Tài liệu ôn tập môn Toán Lớp 8 - Bài: Ôn tập chương I

 Bài tập Toán 8 – Ôn tập chương I, Hình 8
 ÔN TẬP CHƯƠNG I HÌNH 8 
 Bài 34: Cho hình bình hành ABCD . Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O . Đường thẳng m đi 
 qua O cắt AB và CD lần lượt tại M và P . đường thẳng n đi qua O cắt cạnh BC và DA lần lượt tại 
 N và Q. Biết m  n .
 a) Chứng minh MNPQ là hình bình hành.
 b) Chứng minh MNPQ là hình thoi.
 Lời giải 
 a) Chứng minh MNPQ là hình bình hành.
 Ta có ABCD là hình bình hành (gt); m
 A M B
 AC  BD O
 OA OC
 (Tính chất đường chéo của hình bình hành)
 OB OD
 Xét AOM và COP có: n Q N
 O
 ·AOM P· OC ( 2 góc đối đỉnh)
 OA OC (chứng minh trên)
Toán 8 Dự án 1: Bài tập · ·
 MAO OCP (hai góc so le trong) D P C
 AOM COP (g-c-g)
 OM OP ( cặp cạnh tương ứng)
 Xét BON và DOQ có: B· ON Q· OD ( 2 góc đối đỉnh)
 OD OB (chứng minh trên)
 Q· DO N· BO (hai góc so le trong)
 BON DOQ (g-c-g)
 ON OQ ( cặp cạnh tương ứng)
 MP  NQ O
 Xét tứ giác MNPQ có: OM OP MNPQ là hình bình hành.
 ON OQ
 b) Chứng minh MNPQ là hình thoi.
 Theo phần a, ta có MNPQ là hình bình hành
 Lại có: m  n tại O hay MP  NQ tại O MNPQ là hình thoi (dấu hiệu nhận biết hình thoi)
 Bài 35: Cho hình vuông ABCD . Hai đường thẳng m và n vuông góc với nhau ở tâm O của hình 
 vuông. Đường thẳng m cắt AB; CD lần lượt ở P và Q đường thẳng n cắt BC và AD ở R và S.
 a) Chứng minh AOP BOR .
 b) Chứng minh OP OR OS OQ .
 c) Tứ giác PRQS là hình vuông.
 B R C
 1
 Q
 P O
 A S D Bài tập Toán 8 – Ôn tập chương I, Hình 8
 Lời giải
 a) Chứng minh AOP BOR .
 Ta có ABCD là hình vuông
 AC  BD tại O ; AC là tia phân giác của 
 B· AD ; BD là tia phân giác của A· BC ;
 OA OB OC OD
Toán 8 Dự án 1: Bài tập
 A· OB 900 ; B· AO D· AO 450;A· BO C· BO 450
 A· OP P· OB A· OB 900
 Lại có: 
 · · · 0
 BOR POB POR 90
 A· OP B· OR
 Xét AOP và BOR có: 
 B· OR ·AOP ( 2 góc cùng phụ với B· OP )
 OA OB (chứng minh trên)
 O· BR O· AP( 450 ) (chứng minh trên)
 AOP BOR (g-c-g)
 b) Chứng minh OP OR OS OQ .
 Theo phần a, ta có AOP BOR OP OR (cặp cạnh tương ứng) (1) Sửa lại dấu suy ra cho 
 đúng và gõ trên mathtype thầy cô nhé, rà soát lại phía sau còn nhiều lỗi tương tự
 Xét AOP và COQ có: 
 P· AO Q· CO ( 2 góc so le trong)
 OA OC (Chứng minh trên)
 A· OP Q· OC (2 góc đối đỉnh)
 AOP COQ (g-c-g)
 OP OQ (cặp cạnh tương ứng) (2)
 Xét BOR và DOS có: 
 · ·
 PBO SDO ( 2 góc so le trong)
 OB OD (chứng minh trên)
 2 Bài tập Toán 8 – Ôn tập chương I, Hình 8
 B· OR D· OS (2 góc đối đỉnh)
 BOR DOS (g-c-g)
 OR OS (cặp cạnh tương ứng) (3)
 Từ (1); (2); (3) suy ra OP OR OS OQ
 c) Tứ giác PRQS là hình vuông.
