Đề cương ôn tập môn Hình học Lớp 8 - Học kì II

 ĐỀ ÔN HỎA TỐC ÔN TẬP CUỐI NĂM HÌNH HỌC 8
ĐỀ 1
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN.
1) Định lí Ta-lét. Định lí đảo và hệ quả.
2) Tính chất đường phân giác của tam giác.
3) Các trường hợp đồng dạng của tam giác.
4) Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông.
II. BÀI TẬP.
Dạng 1: Tính toán
Bài 1:
 Tìm x trong hình vẽ sau, biết Lời giải
 SH // BC . Vì SH // KL. Theo định lí Ta-lét , ta 
 R có :
 x 13
 13 x 8
 x 4 6,5
 S H
 6,5
 4
 K L
Bài 2:
 Tìm x trong hình vẽ sau . Lời giải
 A AD là đường phân giác nên ta có:
 DB AB DB.AC 8.15
 = x DC= = =10
 DC AC AB 12
 15
 12 y BC = DB+ DC = 8 +10 = 18
 B 8 D x C
 y
Bài 3: Cho ABC có AB = 9cm, điểm D thuộc cạnh AB sao cho AD = 6cm. Kẻ DE song song 
với BC E AC , kẻ EF song song với CD F AB . Tính độ dài AF.
 Lời giải A
 Theo định lí Ta-lét .
 AF AE
 Vì EF // CD ta có : =
 AD AC
 AE AD F
 Vì DE // BC ta có : =
 AC AB D E
 AF AD AF 6
 Suy ra : = hay =
 AD AB 6 9
 6.6 B C
 Vậy AF 4cm
 9
Bài 4: Cho ABC . Một đường thẳng song song với BC cắt các cạnh AB và AC theo thứ tự ở D và 
 AE 3
E. Biết , BC = 28cm. Tính DE.
 EC 4
Lời giải Theo hệ quả của định lí Ta-lét . A
 DE AE
 Vì ED // BC ta có : 
 BC EC D E
 DE 3 3.28
 Hay DE 21cm
 28 4 4
 B C
Bài 5: Cho ABC có AB = 6cm ,
AC = 9cm . Các điểm D, E theo thứ tự thuộc các cạnh AB, AC sao cho
 OD
AD = 4cm, AE = 6cm. Gọi O là giao điểm của BE và CD. Tính tỉ số .
 OC
Lời giải
 AD AE 2
 Ta có : A
 AB AC 3
 Theo định lí Ta-lét đảo.
 DE //BC
 Theo hệ quả của định lí Ta-lét . D E
 OD DE AD DE
 ; O
 OC BC AB BC B C
 OD AD 4 2
 OC AB 6 3
Bài 6: Cho ABC cân tại A ,
AB = 10cm, BC = 12cm . Gọi I là giao điểm các đường phân giác của tam giác.
Tính độ dài AI.
Lời giải
 Gọi H là giao điểm của AI và BC A
 Vì ABC cân tại A nên đường phân 
 giác AH cũng là đường cao.
 Theo định lí Pytago, ta có :
 AH2 = AB2 – CH2 = 102 – 62 = 64
 \ I /
 AH = 8cm
 Theo tính chất đường phân giác
 AI AB 10 5 AI 5
 B C
 IH BH 6 3 AI+IH 5 3 H
 AI 5 AI 5
 Hay AI = 5cm
 AH 8 8 8
Dạng 2: Chứng minh hai tam giác đồng dạng.
Bài 7: Cho ABC vuông tại A . Đường cao AH (H BC)
a) Chứng minh: BHA BAC .
b) Chứng minh: BHA AHC .
Lời giải a) Xét BHA Hµ 900 và B
 H
 BAC Aµ 900 , có: Bµ là góc chung
 BHA BAC
 BHA Hµ 900
 b) Xét và A C
 AHC Hµ 900 ,
 có : A· BH C· AH ( cùng phụ với B· AH 
 )
 BHA AHC
Bài 8: Cho ABC , có AB = 4,8cm;
AC = 6,4cm; BC = 3,6cm . Trên cạnh AB lấy D sao cho AD = 3,2cm, trên cạnh AC lấy điểm E sao 
cho AE = 2,4cm, kéo dài ED cắt CB ở F
a) Chứng minh: ABC AED .
b) Chứng minh: FBD FEC .
