Đề cương ôn tập môn Đại số Lớp 8 - Chương 2

 ĐỀ ÔN TẬP HỎA TỐC-TINH GỌN CHƯƠNG II-ĐẠI SỐ 8
 ĐỀ 1.Cơ Bản
1A. Tìm điều kiện của x để các phân thức sau xác định:
 2x 1
a) ; b) ; 
 2x 6 x2 4x 4
 x 5
c) ; d) . 
 27x3 27x2 9x 1 4x 3x 2
1B. Tìm điều kiện của biến để mỗi phân thức sau đây xác định. Khi đó chứng minh giá trị của 
phân thức luôn là hằng số:
 x2 y2
a) P ; 
 (x y)(3x 3y)
 5kx 5x 3y 3ky 3
b) Q với k là hằng số khác . 
 25ks 15x 9y 15ky 5
2A. Tìm x, biết:
 2x 1 2x 5
a) 0 với x 2; 
 x2 4x 4 x2 4
 3 4x x
b) 0 với x 2;
 x 2 4 x2 x 2
2B. Với mỗi biểu thức sau, hãy tìm giá trị của y để giá trị tương ứng của biểu thức bằng 1:
 4
 1 y2 
 y
a) M với y 2 và y 0; 
 4
 2 
 y
 7
 1 y2 
 y 1 5
b) N với y 1và y . 
 7
 2 2
 y 1
3A. Tính giá trị của các biểu thức:
 3m2 2m
a) A tại m 8; 
 9m2 12m 4
 n2 7n 6
b) B tại n 1000001. 
 n3 6n2 n 6
 1 3B. Tìm giá trị nguyên của biến u để tại đó giá trị của mỗi biểu thức sau là một số nguyên:
 3 3u2 2u 1 1
a) với u 2; b) với u . 
 u 2 3u 1 3
4A. Chứng tỏ với x 0 và x a (a là một số nguyên), giá trị của biểu thức:
 x2 a2 4a 8a 
 P a . 
 x a x x a 
là một số chẵn.
4B. a) Với giả thiết là các biểu thức đều có nghĩa. Biến đổi mỗi biểu thức sau thành một phân 
thức đại số:
 1 1 1
i) 1 ; ii) 1 ; iii) 1 ;
 x 1 1
 1 1 
 x 1
 1 
 x
 1
b) Em hãy dự đoán kết quả của phép biến đổi biểu thức 1 thành phân thức đại 
 1
 1 
 1
 1 
 1
 1 
 1
 1 
 x
số và kiểm tra lại đoán đó.
 t 2 8t 16
5A. Cho phân thức T . 
 t 2 16
a) Với giá trị nào của t thì giá trị của phân thức được xác định ?
 t 4
b) Chứng tỏ phân thức rút gọn của phân thức đã cho là .
 t 4
5B. Chứng tỏ mỗi cặp phân thức sau bằng nhau
 2 2 p 4 5
a) và , với p 2 và p ; 
 2 p 5 2 p2 p 10 2
 3 3q2 9 p
b) và , với q 3 và q 2.
 q 2 q3 5q2 6q
 HƯỚNG DẪN
 2 2x x
1A.a a) Ta có phân thức xác định x 3 .
 2x 6 x 3
 1 1
 b) Phân thức xác định x 2 .
 x2 4x 4 (x 2)2
 x x 1
 c) Phân thức xác định x .
 27x3 27x2 9x 1 (3x 1)2 3
 5 5 4
 d) Phân thức xác định x 0 và x 
 4x 3x2 x(4 3x) 3
1B. Tương tự 1A. Ta có:
 1
 a) ĐKXĐ: x y . Khi đó, tìm được P 
 3
 5(k 1)x 3(k 1)y (k 1)5x 3y)
 b) Ta có Q 
 5(5k 3)x 3(5k 3)y (5k 3)(5x 3y)
 ĐKXĐ của Q là 5x 3y 0 
 k 1 3
 Khi đó, giá trị của Q là A là hằng số (do k là hằng số khác ) 
 5k 3 5
 (2x 1)(x 2) (2x 5)(x 2)
2A. a) Biến đổi ta được 0 
 (x 2)2 (x 2) (x 2)2 (x 2)
 (2x 1)(x 2) (2x 5)(x 2) 0 
 Giải ra ta được x = -3 (TMĐK)
 b) Biến đổi dđưa ề x2 + 5x + 6 = 0.
