Đề cương ôn tập Toán Lớp 8 - Chuyên đề: Bất đẳng thức

 CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC
I.LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa:
 Các mệnh đề “ A > B ” hoặc “ A < B ” được gọi là bất đẳng thức. (BĐT)
 Các mệnh đề: “ A B ” hoặc “ A B “ được gọi là các bất đẳng thức suy rộng.
2. Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương:
 Nếu từ BĐT A > B mà ta biến đổi được thành C > D thì ta nói rằng BĐT C > D là 
BĐT hệ quả của BĐT A > B. kí hiệu A > B => C > D
 Nếu BĐT A>B là hệ quả của BĐT C>D và C>D cũng là BĐT hệ quả của BĐT 
A>B thì ta nói hai BĐT trên tương đương với nhau, Kí hiệu A>B C>D
3. Tính chất:
 A B A C B C ( Cộng hai vế của BĐT với cùng một số)
 A B A.C B.C, C 0 
 (Nhân hai vế của BĐT với cùng một số)
 A B A.C B.C, C 0 
 A B,C D A C B D ( Cộng hai BĐT cùng chiều)
 A B,C D AC BD, A,C 0 (Nhân hai BĐT cùng chiều)
 A B A2n 1 B2n 1 hoặc A2n B2n Với A > 0, (Nâng hai vế của BĐT 
lên một lũy thừa)
 A B A B, A 0 (Khai căn hai vế của một BĐT)
 a b a b a b (Tính chất giá trị tuyệt đối).
II.LUYỆN TẬP
 Dạng 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA: A>B TA XÉT HIỆU A – B >0, CHÚ Ý BĐT 
 A2 0
Bài 1: CMR : với mọi x,y,z thì x2 y2 z2 xy yz zx
HD:
 Xét hiệu ta có:
 x2 y2 z2 xy yz zx 0
 2 x2 y2 z2 xy yz zx 0
 (x2 2xy y2 ) (y2 2yz z2 ) (z2 2zx x2 ) 0
 x y 2 y z 2 z x 2 0
 Trang 1 Dấu bằng xảy ra khi x = y = z
Bài 2: CMR : với mọi x,y,z thì x2 y2 z2 2xy 2yz 2zx
HD:
 Xét hiệu ta có: x2 y2 z2 2xy 2yz 2zx 0 x y z 2 0
 Dấu bằng xảy ra khi x+z=y
Bài 3: CMR : với mọi x,y,z thì x2 y2 z2 3 2 x y z 
HD:
 Xét hiệu ta có: x 1 2 y 1 2 z 1 2 0 , Dấu bằng khi x=y=z=1
 2
 a2 b2 a b 
Bài 4: CMR : với mọi a,b ta có : 
 2 2 
HD:
 a2 b2 a2 2ab b2
 Xét hiệu ta có : 0 2a2 2b2 a2 2ab b2 0
 2 4
 a2 2ab b2 0 a b 2 0 , Dấu bằng khi a=- b
 2
 a2 b2 c2 a b c 
Bài 5: CMR : với mọi a,b,c ta có : 
 3 3 
HD:
 a2 b2 c2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac
 Ta có: 
 3 9
 3a2 3b2 3c2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac 0
 2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ac 0
 a b 2 b c 2 c a 2 0 , Dấu bằng khi a=b=c
 a b 2
Bài 6: CMR : a2 b2 2ab
 2
HD:
 a b 2
 Ta chứng minh: a2 b2 2a2 2b2 a2 2ab b2
 2
 a2 b2 2ab 0 a b 2 0 , Dấu bằng khi a=b
 2
 a b 2
 Ta chứng minh 2ab a2 2ab b2 4ab a b 0 , Dấu bằng 
 2
khi a=b
 b2
Bài 7: Cho a,b,c là các số thực. CMR: a2 ab 
 4
HD:
 Ta có: 4a2 b2 4ab 4a2 b2 4ab 0 2a b 2 0
 Dấu bằng khi b=2a
 Trang 2 Bài 8: Cho a,b,c là các số thực. CMR: a2 b2 1 ab a b
HD:
 Ta có: a2 b2 1 ab a b 0 2a2 2b2 2 2ab 2a 2b 0
 a2 2ab b2 a2 2a 1 b2 2b 1 0 a b 2 a 1 2 b 1 2 0 . 
