Tài liệu Tự học Toán 8 - Phần 6

 Dự án 1: Tự học Toán 8
 HÌNH VUÔNG.
 Tóm tắt lý thuyết
Định nghĩa 1 . Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và có bốn cạnh bằng nhau. 
Nhận xét. Từ định nghĩa hình vuông, ta suy ra
 • Hình vuông là hình chữ nhật có bốn canh bằng nhau.
 • Hình vuông là hình thoi có bốn góc vuông.
Hình vuông vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi.
Tính chất 1 . Hình vuông có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi.
Hệ quả 1 . Dấu hiệu nhận biết
 Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.
 Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông.
 Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc vuông là hình vuông.
 Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.
 Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.
 Một số ví dụ
  Ví dụ 1. VD 16 –tr 96
 Gọi M là điểm bất kì trên đoạn thẳng AB.Vẽ về một phía của AB các hình vuông AMCD , 
 BMEF .
 1) Chứng minh rằng AE  BC .
 2) Gọi H là giao điểm của AE và BC . Chứng minh rằng ba điểm D, H, F thẳng hàng.
 3) Chứng minh rằng đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M chuyển động 
 trên đoạn thẳng AB cố định.
 Lời giải
Nhóm word tài liệu
 Trang 5 Dự án 1: Tự học Toán 8
1) Xét CAB, ta có CM  AB, BE  AC (vì BE  MF , MF // AC). Suy ra AE  BC
 AC DM
2) Gọi O là giao điểm của AC và DM. Do ·AHC 90 nên, OH = do đó OH . 
 2 2
 Tam giác MHD có đường trung tuyến HO D C
 I
 bằng nửa DM nên M· HD 90 (1) H
 E F
 Chứng minh tương tự
 O
 M· HF 90 (2)
 Từ (1) và (2) suy ra D, H, F thẳng hàng.
 3) Gọi I là giao điểm của DF và AC;
 A I' M B
 DMF có DO OM , OI // MF 
 nên I là trung điểm của DF
Kẻ II  AB thì I là trung điểm của AB và
 AD BF AM MB AB
 II 
 2 2 2
 Do đó I là điểm cố định: I nằm trên đường trung trực của AB và cách AB một khoảng bằng 
AB
 2
 Bài tập tự luyện
 BÀI 1. Tứ giác ABCD có E, F,G, H theo thứ tự là trung điểm của AB, BD, DC,CA . Tìm điều 
kiện của tứ giác ABCD để EFGH là hình vuông.
 Lời giải
 EF là đường trung bình của BAD B
 1
 EF AD và EF // AD E
 2 A
 GH là đường trung bình của CAD F
 H
 1
 GH AD và GH // AD
 2
 D G C
Tứ giác EFGH có EF // GH và EF GH . Suy 
ra EFGH là hình bình hành.
Nhóm word tài liệu
 Trang 5 Dự án 1: Tự học Toán 8
 Ta cũng có EH // FG // BC ; 
 BC A
 EH = FG = . E
 2 B
 Điều kiện để hình bình hành EFGH trở thành F
 hình vuông là EF  EH và H
 EF = EH AD  BC và AD = BC (hình vẽ 
 D C
 bên). G
 BÀI 2 Cho hình vuông ABCD , điểm M nằm trên đường chéo AC . Gọi E, F theo thứ tự là 
các hình chiếu của M trên AD,CD . Chứng minh rằng:
 1) BM vuông góc với EF.
 2) Các đường thẳng BM , AF,CE đồng quy.
 Lời giải
 1) Gọi K là giao điểm của EM và BC. Vì M A B
 nằm trên đường chéo AC của hình vuông nên:
 + EAM vuông cân tại E , suy ra 
 EM EA BK M
 + MFCK là hình vuông, suy ra MF MK E K
 Vây EMF BKM (c.g.c) nên M· FE K· MB H
 Gọi H là giao điểm của BM và EF , ta có
 E· MH B· MK , suy ra E· MH M· FH.
 Mà E· MH H· MF 90 
 D F C
 nên M· FH H· MF 90 M· HF 90 hay
 BH  EF . Vậy MB  EF
Nhóm word tài liệu
 Trang 5 Dự án 1: Tự học Toán 8
2) ADF = BAE (c.g.c), suy ra D· AF ·ABE , mà E· AF F· AB 90 F· AB ·ABE 90 
suy ra AF  EB . Chứng minh tương tự, CE  BF . 
Vậy BM , AF,CE là các đường cao của BEF nên chúng đồng quy.