 Giải ra ta được x = -2 (KTMĐK) hoặc x = -3 (TMĐK)
2B. a) Đưa về y(y2 - 1) = 0.
 Giải ra ta đực y = 0 (KTMĐK) hoặc y = 1 (TMĐK)
 b) Đưa về (y + 1)2 (y - 1) = 0.
 Giải ra ta được y = -1 (KTMĐK) hoặc y = 1 (TMĐK)
 m
3A. a) Rút gọn ta được A 
 3m 2
 4
 Thay m = -8 vào A được A 
 13
 3 1
 b) Rút gọn ta được B 
 n 1
 Thay n = 1000001 vào B ta được: b = 10-6
3B. a) Tương tự 5A, 5B. Tìm được u 1;3;5 
 3u2 2u 1
 b) Ta có u 1 
 3u 1
 Vậy với u ¢ thì biểu thức có giá trị nguyên.
4A. Rút gọn được P = 4a. Do đó P là một số chẵn (vì a nguyên0
 x 1
4B. a) i) 
 x
 1 x 2x 1
 ii) 1 1 
 1
 1 x 1 x 1
 x
 1 3x 2
 iii) 1 
 1
 1 2x 1
 1
 1 
 x
 8x 5
 b) 
 5x 3
5A. a) T xác định t 4.
 b) Phân tích tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn.
 2 p 4 2( p 2) 2
5B. a) 
 2 p2 p 10 (2 p 5)( p 2) 2 p 5
 b) Tương tự câu a.
Đề 2.Trên Cơ Bản 
1A. Thực hiện các phép tính sau:
 4 2 2 x2 2x 1
a) . với x 1; 
 x 1 x 1 8
 4 1 y 2 y 
b) 3 : 2 với y 0 và y 2.
 y 4y y 2 y 2y 2y 4 
1B. Chứng minh đẳng thức:
 a2 3a 6a2 2 3 a 1
a) 2 2 3 . 1 2 với a 0;3; 
 a 9 27 9a 3a a a a a
 2 2 b 1 3 3 b 1 6b
b) . b : với b 0; 1. 
 5b b 1 5b 5 5 b 5(b 1)
 x 1 3 x 3 x2 1
2A. Cho biểu thức M 2 . . 
 2x 2 x 1 2x 2 15
a) Hãy tìm điều kiện của x để giá trị biểu thức được xác định;
b) Chứng minh rằng biểu thức được xác định thì giá trị của nó không phụ thuộc vào giá trị của 
biến x.
2B. Tìm điều kiện của y để giá trị của biểu thức được xác định:
 3y2 1
 y 3 4y
a) ; b) . 
 2y 1 y 5
 y 5
 uv uP vP
3A. a) Thay phân thức P vào biểu thức A rồi rút gọn;
 u v u P v P
 2mn 2mn P2Q2
b) Thay hai phân thức P và Q vào biểu thức B rồi rút gọn;
 m2 n2 m2 n2 P2 Q2
3B. Chứng minh các biểu thức sau có giá trị không phụ thuộc vào biến:
 3
 a 
a) A a với a 0 và a2 3 0; 
 a2 2a 1 2a 4
 a a
 2 2a3 2a a 1 
b) B 2 . 2 2 với a 1. 
 a 1 a 1 a 2a 1 a 1 
4A. Tìm b nguyên để các biểu thức sau nhận giá trị nguyên:
 3b2 4b 15
a) M với b 2; 
 b 2
 5 b2 b
b) N với b 3. 
 b 3
4B. Chứng minh:
 2
 r 2 r 2 4 4 2 
a) : 2 1 1 với mọi r 0 và r 2; 
 r r r 2 r 
 r 2 r3 8r 7
b) . 2 2 0 với mọi r 1. 
 r 1 r 1 r 1
 t 2 t 2 64 
5. Tìm giá trị nhỏ nhất của P . 16 17, với t 0 và t 8.
 t 8 t 
 HƯỚNG DẪN
 x 1
1A. a) Quy đồng mẫu thức và sử dụng hằng đẳng thức rồi rút gọn thu được 
 2(x 1)
 2
b) Tương tự a) thu được 
 2 y
1B. Tương tự 1A, thực hiện phép tính đối với vế trái của mỗi đẳng thức.
2A. a) Tìm mẫu thức chung rồi xét mẫu thức chung khác 0 rút được x 1.