Lời giải
 a) Xét ABC và AED , có: F
 µ
 A là góc chung B
 AD 3,2 1 
 D
 AC 6,4 2 AD AE
  3,6
 AE 2,4 1 AC AB 3,2
 AB 4,8 2  A
 ABC AED (c.g.c) C E 2,4
 b) Xét FBD và FEC , có:
 F là góc chung
 Cµ A· DE 
  Cµ F· DE
 · ·
 ADE FDE 
 FBD FEC (g.g)
Bài 9: Cho ABC cân tại A, M là trung diểm của BC. Lấy các điểm D và E lần lượt trên AB và 
AC sao cho D· ME Bµ .
a) Chứng minh: BDM CME .
b) Chứng minh: MDE BMD .
Lời giải
 a) Xét BDM và CME , có: A
 Bµ Cµ ( ABC cân tại A)
 D· M C D· M E E· M C 
 · µ · · ·
 DM C B BDM  EM C BDM D E
 Bµ D· M E
  
 BDM CME (g.g)
 / /
 b) Xét MDE và DBM , có: B M C
 D· ME Bµ
 BM BD 
 BM BD
 CE CM  
 CE BM
 CM = BM  MDE DBM (c.g.c)
Bài 10: Cho ABC vuông tại A. Đường cao AH. Gọi I Và L lần lượt là trung điểm của AH và 
BH. Chứng minh rằng :
 AHL CHI 
Lời giải
 Ta có Aµ 1 Bµ (cùng phụ với A· CB ) B
 AHB CHA (g.g) (hai tam 
 //
 giác vuông) L
 AB HB AB BL
 AC HA AC AI // H
 Xét ALB và CIA , có: M |
 AB BL
 Aµ 1 Bµ ; 
 AC AI | I
 ALB CIA (c.g.c) 1
 A C
 A· LB C· IA
 A· LH C· IH
 Xét AHL Hµ 900 và 
 CHI Hµ 900 , có :
 A· LH C· IH
 AHL CHI (c.g.c)
Dạng 3: Chứng minh đẳng thức.
Bài 11: Cho hình thang ABCD (AB//CD). Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. 
CMR : OA.OD = OB.OC
Lời giải
 Xét OAB và OCD , có : A B
 O· AB O· CD (so le trong, AB // CD)
 O· BA O· DC (so le trong, AB // CD) O
 OAB OCD (g.g)
 D C
 OA OB
 OA.OD = OC.OD
 OC OD
Bài 12: Cho góc xAy khác góc bẹt. Trên tia Ax lấy điểm B,C. Qua B và C vẽ hai đường thẳng song 
song cắt Ay ở D và E, qua E vẽ đường thẳng song song với CD cắt Ax tại F.
 AB AC
a) CMR : 
 AC AF
b) CMR : AC2 AB.AF
Lời giải a) Xét AEC , có : BD // EC (gt) y
 Theo định lí Ta-lét ta có :
 E
 AB AD
 (1)
 AC AE D
 Xét AEF , có : CD // EF (gt)
 Theo định lí Ta-lét ta có :
 AC AD
 (2) A
 AF AE B C F x
 Từ (1) và (2) suy ra :
 AB AC
 AC AF
 AB AC
 b) Vì = (cmt)
 AC AF
 AC2 AB.AF
Bài 13: Cho hình thang ABCD (AB//CD). Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Qua I 
vẽ đường thẳng song song với AB cắt AD và BD lần lượt tại E và F.
a) CMR : IE = IF.
 2 1 1
b) CMR : 
 EF AB CD
Lời giải
 a) Xét ABD , có : IE // AB (gt) A B
 Theo hệ quả của định lí Ta-lét, ta có :
 IE DI I
 (1) E F
 AB DB
 Tương tự : IF // AB (gt)
 IF CI
 (2)
 AB CA D C
 Tương tự : AB // CD (gt)
 DI CI
 (3)
 DB CA
 IE IF
 Từ (1), (2), (3) IE = 
 AB AB
 IF
 b) Xét DAB , có : IE // AB (gt)
 Theo hệ quả của định lí Ta-lét, ta có :
 IE DE
 AB DA
 Tương tự : IE // CD (gt)
 IE AE
 CD DA
 IE IE DE AE DE AE
 = 1
 AB CD DA DA DA
 Chia hai vế cho IE ta có :
 1 1 1 1
 = mà IE = EF
 AB CD IE 2
 1 1 2
 = 
 AB CD EF
Bài 14: Qua điểm I nằm bên trong tam giác ABC, dựng ba đường thẳng song song với các cạnh 
của tam giác : DE // BC; MN // CA PQ // AB (D, M thuộc AB; N,M thuộc BC;
 BD AQ CN
E,Q thuộc AC). CMR : 1
 BA AC CB
Lời giải
 a) Xét ABC , có : DE // BC (gt) A
 Theo hệ quả của định lí Ta-lét, ta có :
 BD CE
 BA AC M Q
 Xét QIE và ABC , có :
 I
 Qµ Aµ; Eµ Cµ (đồng vị) D E
 QIE ABC (g.g)
 B
 IE EQ P N C
 BC AC
 Mặt khác : CNIE là hình bình hành
 ( IE // NC; IN // EC)
 IE = CN
 CN EQ
 Do đó 
 BC AC
 BD AQ CN CE AQ EQ
 + + 1
 BA AC BC AC AC AC
Bài 15: Cho hình bình hành ABCD. Từ C kẻ CE vuông góc với đường thẳng AB; CF vuông góc 
với đường thẳng AD ( E, F thuộc phần kéo dài của các cạnh AB và AD), Kẻ BG vuông góc với AC. 
