Đề cương ôn tập Toán 8 - Chuyên đề 3: Bất đẳng thức AM-GM

 BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM
I. LÝ THUYẾT
1. Tên gọi: 
 Bất đẳng thức AM- GM (Cauchy) hay còn gọi là BĐT Trung bình cộng và Trung bình 
nhân. Ngoài ra còn 1 số sách và 1 số giáo viên thường gọi là Cô si.
2. Định nghĩa:
 Trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của 
chúng và trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số đó bằng nhau.
3. Tổng quát:
 Ở cấp THCS, Tài liệu xin phép chỉ đưa ra hai công thức tổng quát sau:
 a b
 Với a,b 0 thì ab , Dấu “ = “ khi và chỉ khi a b
 2
 a b c
 Với a,b,c 0 thì 33 abc , Dấu “ = “ khi và chỉ khi a b c
 3
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
 Dạng 1: ÁP DỤNG TRỰC TIẾP CÔNG THỨC
Bài 1: Cho x, y, z 0 , CMR : x y y z z x 8xyz
HD:
 Áp dụng Cô si cho hai số x, y 0 , ta có: x y 2 xy ,
 y z 2 yz
 Làm tương tự ta sẽ có : , Nhân theo vế ta được: 
 z x 2 zx
 x y y z z x 8xyz
 x y
 Dấu “ = “ khi và chỉ khi: y z x y z
 z x
Bài 2: Cho a,b,c 0 và abc 1 , CMR: a 1 b 1 c 1 8
HD :
 Áp dụng Cô si cho hai số không âm a,1 , ta có : a 1 2 a
 b 1 2 b
 Tương tự ta sẽ có : a 1 b 1 c 1 8 abc 8
 c 1 2 c
 Dấu “ = “ khi và chỉ khi: a b c 1
Bài 3: Cho a,b không âm. CMR: a b ab 1 4ab
HD :
 Áp dụng Cô si cho hai số không âm a,b , ta có : a b 2 ab
 Tương tự : ab 1 2 ab , nhân theo vế ta được : a b ab 1 4ab
 Trang 1 a b
 Dấu “ = “ khi và chỉ khi a b 1
 ab 1
 x y z
Bài 4: Cho 3 số x,y,z >0, CMR: 3
 y z x
HD:
 x2 yz
 x y z x y z x y z 2
 Ta có: 33 . . 3, Dấu bằng khi y xz x y z
 y z x y z x y z x
 2
 z xy
Bài 5: CMR: a4 b4 c4 d 4 4abcd , Với mọi a,b,c,d
HD :
 4
 Vì a4,b4,c4,d 4 là 4 số dương => a4 b4 c4 d 4 4 4 abcd 4abcd
 Dấu “ = “ khi và chỉ khi a b c d
Bài 6: Cho a,b,c,d 0;abcd 1. CMR: a2 b2 c2 d 2 ab cd 6
HD :
 a2 b2 2ab
 Ta có : a2 b2 c2 d 2 ab cd 3 ab cd 3.2 abcd 6
 2 2 
 c d 2cd
 Dấu “ = “ khi và chỉ khi a=b=c=1. 
 a2 b2 c2 c b a
Bài 7: CMR: 
 b2 c2 a2 b a c
HD:
 a2 b2 a2 b2 a
 Áp dụng Cô si cho hai số không âm ; , ta có : 2. , 
 b2 c2 b2 c2 c
 b2 c2 b c2 a2 c
 Tương tự : 2. , và 2.