 Dấu bằng khi a=b=1
Bài 9: Cho a,b,c,d là các số thực . CMR : a2 b2 c2 d 2 e2 a b c d e 
HD:
 Ta có: a2 b2 c2 d 2 e2 ab ac ad ae 0
 4a2 4b2 4c2 4d 2 4e2 4ab 4ac 4ad 4ae 0
 a2 4ab 4b2 a2 4ac 4c2 a2 4ad 4d 2 a2 4ae 4e2 0
 a 2b 2 a 2c 2 a 2d 2 a 2e 2 0
 Dấu bằng xảy ra khi a=2b=2c=2d=2e
 1 1 
Bài 10: Cho a,b thỏa mãn: a+b = 1, a>0, b>0.CMR: 1 1 9
 a b 
HD:
 a b a b b a a b 
 Ta có: VT 1 1 2 2 4 2 1
 a b a b b a 
 a b a b 2 2 1
 5 2 5 2.2 9 . Dấu bằng khi a b a b 
 b a b a 2
 2
 x y 
Bài 11: Cho x, y 0,CMR : xy
 2 
HD:
 Ta có: x2 y2 2xy 4xy x2 2xy y2 0 x y 2 0 , Dấu bằng khi x=y
Bài 12: Cho a > 0, b > 0. CMR: a3 b3 a2b ab2
HD:
 Ta có: a3 a2b b3 ab2 0 a2 a b b2 a b 0
 2
 a b a2 b2 0 a b a b 0
 Dấu bằng khi a=b
 1 1 2
Bài 13: Cho ab 1,a 0,b 0 CMR: 
 1 a2 1 b2 1 ab
HD:
 Xét hiệu:
 1 1 1 1 
 2 2 0
 1 a 1 ab 1 b 1 ab 
 a b a b a b 
 0
 1 a2 1 ab 1 b2 1 ab 
 Trang 3 (b a) a b
 [ ] 0
 (1 ab) 1 a2 1 b2 
 (b a) a(1 b2 ) b(1 a2 )
 [ ] 0
 (1 ab) (1 a2 )(1 b2 )
 (b a) (b a)(ab 1)
 [ ] 0
 (1 ab) (1 a2 )(1 b2 )
 b a 2 ab 1 
 0
 1 ab a2 1 b2 a 
 Dấu bằng khi a=b hoặc ab=1
Bài 14: CMR : với mọi số thực x,y,z,t ta luôn có : x2 y2 z2 t 2 x y z t 
HD:
 Ta có: x2 y2 z2 t 2 xy xz xt 0 4x2 4y2 4z2 4t 2 4xy 4xz 4xt 0
 x2 4xy 4y2 x2 4xz 4z2 x2 4xt 4t 2 x2 0
 Dấu bằng khi x= 2y=2z=2t=0
 a2
Bài 15: CMR : b2 c2 ab ac 2bc
 4
HD:
 Ta có: a2 4b2 4c2 4ab 4ac 8bc 0 a2 4a b c 4 b2 c2 2bc 0
 a2 4a b c 4 b c 2 0 a 2a 2c 2 0
Bài 16: CMR : x2 y2 z2 2xy 2zx 2yz
HD:
 Ta có: x2 y2 z2 2xy 2yz 2zx 0 x2 2x y z y2 2 yz z2 0
 x2 2x y z y z 2 0 x y z 2 0
Bài 17: CMR : x4 y4 z4 1 2x xy2 x z 1 
HD:
 Ta có: x4 y4 z4 1 2x2 y2 2x2 2xz 2x 0
 x4 y4 2x2 y2 x2 2xz z2 x2 2x 1 0
 2 2 2
 x2 y2 x z x 1 0 , Dấu bằng khi x=z=1, y= 1
Bài 18: CMR : a2 b2 c2 ab bc ca
HD:
 Ta có : a2 b2 c2 ab bc ca 0 2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ca 0
 a b 2 b c 2 c a 2 0
