Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán

CHUYÊN ĐỀ 1: 
Phương trình và hệ phương trình.
I.Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ thích hợp.
Bài 1:Gpt:
Giải:
Đặt (1).
Ta có: 10.u2 + v2 -11.uv = 0(u-v).(10u-v)=0u=v hoặc 10u=v.
Xét các trường hợp thay vào (1) ta tìm được x một cách dễ dàng.
Bài 2:Gpt: (x2 - 4x+3).(x2 - 6x + 8)=15.
Giải:
Đặt x2 - 5x + 5 = u (1).
Ta có: (x2 - 4x+3).(x2 - 6x + 8)=15
(x-1).(x-3).(x-2).(x-4)-15=0
(x-1).(x-2).(x-3).(x-4)-15=0
(x2-5x+4).(x2-5x+6)-15=0
(u-1).(u+1)-15=0
u2-16=0
u=4.
Thay các giá trị của u vào (1) ta dễ dàng tìm được x.
Bài 3:Gpt:
Giải:PT..
Đặt u = x2 ( u 0) (1).
Ta có:
 ( u 1).
.
Từ đây ta dễ dàng tìm được u, thay vào (1) ta tìm được x.
Bài 4:Gpt:.
Giải:
Đặt (1).
Có: 
Xét các trường hợp thay vào (1) ta dễ dàng tìm được x.
Bài 5:Gpt: (1).
Giải:
Từ (1) suy ra: 
 (x0)..
Đặt (*) ta có:
y2 - 8y + 16 = 0 suy ra y = 4 thay vào (*) ta dễ dàng tìm được x.
Bài 6:Gpt:
Giải: Điều kiện x > 4 hoặc x < -1.
*Nếu x > 4, (1) trở thành:
Đặt (2) ta có:
y2 +...= 5 = 1.5 = (-1).(-5) = 5.1=(-5).(-1.
Từ đó ta tìm được y và z tìm được x.
Bài 4: 2xy + x + y = 83.
Giải:PT
Từ đó ta tìm được y tìm được x.
Bài 5:
Giải:Điều kiện : x,y,z 0.
Nhận xét:Trong ba số x,y,z luôn tồn tại hai số cùng dấu (Theo nguyên tắc Đirichlê có 3 số -3 thỏ mà chỉ có hai chuồng-mọi số nguyên khác 0 chỉ mang dấu âm hoặc dấu dương)
Ta có thể giả sử x,y cùng dấu với nhau.Suy ra x.y => 0 và 
Đặt A=
Giả sử z <0 khi đó 3 = A = (Vô lý).
Vậy z >0.Ta có:
A = 
Bài 6: 2x2 - 2xy = 5x + y - 19.
Giải:Từ bài ra ta có:
Từ đó ta tìm được x tìm được y.
III.Giải hệ phương trình và các phương trình khác.
Bài 1:
Giải:Điều kiện :.
-Nếu x < 0 thì 
Vậy ta xét x > 0:
Đặt x = a và (a,b > 0).
Ta có:
Có: (1).
Lại có: 2 = a2 + b2 2ab suy ra 1ab (2).
Từ (1)&(2) suy ra ab = 1 mà a2 + b2 =2 nên suy ra (a+b)2 = 4 suy ra a + b = 2.
Vậy ta có:.
Bài 2:
Giải:
Điều kiện:
Từ (4) suy ra x2 4 kết hợp với (1) suy ra x2 = 4 kết hợp với (2) suy ra x = 2.
Phương trình đã cho trở thành:
 .
Lúc này việc tìm y không còn khó khăn gì nữa (Lập bảng xét dấu).
Bài 3: 2x4 -21x3 + 74x2 -105x +50 =0.
Giải:
Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho.
Vậy x0.Chia cả hai vế của phương trình đã cho cho x2 ta được:
Đặt ta có:
2y2 -21.y - 26 = 0.Từ đó ta tìm được ytìm ra x.
Bài 4:
Giải:
Đặt :
Hệ đã cho trở thành:
Từ đó tìm được a =3,b =1.