 1
 b) Thực hiện phép tính để thu gọn M chúng ta có M 
 3
 1
2B. a) y 5; b) y 0;5 
 2
3A. a) Thay phân thức P vào biểu thức A rồi rút gọn chúng ta thu được A u v với điều kiện 
các biểu thức có nghĩa.
 b) Tương tự a) ta có B = 1.
3B. a) A = 1 b) B = -2.
 (b 2)(3b 10) 5 5
4A. a) Ta có M 3b 10 . Ta có, với b nguyên thì M nhận giá trị 
 b 2 b 2
nguyên khi và chỉ khi b + 2 nhận giá trị ước của 5. Đáp số: b 7; 3; 1; 3 
b) Tương tự, ta có b 3;0; 1; 2; 4; 5; 6;9 
4B. a) HS tự làm.
 b) Thực hiện phép tính, rút gọn vế trái chúng ta thu được = r 2 + 2r + 3 = (r + 1)2 + 2 > 0 
với mọi r 1.
 6 5. P= t2 - 8t + 17 = (t - 4)2 + 1
 Vậy P nhỏ nhất = 1. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi t = 4.
Đề 3.Nâng Cao 
Dạng 1: Tính 
Bài 1: Thực hiện phép tính sau :
 x 10 x2 10x 25
a) ; b) .
 x 10 x 10 x2 25 25 x2
Bài 2: Thực hiện phép tính :
 x 1 2x 3 x x 4xy
a) + b) + 
 2x 6 x 2 3x x 2y x 2y x2 4y2
Bài 3: Tính
 5x 10 4 2x 1 4x2 2 4x 12x 15y4 4y2 3x2 
 a) . b) 2 : c) 3 . 3 d) 4 . 
 4x 8 x 2 x 4x 3x 5y 8x 11x 8y 
Bài 4: Tính
 4x2 6x 2x x2 4 x 4 5x 10 4 2x x2 36 3
a) : : b) . c) . d) .
 5y2 5y 3y 3x 12 2x 4 4x 8 x 2 2x 10 6 x
 1 1 5 x 3
Bài 5: Cho biểu thức: A = và B = . Chứng tỏ A=B.
 x x 5 x(x 5) x 5
Dạng 2: Rút gọn phân thức
Bài 6: Rút gọn các phân thức 
 (x y)(2x 3) 2x 2 xy y 2 2x 2 3x 1
a) b) ; c)
 y2 xy 2x 2 3xy y 2 x 2 x 2
Dạng 3: Biến đổi biểu thức hữu tỉ
 x 21 7
Bài 7: Cho biểu thức: P = 
 x2 49 x2 7x
a) Tìm ĐKX Đ và rút gọn P.
b) Tính giá trị của biểu thức P tại x 4 3
c) Tìm giá trị của x để giá trị của P bằng -1.
 4 4 x2 8x 16
Bài 8: Cho biểu thức: M = ( ).
 x 4 x 4 32
 7 a)Tìm ĐKX Đ của M.
b) Rút gọn M
c) Tính giá trị của M tại x 1 3
d)Tìm giá trị của x để giá trị của M bằng 0; bằng 1.
e)Tìm giá trị nguyên của x để M nhận giá trị nguyên 
Bài 9: Cho biểu thức:
 a 1 1 3a a2 1 a2 1
 P :
 2 3 
 3a a 1 a 1 a 1 1 a
a) Tìm những giá trị của a để P xác định
b) Rút gọn P
 1
c) Tìm giá trị của a để nhỏ nhất và tìm giá trị đó
 P
 x3 x2 2x
Bài 10: Cho biểu thức D = 
 x x 2 x2 4
a) Rút gọn biểu thức D
b) Tìm x nguyên để D có giá trị nguyên
c) Tìm giá trị của D khi x 6 
 Hướng dẫn giải:
Bài 1: Tính
 x 10 x 10 x 10
a) 1
 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10
 2
 x2 10x 25 x2 10x 25 x2 10x 25 x 5 x 5
b) .
 x2 25 25 x2 x2 25 x2 25 x2 25 x 5 x 5 x 5
Bài 2: Thực hiện phép tính :
 x 1 2x 3 x x 1 2 2x 3 x2 x 4x 6 x2 5x 6 x 2 x 3 x 2
a/ 
 2x 6 x2 3x 2x x 3 2x x 3 2x x 3 2x x 3 2x x 3 2x
 x x 4xy x x 2y x x 2y 4xy 2x2 4xy 2x x 2y 2x
b) 
 x 2y x 2y x2 4y2 x2 4y2 x2 4y2 x 2y x 2y x 2y
Bài 3: 
 8 5x 10 4x 2 5x 10 4x 2 5 x 2 .2 2x 1 5 2x 1 
a) . 
