19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức môn Toán Lớp 8

 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức
 PHẦN 1
 CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý
 A B A B 0
1/Định nghĩa 
 A B A B 0
 2/Tính chất
 + A>B B A
 + A>B và B >C A C
 + A>B A+C >B + C
 + A>B và C > D A+C > B + D
 + A>B và C > 0 A.C > B.C
 + A>B và C < 0 A.C < B.C
 + 0 < A < B và 0 < C <D 0 < A.C < B.D
 + A > B > 0 A n > B n n
 + A > B A n > B n với n lẻ
 + A > B A n > B n với n chẵn
 + m > n > 0 và A > 1 A m > A n 
 + m > n > 0 và 0 <A < 1 A m < A n 
 1 1
 +A 0 
 A B
 3/Một số hằng bất đẳng thức
 + A 2 0 với  A ( dấu = xảy ra khi A = 0 )
 + An 0 với A ( dấu = xảy ra khi A = 0 )
 + A 0 với A (dấu = xảy ra khi A = 0 )
 + - A < A = A
 + A B A B ( dấu = xảy ra khi A.B > 0)
 + A B A B ( dấu = xảy ra khi A.B < 0)
 PHẦN II
 CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Phương pháp 1 : Dùng định nghĩa
 Kiến thức : Để chứng minh A > B. Ta lập hiệu A –B > 0
 Lưu ý dùng hằng bất đẳng thức M 2 0 với M
Ví dụ 1  x, y, z chứng minh rằng :
 a) x 2 + y 2 + z 2 xy+ yz + zx
 b) x 2 + y 2 + z 2 2xy – 2xz + 2yz
 2 2 2
 c) x + y + z +3 2 (x + y + z)
 Giải:
 1 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức
 1
 a) Ta xét hiệu : x 2 + y 2 + z 2 - xy – yz – zx = .2 .( x 2 + y 2 + z 2 - xy – yz – 
 2
zx)
 1
 = (x y) 2 (x z) 2 (y z) 2  0 đúng với mọi x;y;z R
 2
 Vì (x-y)2 0 vớix ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y
 (x-z)2 0 vớix ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z
 (y-z)2 0 với z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y
 Vậy x 2 + y 2 + z 2 xy+ yz + zx. Dấu bằng xảy ra khi x = y =z
 b)Ta xét hiệu: x 2 + y 2 + z 2 - ( 2xy – 2xz +2yz ) = x 2 + y 2 + z 2 - 2xy +2xz –
2yz
 = ( x – y + z) 2 0 đúng với mọi x;y;z R
 Vậy x 2 + y 2 + z 2 2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z R
 Dấu bằng xảy ra khi x+y=z
 c) Ta xét hiệu: x 2 + y 2 + z 2 +3 – 2( x+ y +z ) = x 2 - 2x + 1 + y 2 -2y +1 + z 2 -
2z +1
 = (x-1) 2+ (y-1) 2+(z-1) 2 0. Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1
 Ví dụ 2: chứng minh rằng :
 2 2 2 2 2
 a 2 b 2 a b a b c a b c 
 a) ; b) c) Hãy tổng quát bài 
 2 2 3 3 
toán
 Giải:
 2
 a 2 b 2 a b 
 a) Ta xét hiệu 
 2 2 
 2 2 2 2
 2 a b a 2ab b 1 2 2 2 2 1 2
 = = 2a 2b a b 2ab = a b 0
 4 4 4 4
 2
 a 2 b 2 a b 
 Vậy . Dấu bằng xảy ra khi a=b
 2 2 
 b)Ta xét hiệu
 2 2 2 2
 a b c a b c 1 2 2 2
 =  a b b c c a  0 .Vậy
 3 3 9
 2
 a 2 b 2 c 2 a b c 
 3 3 
 Dấu bằng xảy ra khi a = b =c
 2
 a 2 a 2 .... a 2 a a .... a 
c)Tổng quát 1 2 n 1 2 n 
 n n 
 Tóm lại các bước để chứng minh A B theo định nghĩa
 Bước 1: Ta xét hiệu H = A - B
 Bước 2:Biến đổi H=(C+D) 2 hoặc H=(C+D) 2 + .+(E+F) 2
 2 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức
 Bước 3:Kết luận A B
Ví dụ 1: Chứng minh m,n,p,q ta đều có : m 2 + n 2 + p 2 + q 2 +1 m(n+p+q+1)
 Giải:
 2 2 2 2
 m 2 m 2 m 2 m 
 mn n mp p mq q m 1 0
 4 4 4 4 
 2 2 2 2
 m m m m 
 n p q 1 0 (luôn đúng)
 2 2 2 2 
 m
 n 0 m
 2 n 
 m 2
 p 0 m
 p m 2
 Dấu bằng xảy ra khi 2 
 m 2 
 q 0 m n p q 1
 2 q 
 m 2
 1 0 m 2
 2
Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi a, b, c ta luôn có : a 4 b 4 c 4 abc(a b c)
 Giải: Ta có : a 4 b 4 c 4 abc(a b c) , a,b,c 0
 a 4 b 4 c 4 a 2bc b 2 ac c 2 ab 0
 2a 4 2b 4 2c 4 2a 2bc 2b 2 ac 2c 2 ab 0
 2 2 2
 a 2 b 2 2a 2b 2 b 2 c 2 2b 2c 2 c 2 a 2 2a 2c 2
 2a 2bc 2b 2 ac 2c 2 ab 0
 2 2 2
 a 2 b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 (a 2b 2 b 2c 2 2b 2 ac) (b 2c 2 c 2 a 2 2c 2 ab)
 (a 2b 2 c 2 a 2 2a 2 ab) 0
 2 2 2
 a 2 b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 ab bc 2 bc ac 2 ab ac 2 0
 Đúng với mọi a, b, c.
