABC
 A
 D
 B H E C
 Lời giải:
 a) Xét HBA và ABC có:
 B· AC B· HA 90o (gt)
 ·ABC chung
 HBA∽ ABC (g-g)
 Trang 7 TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC
 b) Vì HBA∽ ABC (cmt)
 AB BH
 (cặp cạnh tương ứng)
 BC AB
 AB2 BH  BC
 Mà AB BE (gt)
 BE 2 BH  BC
 c) Xét ABC vuông tại A (gt)
 BC 2 AB2 AC 2 (Định lý Pytago)
 BC 2 32 42
 BC 2 25 mà BC 0
 Vậy BC 5cm
 d) xét ABD và EBD :
 AB BE (gt)
 ·ABD E· BD (vì BD là phân giác của ·ABC )
 BD chung
 ABD EBD (c – g-c)
 B· AD B· ED 90o (2 góc tương ứng)
 D· EC 90o
 Biết BE CE BC
 CE 2cm
 Xét EDC và ABC :
 D· EC B· AC 90o (gt và cmt)
 Cµ chung
 EDC ∽ ABC (g-g)
 2
 SCED CE 1
 SABC AC 4
Bài 11: Cho ABC nhọn, đường cao AH . Kẻ HI  AB và HK  AC .
 a) Chứng minh AH 2 AI.AB .
 b) Chứng minh AIK ∽ ACB .
 EB 2 BI
 c) Đường phân giác của góc ·AHB cắt AB tại E . Biết . Tính tỉ số .
 AB 5 AI
 A
 K
 E
 I
 B H C
 Lời giải:
 a) xét IAH và HAB :
 ·AIH ·AHB 90O (gt)
 B· AH chung
 IAH ∽ HAB (g-g)
 AH AI
 (cặp cạnh tương ứng)
 AB AH
 Trang 8 TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC
 AH 2 AI  AB (1)
 b) xét KAH và HAC :
 ·AKH ·AHC 90O (gt)
 H· AC chung
 KAH ∽ HAC (g-g)
 AH AK
 (cặp cạnh tương ứng)
 AC AH
 AH 2 AK  AC (2)
 Từ (1) và (2) AI  AB AK  AC
 AI AK
 AC AB
 Xét AIK và ACB :
 B· AC chung
 AI AK
 (cmt)
 AC AB
 AIK ∽ ACB (c-g-c)
 c) xét IBH và HBA :
 B· IH ·AHB 90O (gt)
 ·ABH chung
 IBH ∽ HBA (g-g)
 BH BI
 (cặp cạnh tương ứng)
 AB BH
 BH 2 BI  AB mà AH 2 AI  AB (cmt)
 2
 BI BH 
 AI AH 
 EB 2 EB 2
 Lại có 
 AB 5 EA 3
 BH BE 2
 Mà HE là tia phân giác của ·AHB 
 AH EA 3
 BI 4
 AI 9
Bài 12: Cho ABC vuông tại A có đường cao AH . Qua C vẽ đường thẳng song song với AB và cắt 
AH tại D . Biết AB 20cm, AC 15cm .
 a) Chứng minh ABC∽ HBA và tính BC, AH .
 b) Chứng minh AC 2 AB.DC .
 c) Gọi I và K lần lượt là trung điểm của AB và CD . Chứng minh I, H,K thẳng hàng.
 Lời giải
 C K D
 H
 A I B
 Trang 9 TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC
 a) Xét ABC và HBA có:
 C· AB ·AHB ( 90o)
 Bµ chung
 ABC HBA đpcm.
 Xét ABC vuông tại A có:
 AB2 AC 2 BC 2 202 152 BC 2 BC 2 625 BC 25cm
 AC BC AC.BA 15.20
 Ta có: ABC ∽ HBA (chứng minh trên) AH 12cm
 HA BA BC 25
 b) Ta có: 
 AB / / CD o
 AC CD ·ACD 90
 AB  AC
 Xét ABC và CAD có:
 C· AB ·ACD ( 90o )
 Bµ C· AD (cùng phụ với H· AB ).
 AC AB
 ABC∽ CAD AC 2 AB.CD
 CD CA
 c) Ta có BI / /CK H· BI H· CK (so le trong)
 Xét HBA vuông tại H có HI là đường trung tuyến HI BI I·BH I·HB
 Xét DHC vuông tại H có HK là đường trung tuyến HK KC K· HC K· CH
 Mà: H· BI K· CH I·HB K· HC
 Lại có: C· HK K· HB 180O B· HI K· HB 180O
 H, I, K thẳng hàng.
Bài 13: Cho ABC vuông tại A, đường cao AH . Kẻ HD  AB,(D AB) . Gọi I là giao điểm của 
AH và CD . Đường thẳng BI cắt AC tại K . Chứng minh rằng:
 a) ADH ∽ AHB . 
 b) AD.AB HB.HC . 
 c) K là trung điểm của AC . 
 Lời giải
 a) Xét ADH và AHB có:
 ·ADH ·AHB ( 90o )
 B· AH chung
 ADH ∽ AHB (g - g)
 b) Ta có: ADH ∽ AHB (theo câu a)
 Trang 10