Chứng minh rằng :
AB.AE + AD.AF = AC2
Lời giải
 a) Xét AGB (Gµ 900 ) và 
 AEC (Eµ 900 ) , có : B· AC E
 chung
 AGB AEC B C
 AB AG
 AB.AE = 
 AC AE
 AC.AG (1)
 µ 0
 Xét BGC (G 90 ) và G
  0
 CFA (F 90 ) , có : A D F
 B· CG C· AF (so le trong, 
 BC // AD)
 BGC CFA
 BC CG
 AF.BC = 
 AC AF
 AC.CG (2)
 Từ (1) và (2) , ta có :
 AB.AE + AF.BC = AB.AE + 
 AF.AD
 = AC(AG + CG) = AC2
 (AD = BC vì ABCD là hbh)
ĐỀ 2 Bài 1:
Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB=12cm, AC= 16cm, đường cao AH cắt phân giác BD tại I.
a) Tính độ dài BC, AD
b) Chứng minh BIH ∽ BDA và AI = AD
c) Kẻ tia Bx  BD , Bx cắt tia CA tại K. Chứng minh: KA.DC = DA.KC
Lời giải
 a) VABC vuông tại A có 
 BC 2 AB2 AC 2 (Định lý Pitago)
 BC 20cm B
 VABC vuông tại A có BD là phân giác H
 BA DA
 của A· BC nên (tính chất I
 BC DC K
 C
 đường phân giác của tam giác) A D
 X
 BA BC BA BC 32
 2 
 DA DC DA DC 16
 (áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau)
 AB
 AD 6cm
 2
 b) Xét VBIH và VBDA có:
 B· HI B· AD 900 ; 
 A· BC
 I·BH A· BD 
 2
 Vậy BIH ∽ BDA (g.g)
 B· DA B· IH
 Mà A· ID B· IH (đối đỉnh)
 B· DA A· ID
 VAID cân tại A
 AI = AD
 c) Ta có BK là phân giác của góc ngoài B
 tại đỉnh B của VABC H
 KA BA
 (tính chất đường phân I
 KC BC K
 C
 giác của tam giác) A D
 BA DA X
 Mà (cmt)
 BC DC
 KA DA
 KA.DC KC.DA
 KC DC
 (dpcm)
Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD có AB 12cm , BC 9cm . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông 
góc của A,C trên BD
a) Chứng minh: ABH ∽ BDC
b) Tính độ dài đoạn thẳng AH
c) Tứ giác AHCK là hìnhgì ? Chứngminh. Lời giải
 a) Xét ABH và BDC có :
 0
 ·AHB B· CD 90 (gt) A B
 · ·
 ABD BDC (so le trong) K
 ABH ∽ BDC (g.g)
 b) Vì ABCD là hình chữ nhật nên
 AB CD 12cm
 BC AD 9cm H
 Áp dụng định lý Pitago cho tam giác 
 vuông ABD :
 D C
 BD2 AB2 AD2 122 92 255
 BD 15cm
 Vì ABH ∽ BDC nên
 AH AB AB.BC 12.9
 AH 7,2cm
 BC BD BD 15
 a) Xét ADH và CBK có:
 · ·
 ADH CBK (so le trong) A B
 ·AHD C· BK 900 (gt)
 K
 AD BC ( ABCD là hình chữ nhật)
 ADH = CBK (cạnh huyền – góc 
 nhọn) H
 AH CK (cạnh tương ứng)
 AH  BD
 Mà  AH / /CK (định lý D C
 CK  BD 
 từ vuông góc đến song song)
 Do đó AHCK là hình bình hành (dấu 
 hiệu nhận biết )
 .