Phương pháp 2 : Dùng phép biến đổi tương đương
 Kiến thức:
 Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức 
đúng hoặc bất đẳng thức đã được chứng minh là đúng.
 Nếu A < B C < D , với C < D là một bất đẳng thức hiển nhiên, hoặc đã 
biết là đúng thì có bất đẳng thức A < B .
Chú ý các hằng đẳng thức sau:
 A B 2 A2 2AB B 2
 A B C 2 A2 B 2 C 2 2AB 2AC 2BC
 A B 3 A3 3A2 B 3AB 2 B 3
 Ví dụ 1: Cho a, b, c, d,e là các số thực chứng minh rằng
 b 2
 a) a 2 ab
 4
 b) a 2 b 2 1 ab a b
 3 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức
 c) a 2 b 2 c 2 d 2 e 2 a b c d e 
 Giải:
 b 2
 a) a 2 ab 4a 2 b 2 4ab 4a 2 4a b 2 0 2a b 2 0 
 4
 b 2
 (BĐT này luôn đúng). Vậy a 2 ab (dấu bằng xảy ra khi 2a=b)
 4
 b) a 2 b 2 1 ab a b 2(a 2 b 2 1 2(ab a b)
 a 2 2ab b 2 a 2 2a 1 b 2 2b 1 0
 (a b) 2 (a 1) 2 (b 1) 2 0 Bất đẳng thức cuối đúng.
 Vậy a 2 b 2 1 ab a b . Dấu bằng xảy ra khi a=b=1
 c) 
 a 2 b 2 c 2 d 2 e 2 a b c d e 4 a 2 b 2 c 2 d 2 e 2 4a b c d e 
 a 2 4ab 4b 2 a 2 4ac 4c 2 a 2 4ad 4d 2 a 2 4ac 4c 2 0
 a 2b 2 a 2c 2 a 2d 2 a 2c 2 0
 Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh
 Ví dụ 2: Chứng minh rằng: a10 b10 a 2 b 2 a8 b8 a 4 b 4 
 Giải: 
 a10 b10 a 2 b 2 a8 b8 a 4 b 4 
 a12 a10b 2 a 2b10 b12 a12 a8b 4 a 4b8 b12
 a8b 2 a 2 b 2 a 2b8 b 2 a 2 0 a2b2(a2-b2)(a6-b6) 0
 a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4) 0
 Bất đẳng thứccuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh 
 x 2 y 2
 Ví dụ 3: cho x.y =1 và x y Chứng minh 2 2
 x y
 x 2 y 2
 Giải: 2 2 vì :x y nên x- y  0 x2+y2 2 2 ( x-y)
 x y
 x2+y2- 2 2 x+ 2 2 y 0 x2+y2+2- 2 2 x+ 2 2 y -2 0
 x2+y2+( 2 )2- 2 2 x+ 2 2 y -2xy 0 vì x.y=1 nên 2.x.y=2
 (x-y- 2 )2 0 Điều này luôn luôn đúng . Vậy ta có điều phải chứng 
minh
 Ví dụ 4: Chứng minh rằng:
 a/ P(x,y)=9x 2 y 2 y 2 6xy 2y 1 0 x, y R
 b/ a 2 b 2 c 2 a b c (gợi ý :bình phương 2 vế) 
 c/ Cho ba số thực khác không x, y, z thỏa mãn:
 x.y.z 1
 1 1 1
 x y z
 x y z
 Chứng minh rằng :có đúng một trong ba số x,y,z lớn hơn 1
 4 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức
 Giải: Xét (x-1)(y-1)(z-1)=xyz+(xy+yz+zx)+x+y+z-1
 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 =(xyz-1)+(x+y+z)-xyz( )=x+y+z - ( ) 0 (vì < x+y+z 
 x y z x y z x y z
theo gt)
 2 trong 3 số x-1 , y-1 , z-1 âm hoặc cả ba sỗ-1 , y-1, z-1 là dương.