 c2 a2 a a2 b2 b
 a2 b2 c2 a b c 
 Cộng theo vế ta được : 2 2 2 2 2 VT VP
 b c a c a b 
 Dấu “ = “ xảy ra khi: a b c
 bc ca ab
Bài 8: Cho a,b,c > 0. CMR: a b c
 a b c
HD :
 bc ca b a 
 Ta có: c 2c , 
 a b a b 
 ca ab c b 
 Tương tự: a 2a
 b c b c 
 ab bc a c 
 b 2b
 c a c a 
 Cộng theo vế ta được: 2VT 2VP
 a b c 1 1 1 1 
Bài 9: Cho a,b,c 0 . CMR : 2 2 2 2 2 2 
 a b b c c a 2 a b c 
HD:
 Áp dụng Cô si cho hai số a2 ,b2 0 , ta có: a2 b2 2ab
 Trang 2 Làm tương tự ta sẽ có
 2 2
 b c 2bc a b c 1 1 1 1 1 1 1 
 VT 
 2 2 
 c a 2ca 2ab 2bc 2ca 2b 2c 2a 2 a b c 
 a b
 Dấu “ = “ khi và chỉ khi: b c a b c
 c a
 1 1 1 
Bài 10: CMR: Với mọi a,b,c 0 , thì P a b c 9
 a b c 
HD:
 Áp dụng Cô si cho ba số dương, ta có: 
 a b c 33 abc 
 1 1 1 1
 33
 a b c abc
 1 1 1 
 Nhân theo vế ta được: a b c 9
 a b c 
 a b c
 Dấu “ = “ khi và chỉ khi: 1 1 1 a b c
 a b c
 1 1 1 9
Chú ý: Với A, B, C dương ta có: 
 A B C A B C
Bài 11: Cho a,b,c 0 và a b c 3
 a b c 3 1 1 1
 CMR : 
 1 a2 1 b2 1 c2 2 1 a 1 b 1 c
HD:
 a 1
 2 
 2 1 a 2
 1 a 2a 
 2 b 1
 1 b 2b 
 1 b2 2
 * Ta có: 2 
 1 c 2c c 1
 2
 1 c 2
 a b c 1 1 1 3
 1 a2 1 b2 1 c2 2 2 2 2
 1 a x
 1
 * Đặt 1 b y x y z a b c 3 6 6 
 x y z
 1 c z
 1 1 1 3
 Cần chứng minh: B 
 x y z 2
 1 1 1 1 1 1 9 9 3
 Ta có: x y z 9 
 x y z x y z x y z 6 2
 Trang 3 1 1 1 3
 Suy ra B 
 x y z 2 
 a b c 3
Bài 12: Cho a,b,c là ba số dương, CMR: 
 b c c a a b 2
HD:
 1 1 1 
 Ta có: Áp dụng bất đẳng thức : x y z 9
 x y z 
 x a b
 1 1 1 
 Đặt y b c 2 a b c 9
 a b b c c a 
 z c a
 a b c a b c a b c 9 a b c 9 3
 3 
 a b b c c a 2 b c c a a b 2 2
 a b 1 3
Bài 13: Cho a,b > 0, CMR: 
 b 1 a 1 a b 2
HD :
 a b 1 1 1 1 
 VT 1 1 1 3 a b 1 3
 b 1 a 1 a b b 1 a 1 a b 
 1 1 1 1 9 3
 a 1 b 1 a b 3 3 
 2 a 1 b 1 a b 2 2
 a b c
Bài 14: Với a, b, c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác CMR: 3
 b c a c a b a b c
HD :
 abc
 Ta có : VT 33
 b c a c a b a b c 
 Lại có : b c a c a b 2 b c a c a b 
 2c 2 b c a c a b , Tương tự ta có :
 a c a b a b c và b b c a a b c 
 => abc b c a c a b a b c =>
 abc
 1 VT 33 1 3
 b c a c a b a b c 
 1 1 1 a b c
Bài 15: Cho a,b,c > 0, CMR: 
 a2 bc b2 ac c2 ab 2abc
HD :
 Co si cho hai số : a2 ,bc , Ta được: 
 2 1 1 2 1 1 1 
 a bc 2a bc 2 2 
 a bc 2a bc a bc 2 ab bc 
 Tương tự ta có :
 2 1 1 1 2 1 1 1 
 2 và 2 
 b ac 2 ab bc c ab 2 ca cb 
 1 1 1 a b c a b c
 Cộng theo vế ta được : 2VT VT 
 ab bc ca abc 2abc
 Trang 4 Dạng 2: TÌM ĐIỂM RƠI CỦA BĐT AM- GM
1. Nhận dạng xử lý: 
 - Với bài toán có điều kiện của ẩn, thì điểm rơi thường là điểm biên của ẩn
 - Với các ẩn có vai trò như nhau trong biểu thức thì điểm rơi là các ẩn đó có giá trị bằng 
nhau.