 BÀI 3. Cho hình vuông ABCD . Điểm E nằm trong hình vuông sao cho tam giác ECD cân có 
góc đáy bằng 15 . Chứng minh rằng ABE là tam giác đều.
 Lời giải
 Vẽ điểm I trong hình vuông sao cho IAD cân tại I có A B
 góc ở đáy bằng 15 
 ΔIAD = ΔEDC ( g.c.g ) ID ED
 I·DE ·ADC ·ADI E· DC 90 30 60 
 I
 Vậy ΔIED đều.
 ·AIE 360 ·AID D· IE 360 (150 60 ) 150 
 E
 · ·
 AIE AID D C
 Suy ra ΔIAE = ΔIAD ( c.g.c ) nên EA AD .
 Chứng minh tương tự ΔECB = ΔEDA BE BC .
 Vậy BE AE BC .
 BÀI 4. Cho ΔABC cân tại A , góc đáy 75 và hình vuông BDEC ( các điểm A, D, E nằm 
cùng phía đối với BC ). Hãy xác định dạng của ΔADE .
 Lời giải
 Vẽ tam giác đều BIC vào trong hình vuông. A
 ·ABI ·ABC I·BC 75 60 15 
 ·ABD 90 ·ABC 15 . Suy ra ΔBDA= ΔBIA ( c.g.c ) ,
 D E
 suy ra DA AI và D· AB I·AB
 I
 Chứng minh tương tự ΔCAI = ΔCAE AE AI 
 và I·AC C· AE . Suy ra AD AE AI và 
 · · · · 
 DAE 2BAI 2CAI 2BAC 60 B C
 Vậy ΔADE đều.
Nhóm word tài liệu
 Trang 5 Dự án 1: Tự học Toán 8
 BÀI 5. Cho hình vuông ABCD , điểm E thuộc cạnh CD , điểm F thuộc cạnh BC . Chứng 
minh rằng chu vi CEF bằng nửa chu vi hình vuông khi và chỉ khi E· AF 45 
 Lời giải
 Trên tia đối của tia DC lấy DK BF, ADK ABF A B
 (c.g.c) nên AK AF, K· AF 90 .
 *Ta chứng minh mệnh đề " E· AF 45 thì chu vi CEF F
 bằng nửa chu vi hình vuông".
 E· AF 45 E· AK 45 EAK EAF (c.g.c )
 F D E C
 EK EF
 Do đó chu vi CEF bằng 
 CE CF EF CE CF EK 
 CE CF ED DK CE CF ED FB ( bằng nửa 
 chu vi hình vuông ).
*Ta chứng minh mệnh đề "Chu vi CEF bằng nửa chu vi hình vuông thì E· AF 45 "
 CE CF EF CB CD EF ED BF EF ED DK EK
 EAK EAF ( c.c.c ) E· AK E· AF E· AF 45 
 BÀI 6. Cho hình vuông ABCD , điểm M thuộc canh AB . Tia phân giác của M· CD cắt cạnh 
 AD ở N . Cho biết BM m, DN n . Tính độ dài CM theo m và n .
 Lời Bài 
 Trên tia đối của tia BA lấy điểm K sao cho BàiBK 9 
 DN n ;
 A M B
 ˆ ˆ · ·
 DCN BCK C1 C4 và DNC BKC (1)
 · · · ˆ
 Mà DNC NCB (so le trong) NDC C2 N
 ˆ ˆ ˆ ·
 C3 C4 C3 MCK ( 2 )
 3 4
 2
 1
 Từ (1) và (2) suy ra MCK cân tại M , vậy CM D C
 MK m n
Nhóm word tài liệu
 Trang 5 Dự án 1: Tự học Toán 8
 BÀI 7. Cho hình vuông A B C D nằm trong hình vuông ABCD sao cho thứ tự các đỉnh theo 
cùng một chiều như nhau ( tức là nếu vẽ hai đường tròn, mỗi đường tròn đi qua các đỉnh của một 
hình vuông, thì chiều đi trên đường tròn từ A lần lượt B,C, D và từ A lần lượt qua B ,C , D là 
như nhau). Chứng minh rằng trung điểm các đoạn thẳng AA , BB ,CC , DD là đỉnh của một hình 
vuông.
 Lời giải
 Gọi E, F, G,H thứ tự là trung điểm của AA’, BB’, CC’, DD’. 