 Nếu trường hợp sau xảy ra thì x, y, z >1 x.y.z>1 Mâu thuẫn gt x.y.z=1 bắt 
buộc phải xảy ra trường hợp trên tức là có đúng 1 trong ba số x ,y ,z là số lớn hơn 1
 a b c
 Ví dụ 5: Chứng minh rằng : 1 2
 a b b c a c
 Giải:
 1 1 a a
 Ta có : a b a b c (1)
 a b a b c a b a b c
 b b c c
 Tương tự ta có : (2) , (3)
 b c a b c a c a b c
 Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1), (2), (3), ta được :
 a b c
 1 (*)
 a b b c a c
 a a c
 Ta có : a a b (4)
 a b a b c
 b a b c c b
 Tương tự : (5) , (6)
 b c a b c c a a b c
 Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (4), (5), (6), ta được :
 a b c
 2 (**)
 a b b c a c
 a b c
 Từ (*) và (**) , ta được : 1 2 (đpcm)
 a b b c a c
Phương pháp 3: Dùng bất đẳng thức phụ
 Kiến thức:
 a) x 2 y 2 2xy
 b) x 2 y 2 xy dấu( = ) khi x = y = 0
 c) x y 2 4xy
 a b
 d) 2
 b a
 Ví dụ 1 Cho a, b ,c là các số không âm chứng minh rằng 
 (a+b)(b+c)(c+a) 8abc
 Giải: Dùng bất đẳng thức phụ: x y 2 4xy
 Tacó a b 2 4ab ; b c 2 4bc ; c a 2 4ac
 a b 2 b c 2 c a 2 64a 2b 2c 2 8abc 2 (a+b)(b+c)(c+a) 8abc 
 Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
 Phương pháp 4: Bất đẳng thức Cô sy 
 Kiến thức: 
 5 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức
 a/ Với hai số không âm : a,b 0 , ta có: a b 2 ab . Dấu “=” xảy ra khi a=b
 b/ Bất đẳng thức mở rộng cho n số không âm :
 n
 a1 a2 ... an n a1a2 ..an
 n
 a1 a2 ... an 
 a1a2 ..an 
 n 
 Dấu “=” xảy ra khi a1 a2 ... an
 Chú ý : ta dùng bất đẳng thức Côsi khi đề cho biến số không âm.
 2 x 4 x 2 x 3
 Ví dụ 1 : Giải phương trình : 
 4 x 1 2 x 1 2 x 4 x 2
 a 2 x
 Giải : Nếu đặt t =2x thì pt trở thành pt bậc 6 theo t nên ta đặt ,a,b 0
 x
 b 4
 a b 1 3
 Khi đó phương trình có dạng : 
 b 1 a 1 a b 2
 Vế trái của phương trình:
 a b 1 a b 1 a b 1 a b 1 
 1 1 1 3 3
 b 1 a 1 a b b 1 a 1 a b 
 1 1 1 1 1 1 
 a b c 3 b 1 a 1 a b 3
 b 1 a 1 a b b 1 a 1 a b 
 1 3 3
 3 3 a 1 b 1 a b . 3 
 2 3 a 1 b 1 a b 2
 Vậy phương trình tương đương với : 
 a 1 b 1 a b a b 1 2 x 4 x 1 x 0 .
 Ví dụ 2 : Cho x, y , z > 0 và x + y + z = 1. Tìm GTLN của P =
 x y z
 x 1 y 1 z 1
 1 1 1
 Giải : P = 3- ( ) = 3 – Q. Theo BDT Côsi , nếu a, b, c > 0 
 x 1 y 1 z 1
thì 
 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9
 a b c 3 abc 3 3 a b c 9 
 a b c abc a b c a b c a b c
 1 1 1 9 9 9 3
 Suy ra Q = -Q nên P = 3 – Q 3- =
 x 1 y 1 z 1 4 4 4 4
 Vậy max P = 3 .khi x = y = z = 1 .
