Đề cương ôn tập Toán Lớp 8 - Chuyên đề 1: Tìm Min, Max của biểu thức

 CHUYÊN ĐỀ 1. TÌM MIN, MAX CỦA BIỂU THỨC
I.LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa
 Cho biểu thức A x; y;z . Khi đó hằng số M là giá trị lớn nhất (GTLN) của A x; y;z nếu 
thỏa mãn hai điều kiện sau:
 Với mọi x; y;z mà A x; y;z xác định mà A x; y;z M
 Tồn tại một bộ số x; y;z sao cho A x; y;z M
 Cho biểu thức A x; y;z . Khi đó hằng số N là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của A x; y;z nếu 
thỏa mãn hai điều kiện sau:
 Với mọi x; y;z mà A x; y;z xác định mà A x; y;z N
 Tồn tại một bộ số x; y;z sao cho A x; y;z N
II. LUYỆN TẬP
 Dạng 1: ĐA THỨC BẬC 2 ĐƠN GIẢN
Phương pháp giải: Áp dụng hằng đẳng thức số 1 và số 2
Bài 1: Tìm GTNN của: A(x) x2 4x 24
HD:
 A(x) x2 4x 24 (x 2)2 20 20x
 min A(x) 20 x 2
Bài 2: Tìm GTNN của: B(x) 2x2 8x 1
HD:
B(x) 2x2 8x 1 2(x2 4x 4) 8 1 2(x2 4x 4) 7 2(x 2)2 7 7
 min B(x) 7 x 2
Bài 3: Tìm GTNN của: C(x) 3x2 x 1
HD:
 1 1 13 1 13 13
C(x) 3x2 x 1 3(x 2. x ) 3(x )2 
 6 36 12 6 12 12
Bài 4: Tìm GTLN của: A(x) 5x2 4x 1
HD:
 4 1 2 4 9 2 9 9
 A(x) 5x2 4x 1 5(x2 x ) 5(x2 2. x ) 5(x )2 
 5 5 5 25 5 5 5 5
Bài 5: Tìm GTLN của: B(x) 3x2 x 1
HD:
 1 1 13 1 13 13
B(x) 3x2 x 1 3(x 2. x ) 3(x )2 
 6 36 12 6 12 12
Bài 6: Tìm GTNN của : A 9x2 6x 4 3x 1 6
HD:
Đặt: 3x 1 t t 2 9x2 6x 1 E t 2 4t 5
 1 Bài 7: Tìm GTLN của: A 2x 1 2 3x 2 2 x 11
HD:
 2
 2 2 2 17 9 9
 A 4x 4x 1 9x 12x 4 x 11 5x 17x 14 5 x 
 10 20 20
Bài 8: Tìm min của: A x 3 2 x 1 2
HD:
 2
 A x2 6x 9 x2 2x 1 2x2 8x 10 2 x 2 2 2
Bài 9: Tìm min của: B 2 x 1 2 3 x 2 2 4 x 3 2
HD:
 2
 B 2 x 2 2x 1 3 x 2 4x 4 4 x 2 6x 9 x 2 8x 22 x 4 38 38
Bài 10: Tìm Min của: P 5x2 6x 1 1
HD:
 1
 TH1: x P 5x2 6x
 6
 1
 TH2: x P 5x2 6x 2
 6
 Dạng 2: ĐA THỨC BẬC 4 ĐƠN GIẢN
Phương pháp giải:
Phân tích thành các biểu thức tương đồng để đặt ẩn phụ.
Sử dụng phương pháp nhóm hợp lý làm xuất hiện nhân tử để đặt ẩn phụ.
 2 2
Sử dụng các hằng đẳng thức a b , a b c . 