Đến đây việc tìm ra x không còn khó khăn nữa.
Bài 5:
Giải:
Thay biểu thức (2) vào phương trình (1) ta có:
.
Từ đó ta tìm được x.Việc tìm giá trị của y cũng không có gì khó khan nữa.
Bài 6:
Giải:
Phương trình (2) phân tích được như sau:
(x - y).(x -3 + 2y) = 0
Xét các trường hợp thay vào phương trình (1) ta dễ dàng tìm được x và y.
Bài 7: x3 + (3-m).x2 + (m-9).x + m2 -6m + 5 = 0.
Giải:
Phương trình đã cho phân tích được như sau:
.
Đến đây việc giải và biện luận phương trình không còn khó khăn gì nữa.
Bài 8:
Giải:
Bổ đề:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. (Dễ dàng chứng minh đ...3 - 3abc < 0.
Giải:
Có:P = a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c).(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) < 0.
Bài 8:CMR: với 
Giải:
Dễ dàng biến đổi tương đương chứng minh được:
Áp dụng ta có:
Ta có đpcm.
Bài 9:CMR: Nếu: p,q > 0 thì: .
Giải:
Có:
Ta có đpcm.
Bài 10:CMR: với mọi số nguyên dương k >1.Từ đó suy ra:
 với n >1.
Giải:
Ta có: .
Áp dụng cho k = 2,3,...,n ta được:
Bài 11:Cho hai số x,y thỏa mãn: x > y và xy = 1.CMR:
Giải:
Ta có:
Ta có đpcm.
Bài 12:Cho tam giác ABC có các cạnh thỏa mãn: CMR:
Giải:
Từ giả thiết bài ra ta có:
Mà: (a + b + c)2 (2b + c)2 (2).
Từ (1) và (2) suy ra:
(a + b + c)2 (2b + c)2 9bc.
Ta có đpcm.
Bài 13: 
Cho 0 < a,b,c < 2.CMR:Ba số a.(2-b) ; b.(2-c) ; c.(2-a) không đồng thời lớn hơn 1.
Giải:
Ta có:
Tích của ba số nhỏ hơn hoặc bằng 1 vì vậy chúng không thể đồng thời lớn hơn 1.
Ta có đpcm.
Bài 14: Cho ba số a,b,c thỏa mãn: a > b > c > 0.CMR:
.
Giải:
Ta có: 
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng.
Vậy ta có đpcm.
Bài 15:Cho các số dương x,y,z thỏa mãn:CMR:
Giải:
Áp dụng BĐT Cô Si: (1).
Tương tự: (2) và (3).
Cộng (1),(2),(3) theo vế ta có:
Suy ra:
Vậy ta có đpcm.
CHUYÊN ĐỀ 3: Đa thức và những vấn đề liên quan.
Bài 1:Cho . Với những giá trị nào của a,b thì P=Q với mọi giá trị của x trong tập xác định của chúng.
Giải:
Điều kiện:
Ta có: P=Q
Bài 2:Cho số nguyên n, A= n5 - n.
a-Phân tích A thành nhân tử.
b-Tìm n để A=0.
c-CMR: A chia hết cho 30.
Giải:
a) A= n5 - n = n.(n4 -1) = n.(n-1).(n+1).(n2 + 1)
b) A=0n = 0,1,-1.
c) Theo Định Lý Fecma: (1).
Lại có:(2) và: (3).
Vì 2,3,5 đôi một nguyên tố cùng nhau nên từ (1),(2)&(3) suy ra (đpcm).
Bài 3: CMR: Nếu x,y là những số nguyên thỏa mãn điều kiện x2 + y2 chia hết cho 3 thì cả x và y đều chia hết cho 3.
Giải:
Nhận xét:Số chính phương chia cho 3 có số dư là 0 hoặc 1.
Vì vậy từ giả thiết x2 + y2 chia hết cho 3
Bài 4:Tìm giá trị của p,q để đa thức (x4 + 1) chia hết cho đa thức x2 + px + q.
Giải:
Giả sử (x4 + 1) = (x2 + px + q)