 Xét tứ giác PRQS có OP OR OS OQ => PQRS là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết)
 Mặt khác có m  n tại O => PQ  RS tại O => PRQS là hình vuông.
 Bài 36: Cho hình vuông ABCD . Trên cạnh DC lấy điểm E . Từ A dựng đường thẳng vuông góc với 
 AE tại A , đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại F.
 a) Chứng minh AF AE .
 b) Từ E dựng đường thẳng song song với AF và từ F dựng đường thẳng song son với AE , hai 
 đường thẳng này cắt nhau tại G . Chứng minh BD, AG, EF đồng quy.
 Lời giải
 F
Toán 8 Dự án 1: Bài tập
 A B
 G
 D E C
 a) Chứng minh AF AE .
 Ta có: 
 D· AE E· AB 900
 D· AE B· AF
 · · 0
 BAF EAB 90
 Xét DAE và BAF có: 
 ·ADE ·ABF 900
 AB AD(cạnh hình vuông ABCD )
 D· AE B· AF(chứng minh trên)
 ADE ABF (g-c-g)
 3 Bài tập Toán 8 – Ôn tập chương I, Hình 8
 AE AF (cặp cạnh tương ứng) 
 b) Chứng minh BD, AG, EF đồng quy.
 Xét tứ giác AEGF có AF//EG;AE//FG (gt)
 AEGF là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)
 Mà E· AF 900 (gt) AEGF là hình chữ nhật
 Lại có: AE AF(chứng minh phần a)
 AEGF là hình vuông (dấu hiệu nhận biết)
 Gọi H là giao điểm của hai đường chéo AG và EF của hình vuông AEGF
  H là trung điểm của EF (tính chất hình vuông)
 CH là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền EF của tam giác vuông EFC
 1
 CH EF
 2
 1
 Lại có HA EF=> CH HA => H thuộc đường trung trực của AC
 2
 Mà BD là đường trung trực của AC => H BD
 Vậy BD, AG, EF đồng quy
Toán 8 Dự án 1: Bài tập
 Bài 37: Cho hình vuông ABCD . Vẽ x· Ay 900 . Tia Ax cắt BC ở M , Ay cắt đường thẳng CD tại N
 .
 a) Chứng minh MAN vuông cân.
 b) Vẽ hình bình hành MANF có O là giao điểm của AF và MN . Chứng minh D, O, B thẳng 
 hàng.
 c) Chứng minh AC  CF . x
 Lời giải
 a) Chứng minh MAN vuông cân.
 Xét BAM và DAN có: B M C
 ·ABM ·ADN 900
 AB AD(cạnh hình vuông ABCD) F
 B· AM D· AN (cùng phụ với M· AD )
 BAM DAN (g-c-g)
 O
 AM AN (cặp cạnh tương ứng) 
 Xét MAN có AM AN => MAN cân tại A
 Lại có AM  AN tại A => M· AN 900
  MAN vuông cân tại A
 D
 b) Chứng minh D, O, B thẳng hàng. A
 Từ O kẻ OH  AB ; OK  BC ; 
 µ 0
 Mà B 90 (ABCD là hình vuông) N y
 BHOK là hình chữ nhật (1)
 Ta có MANFlà hình bình hành (gt)
 Lại có AM AN (chứng minh trên) => MANF là hình thoi
 4 Bài tập Toán 8 – Ôn tập chương I, Hình 8
 Mặt khác M· AN 900 (chứng minh trên) => MANF là hình vuông => OM OA OF ON (tính chất 
 hình vuông)
 Xét MKO và AHO có: 
 O· KM O· HA 900
 OM OA
 H· OA M· OK (cùng phụ với H· OM )
 MKO AHO (cạnh huyền - góc nhọn)
 OH OK (cặp cạnh tương ứng) (2)
 Từ (1) và (2) => BHOK là hình vuông => BO là phân giác của H· BK
 Hay BO là phân giác của ·ABC => BO trùng với BD hay B; O; D thẳng hàng.
 c) Chứng minh AC  CF .