Dạng 2.1: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e 
Bài 1: Tìm GTNN của: C x4 4x3 9x2 20x 22
HD:
C x4 4x3 4x2 5 x2 4x 4 2
C x2 x2 4x 4 5 x2 4x 4 2 (x 2)2 .(x2 5) 2
Bài 2: Tìm min của: I x4 6x3 11x2 12x 20
HD:
 I x4 6x3 11x2 12x 20 x2 x2 6x 9 2x2 12x 20
 2 2 2
 I x 2 x 3 2 x 2 6x 9 2 x 2 x 3 2 x 3 2 2
 4 3 2
Bài 3: Tìm GTNN của: A(x) x 6x 10x 6x 9 
HD:
 A(x) x4 6x3 10x2 6x 9 (x4 6x3 9x2 ) (x2 6x 9) (x2 3x)2 (x 3)2 0x
 2 x2 3x 0
 min A(x) 0 x 3
 x 3 0
Bài 4: Tìm GTNN của: B(x) x4 10x3 26x2 10x 30
HD:
 2
 4 3 2 2 2 2 x 5x 0
B(x) x 10x 26x 10x 30 (x 5x) (x 5) 5 5 x 5
 x 5 0
Bài 5: Tìm GTNN của: C(x) x4 2x3 3x2 4x 2017
HD:
C(x) x2 (x2 2) 2x(x2 2) (x2 2) 2015 (x2 2)(x 1)2 2015 2015 x 1
Bài 6: Tìm GTNN của: D(x) x4 x2 2x 7
HD:
D(x) x4 2x2 1 x2 2x 1 5
D(x) (x2 1)2 (x 1)2 5 (x 1)2.[(x 1)2 1] 5 5 x 1
Bài 7: Tìm GTNN của biểu thức: A a4 2a3 4a 5
HD:
 A a2 a2 2 2a a2 2 a2 2 3 = a2 2 a2 2a 1 3 3 dấu bằng khi a=1
Dạng 2.2: (x+a)4 +( x+b)4 +..
Bài 1: Tìm GTNN của: D x 8 4 x 6 4
HD:
Đặt: x 7 y D y 1 4 y 1 4 2y4 12y2 2 0 0 2 2
Bài 2: Tìm min của: A x 2 4 x 2 4
HD:
 2 2
 A x2 4x 4 x2 4x 4 
 2[(x2 4)2 16x2 ] 2(x4 24x2 ) 32 32
Bài 3: Tìm max của: F 2 3 x 1 4 3 x 5 4
HD:
 4 4
 Đặt x 2 t F 2 3 t 3 3 t 3 
 2 2
 F 3 t2 6t 9 3 t2 6t 9 2
 F 6[(t2 9)2 36t2 ] 2
 F 6t4 324t2 484 6 t4 54t2 484
 Suy ra: F 6 t4 54t2 484 484
Bài 4: Tìm min của: G x 3 4 x 7 4
HD:
 3 4 4 2 2
 Đặt x 2 t G t 5 t 5 t 2 10t 25 t 2 10t 25 
 2
 G 2t 4 300t 2 1250 2 t 4 2.75t 2 5625 104 2 t 2 75 104 104
Dạng 2.3: x(x+a)( x+b)(x +c) + ..
Bài 1: Tìm GTNN của: A x x 3 x 4 x 7 
HD:
 A x x 7 x 3 x 4 x2 7x x2 7x 12 , 
Đặt x2 7x 6 t 
Khi đó: A t 6 t 6 t2 36 36 
 2 2 x 1
Dấu “ = ” khi t 0 x 7x 6 0 
 x 6
 Vậy Min A= - 36 khi x=1 hoặc x=6 
Bài 2: Tìm GTNN của: B x 1 x 3 x2 4x 5 
HD:
 B x2 4x 3 x2 4x 5 , Đặt x2 4x 4 t . Khi đó:
 B t 1 t 1 t2 1 1 , Dấu “ = “ khi t2 0 x2 4x 4 0 x 2
Bài 3: Tìm min của: A x x 2 x 4 x 6 8
HD:
 A x x 6 x 2 x 4 8 x2 6x x2 6x 8 8 , Đặt x2 6x 4 t . Khi đó: 
 A t 4 t 4 8 t 2 16 8 t 2 8 8 , Dấu “ = “ Khi đó:
 x 3 5
 t 2 0 x2 6x 4 0 
 x 3 5
Bài 4: Tìm GTNN của: B x 1 x 2 x 3 x 4 
HD:
B x 1 x 4 x 2 x 3 x2 5x 4 x2 5x 6 , Đặt x2 5x 5 t , Khi đó:
 5 5
 B t 1 t 1 t2 1 1 , Dấu “ = “ khi t 2 0 x2 5x 5 0 x 
 2
Bài 5: Tìm GTNN của: A x2 x 6 x2 x 2 
HD:
 Đặt x2 x 2 t . Khi đó: A t 4 t 4 t2 16 16
 2 x 1
 Dấu “ = “ xảy ra khi: t 0 x x 2 0 
 x 2
Bài 6: Tìm GTNN của : C x 1 x 2 x 3 x 6 
 4 HD:
 C x 1 x 6 x 2 x 3 x2 5x 6 x2 5x 6 , Đặt x2 5x t . Khi đó:
 2 2 x 0
 C t 6 t 6 t 36 36 , Dấu “ = “ khi t 0 x 5x 0 
 x 5
Bài 7: Tìm GTNN của: D 2x 1 x 2 x 3 2x 1 
HD:
 D 2x 1 x 3 x 2 2x 1 2x2 5x 3 2x2 5x 2 , Đặt 2x2 5x t , Khi đó:
 2
 2 1 25 25
 D t 3 t 2 t t 6 t 
 2 4 4
 1 1 5 29
 Dấu “ = “ khi: t 2x2 5x x 
 2 2 4
Bài 8: Tìm min của: C x 1 x 2 x 3 x 4 2011
HD:
 C x 1 x 4 x 2 x 3 2011 x2 5x 4 x2 5x 6 2011 , Đặt x2 5x 5 t
 5 5
 Khi đó: C t 1 t 1 2011 x2 5x 5 0 x 
 2
Bài 9: Tìm max của: E 5 1 x x 2 x 3 x 6 
HD:
 E 5 x 1 x 6 x 2 x 3 x2 5x 6 x2 5x 6 5 , đặt x2 5x t . 
Khi đó: E t 6 t 6 5 t 2 36 5 t 2 41 41
 2 2 x 0
 Dấu “ = “ Khi t 0 x 5x 0 
 x 5
Bài 10: Tìm GTNN của: M x 1 x 2 x 3 x 6 
HD:
 M x 1 x 6 x 2 x 3 x2 5x 6 x2 5x 6 , Đặt x2 5x t . 
 2 2 x 0
Khi đó: M t 6 t 6 t 36 36 , Dấu “ = ” khi t 0 x 5x 0 
 x 5
Bài 11: Tìm min của: D x 1 x2 4 x 5 2014
HD:
 D x 1 x 2 x 2 x 5 2014 x2 3x 10 x2 3x 2 2014 , Đặt 
x2 3x 4 t
 Khi đó: D t 6 t 6 2014 t2 1978 
 5 2 2 x 1
Dấu “= “ xảy ra khi: t 0 x 3x 4 0 
 x 4
Bài 12: Tìm GTNN của: G(x) (x 1)(x 2)(x 3)(x 6) 2006
HD:
 2 2 2 2 x 0
G(x) (x 5x 6)(x 5x 6) 2006 (x 5x) 2042 2042 
 x 5
Bài 13: Tìm số nguyên m lớn nhất sao cho BĐT luôn đúng với mọi x: x 1 x 2 2 x 3 m
HD:
 2
 VT x 1 x 3 x 2 x2 4x 3 x2 4x 4 , Đặt x2 4x t , Khi đó:
 2
 2 2 7 49 49 7 1 1
 VT t 3 t 4 t 7t 12 t 2.t. 12 t 1
 2 4 4 2 4 4
Bài 14: Tìm số nguyên m lớn nhất sao cho BĐT luôn đúng với mọi x: 
(x 2) x 3 x 4 x 5 m
 Dạng 3: NHÓM ĐƯA VỀ TỔNG BÌNH PHƯƠNG
Phương pháp giải:
 2 2
Sử dụng biến dổi đưa về hằng đẳng thức a b , a b c 
Chú ý khi biến đổi thành nhiều ngoặc vì khi đó điều kiện dấu “ = ” xảy ra bị ràng buộc nhiều.