Bài 19 CMR : a2 b2 ab
HD:
 Trang 4 2 2 2 2
 2 2 2 b b 3b b 3b
 Ta có: a b ab 0 a 2a. 0 a 0
 2 4 4 2 4
Bài 20: CMR : x2 xy y2 0
HD:
 2 2 2 2
 2 y y 3y y 3y
 Ta có: x 2x. 0 x 0
 2 4 4 2 4
Bài 21: CMR : a a b a c a b c b2c2 0
HD:
 a a b c a b a c b2c2 0
 a2 ab ac a2 ab ac bc b2c2 0
 2
 a ab ac x 2 2 2
 Đặt , Khi đó ta có: x x y y 0 x xy y 0
 bc y
 2
Bài 22: CMR : a2 b2 a4 b4 a3 b3 
HD:
 Ta có: a6 a2b4 a4b2 b6 a6 2a3b3 b6
 a4b2 a3b3 a2b4 a3b3 0
 a3b2 a b a2b3 b a 0
 2
 a b a3b2 a2b3 0 a2b2 a b 0
Bài 23: CMR : a b a3 b3 2 a4 b4 
HD:
 Ta có: a4 ab3 a3b b4 2a4 2b4 a4 ab3 b4 a3b 0
 2
 a3 a b b3 b a 0 a3 b3 a b 0 a b a2 ab b2 0
Bài 24: Cho a,b > 0, CMR : 2 a3 b3 a b a2 b2 
HD:
 Ta có: 2a3 2b3 a3 ab2 a2b b3
 a3 a2b b3 ab2 0
 a2 a b b2 b a 0
 a b 2 a b 0
Bài 25: Cho a, b > 0, CMR: 4 a3 b3 a b 3
HD:
 Ta có: 4a3 4b3 a3 3a2b 3ab2 b3
 3a3 3a2b 3b3 3ab2 0
 3a2 a b 3b2 b a 0 3 a b a2 b2 0
 3 a b 2 a b 0
 Trang 5 Bài 26: Cho a,b,c > 0, CMR: a3 b3 abc ab a b c 
HD:
 Ta có: a3 b3 abc a2b ab2 abc
 a3 a2b b3 ab2 0 a2 a b b2 b a 0 a b 2 a b 0
 2
Bài 30: CMR: a2 b2 ab a b 2
HD:
 Ta có: a4 2a2b2 b4 ab a2 2ab b2 a3b 2a2b2 ab3
 a4 a3b b4 ab3 0 a3 a b b3 b a 0
 2
 a3 b3 a b 0 a b a2 ab b2 0
Bài 31: CMR: a2 b2 c2 a b c 
HD:
 Ta có: a2 b2 c2 ab ac 0 4a2 4b2 4c2 4ab 4ac 0
 a2 4ab 4b2 a2 4ac 4c2 2a2 0 a 2b 2 a 2c 2 2a2 0
Bài 32: CMR: a2 b2 c2 d 2 a b c d 
HD:
 Ta có: 
 a2 b2 c2 d 2 ab ac ad 0 4a2 4b2 4c2 4d 2 4ab 4ac 4ad 0
 a2 4ab 4b2 a2 4ac 4c2 a2 4ad 4d 2 a2 0
 a 2b 2 a 2c 2 a 2d 2 a2 0
 3
Bài 33: CMR: a2 b2 c2 a b c 
 4
HD:
 Ta 
 2 2 2 3 2 1 2 1 2 1 
có: a a b b c c 0 a a b b c c 0
 4 4 4 4 
 2 2 2
 1 1 1 
 a b c 0
 2 2 2 
Bài 34: CMR: a4 b4 2 4ab
HD:
 Ta có: a4 b4 4ab 2 0 a4 b4 2a2b2 2a2b2 4ab 2 0
 2 2
 a2 b2 2 a2b2 2ab 1 0 a2 b2 2 ab 1 2 0
Bài 35: CMR: x4 4x 5 0
HD:
 2 2
 Ta có: x4 4x2 4 4x2 4x 1 0 x2 2 2x 1 0
 Không xảy ra dấu bằng.