 4x 8 x 2 4x 8 x 2 4 x 2 x 2 2 x 2 
 1 4x2 2 4x 1 2x 1 2x 3x 1 2x 1 2x 3x 3 6x
b) : . 
 x2 4x 3x x x 4 2 1 2x x x 4 2 1 2x 2x 8
 12x 15y4 12x.15y4 9y
c) . 
 5y3 8x3 5y3.8x3 2x2
 2 2
 4y2 3x2 4y . 3x 3y
d) 4 . 4 2 
 11x 8y 11x .8y 22x
Bài 4:
 4x2 6x 2x 4x2 5y 2x 4x2.5y.2x 4x2
a) : : . . 
 5y2 5y 3y 5y2 6x 3y 5y2.6x.3y 9y2
 x2 4 x 4 x 2 x 2 x 4 x 2
 b) . 
 3x 12 2x 4 3 x 4 2 x 2 6
 5x 10 4 2x 5 x 2 2 x 2 5
c) . 
 4x 8 x 2 4 x 2 x 2 2
 x2 36 3 x 6 x 6 .3 3 x 6 
d) . 
 2x 10 6 x 2 x 5 x 6 2 x 5 
Bài 5: Ta có 
 1 1 5 x x 5 x x 5
 A 
 x x 5 x(x 5) x x 5 x x 5 x x 5 
 x 5 x x 5 3x 3
 B
 x x 5 x x 5 x 5
Vậy A=B.
Bài 6:
 (x y)(2x 3) (x y)(2x 3) (x y)(2x 3) 2x 3 3 2x
a ) 
 y2 xy y(y x) y(x y) y y
 2 2
 2x 2 xy y 2 2x 2xy xy y 2x(x y) y(x y) (x y)(2x y) (x y)
b) 
 2x 2 3xy y 2 2x2 2xy xy y2 2x(x y) y(x y) (x y)(2x y) (x y)
 2x 2 3x 1 2x2 2x x 1 2x(x 1) (x 1) (x 1)(2x 1) 2x 1
c) .
 x 2 x 2 x2 x 2x 2 x(x 1) 2(x 1) (x 1)(x 2) x 2
 9 x 7
Bài 7: a)ĐKX Đ: x 0; x 7 ta có: P = (*)
 x(x 7)
 x 4 3 x 1( t/m dk)
 b) Với x 4 3 thì 
 x 4 3 x 7(không t / mdk)
 1 7 6 3
Thay x = -1 vào biểu thức (*) ta có: P= 
 1( 1 7) 8 4
 3
Vậy giá trị của P tại x 4 3 là 
 4
c) x = 3 2
Bài 8:
a)ĐKX Đ: x – 4 0; x+4 0 hay x 4
b) Với đk x 4 ta có:
 4(x 4) 4(x 4) x2 8x 16 32 (x 4)2 x 4
M = . = . (*)
 (x 4)(x 4) 32 (x 4)(x 4) 32 x 4
 x 1 3 x 4(không t/mdk)
c)Với x 1 3 thì 
 x 1 3 x 2(t / mdk)
 2 4 2 1
Thay x = -2 vào biểu thức (*) ta có: M= 
 2 4 6 3
 1
Vậy giá trị của M tại x 1 3 là 
 3
 x 4
d) M =0 0 x 4 0 x 4 ( không thỏa mãn đk) 
 x 4
 x 4 x 4 x 4 x 4 8
 M 1 1 1 0 0 0
 x 4 x 4 x 4 x 4
 (Không có giá trị của x thỏa mãn)
Vậy không có giá trị nào của x để giá trị của M = 0;M= 1.
 x 4 x 4 8 8
e) M 1 
 x 4 x 4 x 4
 M có giá trị nguyên khi x- 4 Ư(8) 1; 2; 4; 8 
 x- 4 -8 -4 -2 -1 1 2 4 8
 x -4 0 2 3 5 6 8 12
Nhận thấy x 4 không thỏa mãn điều kiện. 
 10