2. Phương pháp :
 - Thay giá trị điểm rơi vào 1 biểu thức muốn AM – GM, để tách biểu thức đó sao cho 
Cô si xảy ra 
 dấu bằng.
 - Ta có thể hạ bậc hoặc nâng bậc của biểu thức để Cô si để biểu thức sau khi Cô si được 
như ý.
 Dạng 2.1: Điểm rơi cho Cô - si hai số
 1 5
Bài 1: Cho a 2,CMR : a 
 a 2
HD :
 1 1 1
 Dự đoán dấu bằng khi : a = 2 => k.a k.2 k 
 a 2 4
 1 1 a 3a a 3a 3a 3 5
 Khi đó ta có : a 2 1 1 
 a a 4 4 4a 4 4 2 2
 1 a
 Dấu bằng khi a 4 a 2
 a 2
 1
Bài 2: Cho a 3 , Tìm GTNN của: S a 
 a
HD :
 1 1 1
 Dự đoán dấu bằng khi : a 3 k.3 k 
 a 3 9
 1 a 8a 2 8.3 2 8 10
 Khi đó ta có : S 
 a 9 9 9 9 3 3 3
 10
 Vậy Min S 
 3
 1
Bài 3: Cho x 1, Tìm GTNN của: A 3x 
 2x
HD :
 1 1 1
 Dự đoán dấu bằng khi x 1 k.3 k 
 2x 2 6
 1 3x 5x 2 5.1 5 7
 Khi đó : A 1 
 2x 6 2 4 2 2 2
 1 1
Bài 4: Cho a,b > 0, a b 1,CMR : a b 5
 a b
HD :
 a b 1 1 1 1
 Dự đoán dấu bằng khi a b 2 k. k 4
 a b 2 a 2
 1 1 1 1 
 Khi đó : VT a b 4a 4b 3 a b 
 a b a b 
 Trang 5 2 4 2 4 3 a b , Mà a b 1 3 a b 3
 VT 4 4 3 5
Bài 5: Cho hai số thực x, y thỏa mãn : x 3; y 3 . 
 1 1 
 Tìm GTNN của biểu thức : A 21 x 3 y 
 y x 
HD :
 1 1 
 A 21 x 3 y 
 y x 
 21 7 3 x 2 62
 A y y x
 y 3 x 3 3 3
 2 62
 A 2.7 2.1 .3 .3 80
 3 3
Dấu = có khi x = y =3.
 x2 y2
Bài 6: Cho x 2y 0, Tìm GTNN của: P 
 xy
HD :
 x y x 1
 Ta có : P , đặt a a 2 P a 
 y x y a
 1 1 1 1 a 3a
 Dự đoán dấu bằng khi : a 2 k.2 k P 
 a 2 4 a 4 4
 2 3.2 3 5
 P 1 
 4 4 2 2
 1 1 1
Bài 7: Cho a 10, b 100, c 1000, Tìm GTNN của: A a b c 
 a b c
HD :
 1 1 1
 Dự đoán dấu bằng khi : a 10 k.10 k , Tương tự với b và c, 
 a 10 100
 Khi đó ta có :
 1 a 99a 2 99.10 101
 B , Tương tự với b và c
 a 100 100 100 100 10
Bài 8: Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn: a b c 1, 
 1 1 1
 Tìm GTNN của: P a b c 
 a b c
HD :
 1 1 1 1 
 Dấu bằng khi a b c , Khi đó P 9a 9b 9c 8 a b c 
 3 a b c 
 P 2 9 2 9 2 9 8 a b c Mà a b c 1 8 a b c 8
 Vậy P 6 6 6 8 10
 3
Bài 9: Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn: a b c , 
 2
 1 1 1
 Tìm GTNN của: P a b c 
 a b c
HD :
 1 1 1 1 
 Dự đoán dấu bằng khi : a b c P 4a 4b 4c 3 a b c 
 2 a b c 
 Trang 6 3 15
 P 4 4 4 3. 