 2
Dạng 3.1: đưa về HĐT a b 
Bài 1: Tìm min của: I x2 4xy 5y2 6y 11
HD:
 I x2 4xy 4y2 y2 6y 11
Bài 2: Tìm min của: M x2 2xy 2y2 2y 1
HD:
 M x2 2xy y2 y2 2y 1 
Bài 3: Tìm min của: R x2 2y2 2xy 2y
HD:
 2 2
 R x2 2y2 2xy 2y x2 2xy y2 y2 2y 1 1 x y y 1 1 1
Bài 4: Tìm min của: A 4x2 5y2 4xy 16y 32
HD:
 A 4x2 5y2 4xy 16y 32
 A 4x2 4xy y2 4y2 16y 32 
 A (2x y)2 4(y 2)2 16 16
Bài 5: Tìm min của: B x2 5y2 5z2 4xy 4yz 4z 12
 6 HD:
 B x2 4xy 4y2 y2 4yz 4z2 z2 4z 4 8
 2 2 2
 x 2y y 2z z 2 8 8
Bài 6: Tìm min của: C 5x2 12xy 9y2 4x 4
HD:
 2 2
 C 4x2 2.2x.3y 9y2 x2 4x 4 2x 3y x 2 0
Bài 7: Tìm min của: E x2 5y2 4xy 2y 3
HD:
 2 2
 E x2 4xy 4y2 y2 2y 1 4 x 2y y 1 4 4
Bài 8: CMR không có giá trị x, y, z thỏa mãn: x2 4y2 z2 2x 8y 6z 15 0
HD :
 x2 2x 1 4y2 8y 4 z2 6z 9 1 1
Bài 9: Tìm min của: A 2x2 y2 2xy 2x 3
HD :
 2 2
 A x2 2xy y2 x2 2x 1 2 x y x 1 2 2
Bài 10: Tìm max của: B 2 5x2 y2 4xy 2x
HD:
 2 2
 B 5x2 y2 4xy 2x 2 y2 2.y.2x 4x2 x2 2x 1 3 y 2x x 1 3 3
 2 2
 B 2x y x 1 3 3
Bài 11: Tìm GTNN của: A x2 2xy 2y2 4y 5
HD:
 2 2
 Ta có: A x2 2xy y2 y2 4y 4 1 x y y 2 1
 2 2 2 2
 Do: x y 0, y 2 0 , Nên A x y y 2 1 1
Bài 12: Tìm min của: B 2x2 y2 2xy 8x 2028
HD:
 B x2 2xy y2 x2 8x 16 2012
Bài 13: Tìm GTNN của biểu thức : A x2 2y2 2xy 4y 5
HD:
Ta có A(x) x2 2y2 2xy 4y 5 x2 2xy y2 y2 4y 4 1 x y 2 y 2 2 1
 x y 0
 A 1x, y R " " x y 2
 y 2 0
Vậy min A 1 x y 2
Bài 14: Tìm GTNN của biểu thức : B 2x2 2y2 5y2 5
HD:
 7 B 2x2 2y2 5y2 5 x2 4xy 4y2 x2 2xy y2 y2 5 x 2y 2 x y 2 5 5
 x 2y 0
 x y 0
 x y 0
Bài 15: Tìm GTNN của biểu thức : A(x) 2x2 y2 2xy 2x 3
HD:
 A(x) 2x2 y2 2xy 2x 3
 (x2 2xy y2 ) (x2 2x 1) 2
 (x y)2 (x 1)2 2 2
 x y 1
Bài 16: Tìm GTNN của biểu thức : D(x) 2x2 3y2 4z2 2(x y z) 2
HD:
D(x) 2x2 3y2 4z2 2(x y z) 2 2(x2 x) (3y2 2y) (4z2 2z) 2
 1 2 1 1 1 1 1
 2(x2 x ) 3(y2 y ) (2z)2 2z 2 
 4 3 9 4 2 3 4
 1 1 1 11 11 1 1 1
 2(x )2 3(y )2 (2z )2 (x, y, z) ( ; ; )
 2 3 2 2 2 2 3 4
Bài 17: Tìm GTNN của biểu thức : A 4x2 5y 2 8xy 10y 12
HD:
 A 4x2 5y 2 8xy 10y 12
 4x2 8xy 4y2 y2 10y 25 37
 4(x y)2 (y 5)2 37 37
 x 5
 y 5
Bài 18: Tìm GTLN của biểu thức : A x y z (x2 2y2 4z2 )
HD:
 1 1 1 7 7 7 1 1 1
 A (x )2 2(y )2 (2z )2 A x ; y ; z 
 2 4 4 16 16 16 2 4 8
Bài 19: Tìm min của: A x2 4y2 4x 32y 2018
HD:
 2 2