 Từ F kẻ FE  BC;FG  CD có E· CG 900
 ECGF là hình chữ nhật (3) => E· FG 900
 G· FN M· FE (cùng phụ với M· FG )
Toán 8 Dự án 1: Bài tập Xét MFE và NFG có: 
 M· EF F· GN 900
 MF FN (cạnh của hình vuông)
 G· FN M· FE (chứng minh trên)
 MFE NFG (cạnh huyền - góc nhọn)
 FG FE (cặp cạnh tương ứng) (4)
 Từ (3); (4) suy ra ECGF là hình vuông => CF là phân giác của E· CG
 E· CF G· CF 450 (tính chất đường chéo của hình vuông)
 Lại có CA là đường chéo của hình vuông ABCD
 ·ACD 450
 F· CA G· CF ·ACD 450 450 900 Hay AC  CF .
 K
 G
 H
 5 Bài tập Toán 8 – Ôn tập chương I, Hình 8
 Bài 38: Cho hình vuông ABCD . Trên tia đối của tia CBlấy điểm M , Trên tia đối của tia DC lấy 
 điểm N sao cho BM DN . Vẽ hình bình hành MANF . Gọi O là trung điểm của AF . Chứng minh 
 rằng:
 a) Tứ giác MANF là hình vuông.
 b) F thuộc tia phân giác góc M· CN .
 c) AC  CF .
 d) Tứ giác BOFC là hình thang.
 Lời giải
 a) Tứ giác MANF là hình vuông.
 Xét BAM và DAN có: B C M
 ·ABM ·ADN 900
 AB AD(cạnh của hình vuông)
 BM DN (gt)
 BAM DAN (c-g-c)
 AM AN (cặp cạnh tương ứng) A D
 và B· AM D· AN (cặp góc tương ứng)
Toán 8 Dự án 1: Bài tập O
 Theo giả thiết: AMFN là hình bình hành
 F
 Lại có AM=AN
 =>AMFN là hình thoi (dấu hiệu nhận biết) (1)
 Lại có:
 B· AM M· AD 900 D· AN M· AD 900
 M· AN 900 (2)
 N
 Từ (1) và (2) suy ra MANF là hình vuông.(dấu hiệu nhận biết)
 b) F thuộc tia phân giác góc M· CN .
 Kẻ F  C;FK  C tại H và K
 KCHF là hình chữ nhật (3)
 K· FH 900
 Lại có N· FM 900
 N· FK H· FM (cùng phụ với K· FM )
 Xét FKN và FHM có: 
 N· KF F· HM 900
 NF MF (cạnh của hình vuông)
 N· FK H· FM
 FKN FHM (cạnh huyền - góc nhọn)
 FH FK (cặp cạnh tương ứng) (4)
 Từ (3) và (4) suy ra KCHF là hình vuông
 CF là tia phân giác của M· CN . Vậy F thuộc tia phân giác góc M· CN .
 c) AC  CF .
 6 Bài tập Toán 8 – Ôn tập chương I, Hình 8
 Theo phần b, CF là tia phân giác của M· CN
 M· CF N· CF 450 (Tính chất đường chéo của hình vuông)
 Lại có CA là tia phân giác của B· CD => ·ACD 450 (Tính chất đường chéo của hình vuông)
 Ta có: ·ACF ·ACD F· CD 450 450 900
 AC  CF
 d, Tứ giác BOFC là hình thang.