 Trang 6 1
Bài 36: CMR: x4 x 0
 2
HD:
 2 2
 4 2 1 2 1 2 1 1 
 Ta có: x x x x 0 x x 0
 4 4 2 2 
Bài 37: CMR: x3 4x 1 3x2 (x 0)
HD:
 Ta có: x3 3x2 4x 1 0 x x2 x 4 x2 1 0 x x 2 2 x2 1 0 , Vì x 
> 0
Bài 39: CMR: x 1 x 2 x 3 x 4 1
HD:
 x 1 x 4 x 2 x 3 1 0 x2 5x 4 x2 5x 6 1 0
 Đặt x2 5x 5 t , Khi đó ta có: t 1 t 1 1 0 t 2 0 , Dấu bằng khi t=0 
Bài 40: CMR: x4 x3 x2 x 1 0
HD:
 Ta có : x3 x 1 x 1 x2 0 x 1 x3 1 x2 0
 2
 x 1 x2 x 1 x2 0 ( ĐPCM)
Bài 41: CMR : a2 4b2 4c2 4ab 8bc 4ac
HD:
 Ta 
có: a2 4b2 4c2 4ab 8bc 4ac 0 a2 2b 2 2c 2 2.a.2b 2.2b.2c 2.a.2c 0
 a b c 2 0
Bài 42: CMR : 8 a3 b3 c3 a b 3 b c 3 c a 3 với a, b, c >0
HD:
 Ta có:8a3 8b3 8c3 2a3 2b3 2c3 3a2b 3ab2 3b2c 3bc2 3a2c 3ac2
 6a3 6b3 6c3 3a2b 3ab2 3b2c 3bc2 3a2c 3ac2 0
 3a3 3a2b 3a3 3a2c 3b3 3b2a 3b3 3b2c 3c3 3bc2 3c3 3ac3 0
 3a2 a b 3a2 a c 3b2 b a 3b2 b c 3c2 c b 3c2 c a 0
 3 a b a2 b2 3 a c a2 c2 3 b c b2 c2 0
 3 a b 2 a b 3 a c a c 3 b c 2 b c 0
Bài 43: CMR: a b c 3 a3 b3 c3 24abc với a,b,c>0
HD:
 Ta có: a3 b3 c3 3 a b b c c a a3 b3 c3 24abc
 3 a b b c c a 24abc
 Trang 7 a b 2 ab
 Vì b c 2 bc , Nhân theo vế ta được ĐPCM
 c a 2 ca
 x2 y2 x y 
Bài 44: CMR: Với mọi x, y # 0 ta có: 2 2 4 3 
 y x y x 
HD:
 Ta 
 2
có: x4 y4 4x2 y2 3xy x2 y2 x2 y2 xy x2 y2 2x2 y2 2xy x2 y2 0
 x2 y2 x2 y2 xy 2xy xy x2 y2 0 
 x2 y2 xy x2 y2 2xy 0
 2
 x y x2 xy y2 0
 1
Bài 45: CMR : Nếu a b 1, thì a3 b3 
 4
HD:
 2
 3 2 3 3 3 2 1 1 1
 Ta có:b 1 a b 1 3a 3a a a b 3a 3a 1 3 a 
 2 4 4
Bài 46: Cho a,b,c > 0, CMR : ab bc ca a2 b2 c2
HD:
 Ta có: a2 b2 c2 ab bc ca 0 a b 2 b c 2 c a 2 0
 a2 a 1
Bài 47: CMR : 0
 a2 a 1
HD:
 2 2 1 3 2 2 1 3
 Ta có: a a 1 a a 0,a a a 1 a a 0,a
 4 4 4 4
Bài 48: CMR : 4a a b a 1 a b 1 b2 0
HD:
 Ta có: 4a a b 1 a 1 a b b2 0 4 a2 ab a a2 ab a b b2 0 . 