 A x 2 4x 4 4y 2 32y 64 1950 x 2 4 y 4 1950 1950
Bài 20: Tìm min của: A 3x2 y2 4x y
HD:
 2 2
 2 2 2 2 2 1 2 1 19 19
 A 3x 4x y y 3 x 2.x. y 2.y. 3 x y 
 3 2 3 2 12 12
Bài 21: Tìm min của: B 5x2 y2 2xy 12x 18
HD:
 2 2
 B 4x 2 12x x 2 2xy y 2 18 2x 3 x y 27 27
 8 Bài 22: Tìm max của: B 3x2 16y2 8xy 5x 2
HD:
 2
 2 5 41
 2 2 2 
 B x 8xy 16y 2x 5x 2 x 4y 2 x 
 4 8
 2
 2 5 41 41
 B x 4y 2 x 
 4 8 8
Bài 23: Tìm max của : N x2 4y2 6x 8y 3
HD:
 N x2 4y2 6x 8y 3 x2 6x 9 4y2 8y 4 16
 2 2 2 2
 N x 3 4 y 1 16 N x 3 4 y 1 16 16
Bài 24: Tìm max của: P 3x2 5y2 2x 7y 23
HD:
 P 3x2 5y2 2x 7y 23 3x2 2x 5y2 7y 23
 2 2 2 2
 1 7 1213 1 7 1213 1213
 P 3 x 5 y => P 3 x 5 y 
 3 10 60 3 10 60 60
Bài 25: Tìm max của: R 7x2 4y2 8xy 18x 9
HD:
 2 2
 R 7x 2 4y 2 8xy 18x 9 4y 2 8xy 4x 2 3x 2 18x 9 2 x y 3 x 3 36
 2 2
 R 2 x y 3 x 3 36 36
 2 2
Dạng 3.2: đưa về HĐT a b c ; a b  c 
Bài 1: Tìm GTNN của: A x2 2xy 2y2 2x 10y 17
HD:
 2 2
 A x2 2x y 1 2y2 10y 17 x2 2x y 1 y 1 2y2 10y 17 y 1 
 2 2 2
 A x y 1 y2 8y 16 x y 1 y 4 0
Bài 2: Tìm min của: B x2 xy y2 2x 2y
HD:
 2 2
 2 2 2 y 2 y 4y 4 2 y
 B x x y 2 y 2y x 2.x. y 2y y 1
 2 4 4
 2 2
 4B 2x y 2 3y2 12y 4 2x y 2 3(y2 4y 4) 16
 2
 4B 2x y 2 3(y 2)2 16 16
 B 4
Bài 3: Tìm min của: C x2 xy y2 3x 3y
HD:
 9 2 2
 2 2 2 y 3 y 6y 9 2 y 6y 9
 C x x y 3 y 3y x 2.x. y 3y 
 2 4 4
 2 2 2 
 4C 2x y 3 4y 12y y 6y 9 
 2 2 
 4C 2x y 3 3y 6y 3 12
 2
 4C 2x y 3 3(y 1)2 12 12
 C 3
 2 2
Bài 4: Tìm min của: D x 2xy 6y 12x 2y 45 
HD:
 2
 D x2 2x y 6 6y2 2y 45 x2 2x. y 6 y 6 6y2 2y 45 y2 12y 36 
 2
 x y 6 5y2 10y 9
Bài 5: Tìm min của: E x2 xy 3y2 2x 10y 20
HD:
 y 2 y2 4y 4 y2 4y 4
 E x2 x y 2 3y2 10y 20 x2 2x. 3y2 10y 20 
 2 4 4
 2 2
 4E x y 2 12y2 40y 80 y2 4y 4 x y 2 11y2 36y 76 
Bài 6: Tìm max của: F x2 2xy 4y2 2x 10y 3
HD:
 F x2 2xy 4y2 2x 10y 3 x2 2x y 1 4y2 10y 3
 2 2
 F x2 2x y 1 y 1 4y2 10y 3 y 1 (x y 1)2 3(y 2)2 10
Bài 7: Tìm min của: G x ay 2 6 x ay x2 16y2 8ay 2x 8y 10
HD:
 2
 G x ay 6 x ay 9 x2 2x 1 16y2 8ay 8y
 2 2 2 2
 G x ay 3 x 1 16y2 8y a 1 a 1 a 1 
 2 2 2 2 2
 G x ay 3 x 1 4y a 1 a 1 a 1 
Bài 8: Tìm max của: H x2 xy y2 2x 4y 11
HD:
 H x2 xy y2 2x 4y 11 x2 x y 2 y2 4y 11
 2
 y 2 y2 4y 4 y 2 
 H x2 2x. y2 4y 11 
 2 4 4
 2
 4H x y 2 4y2 16y 44 y2 4y 4 
Bài 9: Tìm min của: K x2 y2 xy 3x 3y 20
HD:
 10