 Xét CAF vuông tại C ( ·ACF 900 ), có CO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AF
 1
 =>CO= AF
 2
 1
 Mà OA= AF ( O là trung điểm của AF )
 2
 =>OA=OC
  O thuộc đường trung trực của AC . Mà BD là đường trung trực của AC O thuộc BD => 
 O;B;D thẳng hàng
 Ta có BD là tia phân giác của ·ABC => C· BD 450 (Tính chất đường chéo của hình vuông)
Toán 8 Dự án 1: Bài tập C· BD M· CF( 450 )
 Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị => BD / /CF hay BO / /CF
 Xét tứ giác BOFC có BO / /CF => Tứ giác BOFC là hình thang.
 H
 K
 Bài 39: Cho hình vuông ABCD , Kéo dài BC lấy điểm E , Kéo dài CD lấy điểm F sao cho 
 BE DF.
 a) Chứng minh ABE ADF.
 b) EAF là tam giác gì? Vì sao?
 c) Kẻ tia Ex / / AF và tia Fy / / AE . Ex cắt Fy tại G . Tứ giác AEGF là hình gì? Vì sao?
 Lời giải 
 a) Chứng minh ABE ADF.
 7 Bài tập Toán 8 – Ôn tập chương I, Hình 8
 Xét ABE và ADF có: 
 AB AD (2 cạnh của hình vuông) B C E
 A· BE A· DF( 900 )
 BE DF(gt)
  ABE ADF (c-g -c) Không sử dụng dấu mũi tên này
 b) EAF là tam giác gì? Vì sao?
 A D
 Theo phần a, ABE ADF => B· AE D· AF (cặp góc tương ứng)
 và AE AF(cặp cạnh tương ứng)
 G
 Xét tam giác AEF có AE AF=> AEF cân tại A (1)
 Lại có: B· AE E· AD 900 D· AF E· AD 900
 · 0
  EAF 90 (2)
 Từ (1); (2) suy ra AEF vuông cân tại A
 c) Tứ giác AEGF là hình gì? Vì sao? F
 Theo giả thiết Ex / / AF;Fy / / AE ; Ex cắt Fy tại G
 =>EG / / AF;FG / / AE
Toán 8 Dự án 1: Bài tập
 Xét tứ giác AEGF có EG / / AF;FG / / AE => AEGF là hình bình hành
 Lại có: AE AF=> AEGF là hình thoi.
 Mặt khác E· AF 900 => AEGF là hình vuông 
 Bài 40: Cho hình vuông ABCD . Trên tia đối của các tia AD, BA, CB, DC lần lượt lấy các điểm 
 A’, B’, C’, D’ . sao cho AA' BB' CC' DD'. Chứng minh:
 a, AA'B' BB'C' CC'D' DD'A' .
 b, A· 'B'C' 900 .
 B'
 c, Tứ giác A'B'C'D' là hình vuông.
 Lời giải 
 a) AA'B' BB'C' CC'D' DD'A' .
 B C'
 ABCD là hình vuông => AB BC CD DA
 C
 Theo giả thiết AA' BB' CC' DD'
  AB BB' BC CC' CD DD' DA AA'
  AB' BC' CD' DA'
 Xét AA'B' và BB'C ' có: 
 B· 'AA' B· 'BC ' 900
 AA' BB'(gt) A
 AB' BC' (chứng minh trên) A' D
 AA'B' BB'C ' (c-g-c)
 Chứng minh tương tự ta có : BB'C ' CC 'D' (c-g-c)
 D'
 CC 'D' DD' A' (c-g-c)
 Từ đó suy ra: AA'B' BB'C' CC'D' DD'A'
 8 Bài tập Toán 8 – Ôn tập chương I, Hình 8
 b) A· 'B'C' 900 .
 Theo phần a, AA'B' BB'C' => B· 'A'A B· B'C ' (cặp góc tương ứng)
 Lại có: B· 'A'A A· 'B'B 900 (Tổng 2 góc nhọn trong tam giác vuông)
 · · 0
  BB'C' A'B'B 90
 · 0
  A'B'C' 90
 c) Tứ giác A'B'C'D' là hình vuông.