 a2 ab a x
 Đặt 
 b y
 Khi đó: BĐT 4x x y y2 0 4x2 4xy y2 0 2x y 2 0 , 
 2a a 1 
 Dấu bằng khi 2x y 2a2 2ab 2a b b 
 2a 1
 x y 2
Bài 49: CMR : x2 y2 2xy
 2
HD:
 Trang 8 2
 x y 2
 x2 y2 2x2 2y2 x2 y2 2xy x y 0
 Ta có: 2
 2
 x y 2
 2xy x2 y2 2xy 4xy x y 0
 2
 1 1 4
Bài 50: CMR : , Với a,b > 0
 a b a b
HD:
 a b 4 2 2
 Ta có: a b 4ab a b 0
 ab a b
Bài 51: CMR : a4 b4 ab a2 b2 
HD:
 Ta có:
 2
 a4 b4 a3b ab3 0 a3 a b b3 a b 0 a b a2 ab b2 0
 4
 a4 b4 a b 
Bài 52: CMR : 
 2 2 
HD:
 Ta có:8a4 8b4 a4 b4 4a2b2 2a2b2 4a3b 4ab3
 7a4 7b4 4a2b2 2a2b2 4a3b 4ab3 0
 a4 b4 2a2b2 6a4 6b4 4ab a2 b2 8a2b2 0
 2
 a2 b2 4ab a2 b2 4a2b2 6 a4 b4 12a2b2 0
 2 2
 a2 b2 2ab 6 a4 b4 2a2b2 0 a b 4 6 a2 b2 0
Bài 53: Cho a+b+c=0, CMR : ab bc ca 0
HD:
 Ta có: a2 b2 c2 2 ab bc ca 0
 2 ab bc ca a2 b2 c2 0
 Dấu bằng khi a=b=c=0
 2 2 2
Bài 54: Cho x,y,z R , CMR : x y y z z x 3 x2 y2 z2 
HD:
 Ta có: 2x2 2y2 2z2 2xy 2yz 2zx 3x2 3y2 3z2
 x2 y2 z2 2xy 2yz 2zx 0 x y z 2 0
 x6 y6
Bài 55: CMR : Với mọi x,y khác 0, ta luôn có : x4 y4 
 y2 x2
HD:
 Ta 
có: x2 y2 x4 y4 x8 y8 x8 y8 x6 y2 x2 y6 0 x6 x2 y2 y6 x2 y2 0
 x6 y6 x2 y2 0 x2 y2 x4 x2 y2 y4 x2 y2 0
 Trang 9 2
 x2 y2 x4 x2 y2 y4 0
Bài 56: CMR : 2a2 b2 c2 2a b c 
HD:
 Ta có: 2a2 b2 c2 2ab 2ac 0 a2 2ab b2 a2 2ac c2 0
 a b 2 a c 2 0
Bài 57: CMR : a4 a3b ab3 b4 0
HD:
 2
 Ta có: a3 a b b3 a b 0 a3 b3 a b 0 a b a2 ab b2 0
Bài 58: CMR : a4 2a3b 2a2b2 2ab3 b4 0
HD:
 2 2
 Ta có: a4 2a2.ab a2b2 b4 2ab.b2 a2b2 0 a2 ab b2 ab 0
Bài 59: CMR : a4 b4 c2 1 2a ab2 a c 1 
HD:
 Ta có: a4 b4 c2 1 2a2b2 2a2 2ac 2a 0
 a4 b4 2a2b2 a2 2ac c2 a2 2a 1 0 
 2
 a2 b2 a c 2 a 1 2 0
Bài 60: CMR : ab bc ca 2 3abc a b c 
HD:
 Ta có: a2b2 b2c2 c2a2 2ab2c 2abc2 2a2bc 3a2bc 3ab2c 3abc2 0
 a2b2 b2c2 c2a2 ab2c abc2 a2bc 0
 ab x
 2 2 2 2 2 2
 Đặt bc y => x y z xy yz zx 0 x y y z z x 0
 ca z
 1 1 1 1 1 
Bài 61: CMR : y x z x z , Với 0 x y z
 x z y x z 
HD:
 Ta 
 2
 y x z x z x z 
 có: 0 y2 xz y x z 0 y2 xz xy yz 0
 xz y xz
 y x z y 0
 Trang 10