 4 3
 6 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức
 Ví dụ 3: Cho a, b, c >0 . Chứng minh rằng: 
 1 1 1 a b c
a 2 bc b 2 ac c 2 ab 2abc
 Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có :
 2 1 1 1 1 
 a 2 bc 2a bc 
 a 2 bc a bc 2 ab ac 
 Tương tự :
 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 
 2 2 
 b ac b ac 2 bc ab c ab c ab 2 ac bc
 2 2 2 a b c
 a2 bc b2 ac c2 ab 2abc
 Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.
 a b c
 Ví dụ 4 : CMR trong tam giác ABC : 3 (*)
 b c a c a b a b c
 Giải : Theo bất đẳng thức Côsi :
 a b c abc
 3 3 (1)
 b c a c a b a b c (b c a)(c a b)(a b c)
 Cũng theo bất đẳng thức Côsi :
 1
 (b c a)(c a b) (b c a c a b) c (2)
 2
 Viết tiếp hai BDT tương tự (2) rồi nhân với nhau sẽ được 
 (b c a)(c a b)(a b c) abc
 abc
 1 (3)
 (b c a)(c a b)(a b c)
 Từ (1),(3) suy ra (*). Dấu “=” xảy ra khi a = b = c hay ABC là đều .
 Ví dụ 5:
 2
 0 a b c x y z a c 2
 Cho . Chứng minh rằng: by cz x y z 
 0 x, y, z a b c 4ac
 Giải: Đặt f (x) x 2 (a c)x ac 0 có 2 nghiệm a,c
 Mà: a b c f (b) 0 b 2 (a c)b ac 0
 ac y
 b a c yb ac a c y
 b b
 x y z
 xa ac (yb ac ) (zc ac ) a c x a c y (a c)z
 a b c
 x y z 
 xa yb zc ac a c x y z 
 a b c 
 Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:
 7 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức
 x y z 
 2 xa yb zc ac a c x y z 
 a b c 
 x y z 2 2
 4 xa yb zc ac a c x y z 
 a b c 
 2
 x y z a c 2
 xa yb zc ac x y z (đpcm)
 a b c 4ac
 Phương pháp 5 Bất đẳng thức Bunhiacopski
Kiến thức:
Cho 2n số thực ( n 2): a1 ,a2 ,...an ,b1 ,b2 ,...,bn . Ta luôn có:
 2 2 2 2 2 2 2
 (a1b1 a2b2 ... anbn ) (a1 a2 ... an )(b1 b2 ... bn )
 a a a
Dấu “=” xảy ra khi 1 2 .... n
 b1 b2 bn
 b b b
Hay 1 2 .... n (Quy ước : nếu mẫu = 0 thì tử = 0 )
 a1 a2 an
Chứng minh:
 a a 2 a 2 ... a 2
Đặt 1 2 n
 2 2 2
 b b1 b2 ... bn
 • Nếu a = 0 hay b = 0: Bất đẳng thức luôn đúng.