 Theo phần a, AA'B' BB'C ' A'B' B'C ' (cặp cạnh tương ứng)
 BB'C ' CC 'D' B'C ' C 'D'(cặp cạnh tương ứng)
 CC 'D' DD' A' C 'D' D' A' (cặp cạnh tương ứng)
  A'B' B'C ' C 'D' D' A' => A'B'C 'D' là hình thoi
  Lại có: ·A'B'C ' 900 (chứng minh phần b) => A'B'C 'D' là hình vuông.
 Bài 41: Cho hình vuông ABCD . Từ điểm M thuộc cạnh BC vẽ đường thẳng cắt CD ở K sao cho 
 A· MB A· MK . Kẻ AH  MK ở H . Chứng minh:
 a) ABM AHM và AH AD.
 b) DAK HAK .
Toán 8 Dự án 1: Bài tập 1
 c) M· AK .Aµ 450 .
 2
 Lời giải 
 a) ABM AHM và AH AD.
 Xét ABM và AHM có: 
 M· BA M· HA( 900 )
 B M C
 AM chung
 H
 B· MA ·AMH (gt)
 ABM AHM (cạnh huyền - góc nhọn)
 AB AH (cặp cạnh tương ứng)
 K
 Mà AB AD (2 cạnh của hình vuông)
  AH AD
 b) DAK HAK .
 Xét DAK và HAK có: 
 ·AHK ·ADK( 900 )
 AK chung A D
 AH AD (chứng minh trên)
  DAK HAK (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
 1
 c) M· AK .Aµ 450 .
 2
 Theo phần a, ABM AHM B· AM H· AM (cặp góc tương ứng)
 Theo phần b, DAK HAK D· AK H· AK (cặp góc tương ứng)
 Mà B· AD D· AK H· AK B· AM H· AM 900
 9 Bài tập Toán 8 – Ôn tập chương I, Hình 8
 B· AD 2H· AK 2H· AM 900
 · · 0 · · 0 · 0
 2(HAK HAM) 90 HAK HAM 45 MAK 45
 Bài 42: Cho hình vuông ABCD . M là điểm tùy ý trên cạnh DC . Tia phân giác của D· AM cắt CD tại 
 I . Kẻ IH  AM tại H và tia IH cắt BC tại K . Chứng minh:
 a) ADI AHI .
 b) ABK A .
 · 0
 c) IAK 45 .
 Lời giải B K C
 a) ADI AHI .
 Xét ADI và AHI có: 
 ·AHI ·ADI( 900 ) M
 AI chung H
 D· AI H· AI ( AI là tia phân giác của M· AD )
 ADI AHI (cạnh huyền - góc nhọn)
 I
Toán 8 Dự án 1: Bài tập b) ABK A .
 Theo phần a, ADI AHI AH AD(cặp cạnh tương ứng)
 Mà AB AD (2 cạnh của hình vuông )
  AB AH A D
 Xét ABK và A có: 
 AB AH (chứng minh trên)
 AK chung
 ·ABK ·AHK( 900 )
 ABK A (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
 c) I·AK 450 .
 Theo phần b, ABK A B· AK H· AK (cặp góc tương ứng)
 Mà B· AD D· AI I·AH H· AK K· AB 900
 B· AD 2I·AH 2H· AK 900
 · · 0 · · 0 · 0
 2(IAH HAK) 90 IAH HAK 45 IAK 45
 Bài 43: Cho hình vuông ABCD . Trong hình vuông vẽ CDE đều. Bên ngoài hình vuông vẽ BCF 
 đều.
 a, Tính các góc của AED .
 b, Chứng minh ECF vuông cân.
 c, Chứng minh A, E, F thẳng hàng.
 Lời giải 
 a) Tính các góc của AED .
 Ta có CDE đều => E· DC E· CD C· ED 600
 Mà E· DC E· DA C· DA 900
 10