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH.Gọi I,K lần lượt là hình chiếu của H lên các 
cạnh AB,AC.
a) Tứ giác AIHK là hình gì? Chứng minh
b) Chứng minh tam giác AHB∽ AIH và AI.AB=AK.AC
c) Gọi O là giao điểm của AH và IK.Hạ KD vuông góc với BC tại D.Chứng minh ba đường 
thẳng AD, CO và HK đồng quy.
Lời giải
 a) Tứ giác AIHK là hình gì? 
 Chứng minh.
 Xét tứ giác AIHK có µA I Kµ 90
 (gt)
 Nên tứ giác AIHK là hình chữ nhật.
 b)Chứng minh tam giác AHB đồng 
 dạng với tam giác AIH và 
 AI.AB=AK.AC E
 Xét AHB và AIH có: µA chung
 A
 K
 O
 H
 I N
 B H D C
 F Hµ I 90
 AHB : AIH (g-g)
 Ta có ·AIK I·AH ( tính chất hình chữ 
 nhật)
 ·ACB I·AH (cùng phụ với góc B)
 ·AIK ·ACB .
 Xét AIK và ACB có: µA chung
 Hµ I 90
 ·AIK ·ACB ( C.M .T)
 AIK ∽ ACB(g.g)
 AI AK
 AI.AB AK.AC
 AC AB
 c) Chứng minh AD, CO, HK đồng quy.
 Gọi I là giao điểm hai đường chéo của 
 hình thang AHDK( vì AH//DK).Qua C 
 kẻ đường thẳng song song với AH và 
 KD, cắt HK, AD lần lượt tại E,F.Nối CI 
 cắt KD, AH lần lượt tại N và M.
 Vì AH//KD//EF nên theo định lí talet ta 
 có:
 EC CK DC CF
 AH KA DH AH (1)
 EC CF
 C là trung điểm của EF.
 EC IC CF
 Và (2)
 MH IO AM
 Từ (1),(2) suy ra MH=AM M là trung 
 điểm của AH M trùng với O
 ( do O là trung điểm của AH).
 Tương tự ta cũng chứng minh được N là 
 trung điểm của KD.
 Do đó bốn điểm C,N,I,O thẳng hàng 
 hay ba đường AD, CO, HK đồng quy 
 tại I.
 1
Bài 4: Cho hình thang ABCD(AB // CD) có AB AD CD . Gọi M là trung điểm của CD . 
 2
Gọi H là giao điểm của AM và BD .
a) Chứng minh tứ giác ABMD là hình thoi.
b) Chứng minh BD vuông góc với BC .
c) Chứng minh tam giác ADH ∽ CDB .
d) Biết AB 2,5cm; BD 4cm . Tính BC và diện tích hình thang ABCD .
Lời giải
 a)Ta có
 1
 AB AD CD
 2 1
 Và MD MC CD ( M là trung A B
 2
 điểm của CD )
 Nên AB AD MD MC
 H
 Xét tứ giác ABMD có 
 AB // MD(do AB // CD)
 AB DM (cmt)
 AB AD(cmt) D M C
 Nên tứ giác ABMD là hình thoi.
 b) Chứng minh BD vuông góc với BC .
 Tứ giác ABCM có AB // MC và 
 AB MC nên tứ giác ABCM là hình 
 hình hành.
 AM // BC
 Lại có AM  BD (do ABMD là hình 
 thoi)
 BD  BC
 c) Chứng minh tam giác ADH đồng 
 dạng với tam giác CDB .
 Xét ADH và CDB có:
 ·AHD D· BC 900
 ·ADH B· DC (do ABMD là hình thoi) A B
 Nên ADH ∽ CDB (g.g)
 d) Biết AB 2,5cm; BD 4cm . Tính 
 BC và diện tích hình thang ABCD . H
 Ta có DC 2AB 2.2,5 5(cm)
 Áp dụng định lí Pytago vào tam giác 
 vuông DBC ta được:
 2 2 2
 DC DB BC D M C
 2 2 2
 5 4 BC .
 BC 2 52 42 9
 BC 3(cm)
 1 1
 AH AM BC 3 1,5(cm)
 2 2
 SABCD SABD SDBC
 1 1
 BD.AH BD.BC
 2 2
 1 1
 BD. AH BC 4. 1,5 3 9(cm2 )
 2 2
Bài 5: Cho ABC vuông tai A, có AB = 9cm, AC = 12cm. Tia phân giác góc A cắt BC tại D, từ D 
kẻ DE  AC (E AC)
a) Tính độ dài BC
 BD
b) Tính tỉ số: và tính độ dài BD và CD
 DC
c) Chứng minh: ABC EDC
d) Tính DE.