 • Nếu a,b > 0:
 a b
Đặt: i ,  i i 1,2,...n , Thế thì: 2 2 ... 2  2  2 ...  2
 i a i b 1 2 n 1 2 n
 1
Mặt khác:  2  2 
 i i 2 i i
 1 1
   ...  ( 2 2 .... 2 ) ( 2  2 ...  2 ) 1
Suy ra: 1 1 2 2 n n 2 1 2 n 2 1 2 n
 a1b1 a2b2 ... anbn a.b
Lại có: a1b1 a2b2 ... anbn a1b1 a2b2 ... anbn
 2 2 2 2 2 2 2
Suy ra: (a1b1 a2b2 ... anbn ) (a1 a2 ... an )(b1 b2 ... bn )
 i  i i 1,2,...,n a a a
Dấu”=” xảy ra 1 2 .... n
 11.... n  n cùng dáu b1 b2 bn
Ví dụ 1 :
 1
Chứng minh rằng: x R , ta có: sin 8 x cos8 x 
 8
Giải: Ta có: sin 2 x cos 2 x 1,x R
Theo bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có:
 8 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức
 1 sin2 x.1 cos2 x.1 sin4 x cos4 x 12 12 
 1 1 2
 sin4 x cos4 x sin4 x cos4 x 
 2 4
 Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski một lần nữa:
 1 2 1 1
 sin4 x.1 cos4 x.1 sin8 x cos8 x 12 12 sin4 x cos4 x 
 4 4 8
 Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có các góc A,B,C nhọn. Tìm GTLN của:
 P 1 tan A.tan B 1 tan B.tan C 1 tan C.tan A
 Giải:
 * Bất đẳng thức Bunhiacopski mở rộng
 Cho m bộ số, mỗi bộ số gồm n số không âm: (ai ,bi ,...,ci )(i 1,2,....,m)
 Thế thì: 
 2 m m m m m m m m m
 (a1a2 ...am b1b2 ...bm ... c1c2 ...cm ) (a1 b1 ... c1 )(a2 b2 ... c2 )(am bm ... cm )
 Dấu”=” xảy ra  bô số (a,b, .,c) sao cho: với mỗi i = 1,2, ,m thì  ti 
sao cho: a ti ai ,b tibi ,...,c ti ci , Hay a1 : b1 :...: c1 a2 : b2 :...: c2 an : bn :...cn
 a 2 a 2 ... a 2 3
Ví dụ 1: Cho 1 2 n
 n Z,n 2
 a a a
 Chứng minh rằng: 1 2 .... n 2
 2 3 n 1
 Giải: 
 * 1 1 1
 k N ta có: 2 
 k 2 1 1 1 
 k k k 
 4 2 2 
 1 1 1
 2 1 1
 k k k 
 2 2
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2
 ... ... 
 22 32 n2 3 5 5 7 1 1 3 1 3
 2 2 2 2 n n 2 n 
 2 2 2
 Do đó theo bất đẳng thức Bunhiacopski:
 a a a 1 1 1 2
 1 2 .... n a 2 a 2 ... a 2 ... 3 2 (đpcm)
 2 3 n 1 1 2 n 22 32 n 2 3
 Ví dụ 2: Cho 4 số a,b,c,d bất kỳ chứng minh rằng:
 (a c) 2 (b d) 2 a 2 b 2 c 2 d 2
 Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski: Tacó ac+bd a 2 b 2 . c 2 d 2
mà 
 a c 2 b d 2 a 2 b 2 2 ac bd c 2 d 2 a 2 b 2 2 a 2 b 2 . c 2 d 2 c 2 d 2
 (a c) 2 (b d) 2 a 2 b 2 c 2 d 2
 9 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức
 Ví dụ 3: Chứng minh rằng : a 2 b 2 c 2 ab bc ac
 Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski
 Cách 1: Xét cặp số (1,1,1) và (a,b,c) ta có 
 12 12 12 (a 2 b 2 c 2 ) 1.a 1.b 1.c 2
 3 a 2 b 2 c 2 a 2 b 2 c 2 2 ab bc ac 
 a 2 b 2 c 2 ab bc ac Điều phải chứng minh Dấu bằng xảy ra khi 
a=b=c
Phương pháp 6: Bất đẳng thức Trê- bư-sép
 Kiến thức:
 a1 a2 ..... an
 a)Nếu thì 
 b1 b2 ..... bn
 a a ... a b b .... b a b a b .... a b
 1 2 n . 1 2 n 1 1 2 2 n n .
 n n n
 a1 a2 .... an
 Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi 
 b1 b2 .... bn
 a1 a2 ..... an
 b)Nếu thì
 b1 b2 ..... bn
 a a ... a b b .... b a b a b .... a b
 1 2 n . 1 2 n 1 1 2 2 n n
 n n n
 a1 a2 .... an
 Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi 
 b1 b2 .... bn
 Ví dụ 1: Cho ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn bán kính R = 1 và 
 sin A.sin 2a sin B.sin 2B sin C.sin 2C 2S
 .
 sin A sin B sin C 3
 S là diện tích tan giác. chứng minh rằng ABC là tam giác đều.
 Giải: Không giảm tính tổng quát ta giả sư 0 A B C .Suy ra:
 2
 sin A sin B sin C
 sin 2a sin 2B sin 2C
 Áp dụng BĐT trebusep ta được:
 sin A sin B sin C sin 2A sin 2B sin 2C 
 3 sin A.sin 2A sin B.sin 2B sin C.sin 2C 
 sin A.sin 2A sin B.sin 2B sin C.sin 2C 1
 (sin 2A sin 2B sin 2C)
 sin A sin B sin C 3
 sin A sin B sin C
 Dấu ‘=’ xảy ra ABC dêu
 sin 2A sin 2B sin 2C
 Mặt khác:
 10