 2 2
Bài 10: Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn: a b c 1, 
 1 1 1 
 Tìm GTNN của: P a b c 2 
 a b c 
HD :
 1
 Dự đoán dấu bằng khi a b c 
 3
 2 2 2 
 Khi đó: P 18a 18b 18c 17 a b c P 19
 a b c 
 1
Bài 11: Cho a,b là các số thực dương thỏa mãn: a b 1, Tìm GTNN của: S ab 
 ab
HD :
 1 1
 Dự đoán dấu bằng khi : a b 4 16ab
 2 ab
 1 
 Khi đó ta có : S 16ab 15ab 2 16 15ab
 ab 
 1 15
 mà a b 2 ab 1 2 ab ab 15ab 
 4 4
 15 15 17
 Vậy S 2.4 8 
 4 4 4
 33
Bài 12: Cho x,y dương thỏa mãn: x y 4 , Tìm GTNN của: P x2 y2 
 xy
HD :
 33 k
 Dự đoán dấu = khi: x y 2 khi đó: P 2xy , nên 2xy 8 k 32 khi đó:
 xy 4
 32 1 1 1 4 1 1
 P 2xy 2 64 , Mà: P 2.8 
 xy xy xy xy x y 2 4 4
 1 1
Bài 13: Cho a,b 0,a b 1 , Tìm GTNN của P a2 b2 
 a2 b2
HD:
 1
 Dấu = khi a b 
 2
 1 1 2 1 15 1 15
 P a2 b2 ab ab 
 Ta có: 2 2 2 2 2.
 a b ab 8ab 8ab 4 8ab
 1 1 15 15
 Mà 1 a b 2 ab ab 4 , Thay vào P ta được:
 4 ab 8ab 2
 15 17
 P 1 
 2 2
 a b ab
Bài 14: Cho a,b 0 . Tìm GTNN của: P 
 ab a b
HD :
 a b ab
 Dự đoán dấu bằng khi : m ab a b m 4
 a b
 Trang 7 a b ab 3 a b 1 3.2 ab 3.2 5
 Khi đó ta có : P . 2 1 
 4 ab a b 4 ab 4 4 ab 4 2
 1
Bài 15: Cho x 0 , Tìm GTNN của A 4x2 3x 2019
 4x
HD :
 1
 Bấm máy, Cho x chạy từ 0 đến 5, Tìm ra điểm rơi x 
 2
 1 2 1
 Biến đổi A 4x2 4x 1 x 2018 2x 1 2 2018 2019
 4x 4
 5 4 1
Bài 16: Cho a,b 0,a b , Tìm GTNN của A 
 4 a 4b
HD :
 1
 Bấm máy tính, Tìm điểm rơi là : a 1;b 
 4
 4 1 5
 Khi đó : A 4a 4b 4 a b 2 16 2 1 4. 5
 a 4b 4
 6 8
Bài 17: Cho a b 0,a b 6 , Tìm GTNN của A 3a 2b 
 a b
HD :
 Bấm máy, tìm điểm rơi là : a 2;b 4
 Khi đó ta có : 
 6 8 6 3a 8 b 3 3
 A 3a 2b a b 2 9 2 4 .6 19
 a b a 2 b 2 2 2
Bài 18: Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn: x y 6 , Tìm GTNN của: 
 10 8
P 5x 3y 
 x y
HD :
 Dấu bằng khi : x y , Bấm máy , Tìm điểm rơi là x 2, y 4
 10 1 8 1
 Khi đó ta có : x 2 5 k.5.2 k ,, 2 3.4.h h 
 x 2 4 6
 10 5x 8 3y 5x 5y 5
 => P 2.5 2.2 .6 29
 x 2 y 6 2 2 2
 2 3
Bài 19: Cho x, y 0 và x 2y 2 , Tìm GTNN của A 2x2 16y2 
 x y
HD :
 1
 Dự đoán điểm rơi : x 2y 2 x 2 2y Thay vào A, bấm máy cho ta x 1; y 
 2
 2 2 2 3 2 3 2 3 
 Khi đó : A 2 x 1 4 4y 1 6 4x 16y 4x 16y 
 x y x y x y 
Bài 20: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn : a 2b 3c 20 , 
 3 9 4
 Tìm GTNN của: P a b c 
 a 2b c
HD :
 Bấm máy, tìm điểm rơi là : a 2;b 3;c 4
 Trang 8 3 3a 9 b 4 c a b 3c
 Khi đó : P 
 a 4 2b 2 c 4 4 2 4
 1 1
 P 3 3 2 a 2b 3c 8 .20
 4 4
 a2 b2
Bài 21: Cho a,b 0 thỏa mãn : a 2b , Tìm GTNN của biểu thức A 
 ab
HD :
 a b a 1
 Ta chia xuống, được : A , Đặt t, t 2 , Khi đó A t 
 b a b t
 t 1 3t 2 3.2 5
 Dấu bằng xảy ra khi t 2 , Nên A 
 4 t 4 4 4 2
 x2 2y2
Bài 22: Cho x, y 0 thỏa mãn: xy 4 2y , Tìm GTNN của A 
 xy
HD:
 x 1
 Từ 2y xy 4 4 xy y 2 x 
 y 4
 x 2y x 1 
 Từ A chia xuống ta được: A , Đặt t, t 
 y x y 4 
 2 1
 Khi đó A t , Dấu = khi t 
 t 4
 2a2 b2 2ab
Bài 23: Cho a,b 0 thỏa mãn: a 2b . Tìm GTNN của P 
 ab
HD:
 2.a b a 1
 Ta chia xuống, được: P 2 , Đặt t, t 2 , Khi đó P 2t 2
 b a b t
 1 t 7t 2 7.2 5
 Dấu bằng xảy ra khi t 2 P 2 2 
 t 4 4 4 4 2
 1 1 2
Bài 24: CMR với mọi a,b > 0 thỏa mãn: ab=1, ta có BĐT: 3
 a b a b
HD :
 a b 2 2 a b a b 2 2 ab
 Ta có : a b 2 1 2 3
 ab a b a b 2 2 a b 2
 a2 b2 c2
Bài 25: CMR: với a,b,c > 0 thì : a b c
 b c a
HD:
 a2 b2 c2 
 Ta có: b c a a b c 2a 2b 2c a b c a b c VP
 b c a 
 a b c 1 1 1
Bài 26: Cho a,b,c>0, CMR: 
 b2 c2 a2 a b c
HD :
 Trang 9 a 1 2
 b2 a b
 b 1 2 1 1 1 1 1 1 
 Ta có : 2 VT 2 => ĐPCM
 c b c a b c a b c 
 c 1 2
 2
 a c a
 a2 b2 c2 a b c
Bài 27: Cho a,b,c > 0, CMR: 
 b c c a a b 2
HD :
 a2 b c b2 c a c2 a b
 Ta có : a , Tương tự ta có : b và c
 b c 4 c a 4 a b 4
 Cộng theo vế ta được :
 a b c a b c
 VT a b c VT 
 2 2
 a2 b2 c2 a b c
Bài 28: Cho a,b,c 0 , Chứng minh rằng: 
 b 2c c 2a a 2b 3
HD:
 a2 a2 a 1
 Dự đoán dấu = khi a b c , Khi đó: k. b 2c k.3a k 
 b 2c 3a 3 9
 a2 b 2c a2 2a
 Ta biến đổi: 2. , làm tương tự và cộng theo vế ta được:
 b 2c 9 9 3
 3 a b c 2 a b c 2 a b c a b c a b c
 VT VT 
 9 3 3 3 3
 x2 y2 z2
Bài 29: Cho x,y,z > 0, x+y+z = 2, tìm GTNN của: P 
 y z x z x y
HD :
 2 x2 1 y z
 Dự đoán dấu bằng khi x y z , Khi đó : k 4
 3 y z 3 k
 x2 y z x y z x y z
 Nên : x , Tương tự ta có : P x y z P 1
 y z 4 2 2
 x2 y2
Bài 30: Cho x,y > 1, CMR : 8
 y 1 x 1
HD :
 x2 x2
 Dự đoán dấu bằng khi x y , Thay vào ta được : 8 x y 2
 x 1 x 1
 x2 y2
 Khi đó : 4 y 1 4x và 4 x 1 4y
 y 1 x 1
 VT 4 x y 4 y 1 4 x 1 8
 a3 b3 c3
Bài 31: Cho a,b,c > 0, CMR : ab bc ca
 b c a
HD:
 3 3 3
 a 2 b 2 c 2 2 2 2
 Ta có: b c a a b c 
 b c a 
 Trang 10