 A B
 Gọi I , K là trung điểm BC’, CD’. F
 FI là đường trung bình BB 'C ' nên FI //B’C’ và 
 B'
 1 E I
 FI B C 1 A'
 2
 GK là đường trung bình CC ' D ' nên GK //C’D’ và C'
 1
 GK C ' D ' 2 D'
 2
 G
 Lại có B C C D và B C  C D 3 
 H K
 FI GK
 Từ 1 , 2 và 3 suy ra 4 
 FI  KG D C
 GI HK
Chứng minh tương tự ta có 5 
 GI  HK
 FI GK
Từ 4 và 5 ta có F· IG G· KH FIG GKH FG GK và GF  GH ( tính chất hai góc 
 IG KH
bằng nhau có cặp cạnh tương ứng vuông góc).
Chứng minh tương tự ta được GH HE EF FG , từ đó suy ra EFGH là hình vuông.
 BÀI 8. Cho hình vuông ABCD . Lấy các điểm E, F theo thứ tự thuộc các cạnh AD, AB sao 
cho AE AF . Gọi H là hình chiếu của A trên BE . Tính C· HF
 Lời giải
Nhóm word tài liệu
 Trang 5 Dự án 1: Tự học Toán 8
 Gọi K là giao điểm của AK và DC
 A F B
 Aˆ Bˆ
 1 1 1
 AD BA ADK BAE 1
 · ·
 ADK EAB
 DK AE AF BFKC là hình chữ nhật E H
 Gọi O là tâm hình chữ nhật BFKC O
 Xét HKB vuông tai H nên 
 1 1
 HO KB FC HCF vuông tai H. 
 2 2
 Vậy C· HF 90 .
 D K C
 BÀI 9. Cho điểm M thuộc cạnh CD của hình vuông ABCD . Tia phân giác của góc ABM cắt 
 AD ở I . Chứng minh: BI 2MI .
 Lời giải
 Vẽ MH  BI, MH cắt AB tại E .Do BI là phân giác B C
 3
 ·ABM 2
 1
 nên E đối xứng với M qua BI . Ta có
 ME 2MH 2MI (1) K M
 1
 Kẻ MK  AB , xét MKE và BAI có
 ˆ ˆ ( Góc có cạnh tương ứng vuông góc )
 B1 M1
 H
 MK BA
 ˆ ˆ 
 K A 90 A
 I D
 MKE BAI ME BI ( 2 ) E
 Từ 1 và 2 suy ra BI 2MI.
 BÀI 10. Vẽ ra phía ngoài của một tam giác các hình vuông cạnh là cạnh của tam giác. 
Chứng minh rằng:
 1) Các đoạn thẳng nối trung điểm một cạnh của tam giác với tâm các hình vuông dựng trên hai 
cạnh kia bằng nhau và vuông góc với nhau.
 2) Đoạn thẳng nối tâm hai hình vuông bằng và vuông góc với đoạn thẳng nối tâm hình vuông thứ 
ba với đỉnh chung của hai hình vuông trước. 
 Lời giải
Nhóm word tài liệu
 Trang 5 Dự án 1: Tự học Toán 8
 1
1) Vì A là tâm hình vuông cạnh BC nên A D BC . A
 2 B'
 1 C'
 Vì EF là đường trung bình ABC nên EF BC F E
 2
 C
Vây A D EF . (1) B D
Chứng minh tương tự: FD EB . (2)
 A'
Có A D  BC A D  FE (3)
 FD P AC
Lại có FD  EB (4)
 AC  EB 
Từ 3 , 4 B· EF F· DA (góc có cạnh tương ứng vuông góc) (5)
Từ 1 , 2 và 5 suy ra ADF FEB ( c.g.c )
 FA FB và F· B E ·A FD , mà EB  FD FB  FA 
b) Xét AFA và C FB có
 AF C ' F
 ( do C’ là tâm hình vuông cạnh AB )
 FB ' FA'(cmt)
 · · (góc có cạnh tương ứng vuông góc) 
 AFA' B ' FC '
 AFA C FB B C AA và B C  AA (cạnh tương ứng vuông góc của hai góc bằng 
nhau).
 BÀI 11. Cho tam giác ABC . Vẽ về phía ngoài tam giác các hình vuông ABDE, ACFG có tâm 
theo tứ tự M , N . Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của EG, BC .
 1) Chứng minh rằng KMIN là hình vuông.
 2) Nếu tam giác ABC có BC cố định và đường cao tương ứng bằng h không đổi thì I chuyển 
 động trên đường tròn nào?
 Lời giải
Nhóm word tài liệu
 Trang 5 Dự án 1: Tự học Toán 8
 1) Xét AEC và ABG có P
 G
 AE = AB
 · ·
 EAC = BAG (góc có cạnh tương ứng vuông góc) I
 AC = AG
 E N
 AEC ABG EC BG và EC  BG (cạnh 
 A
 tương ứng vuông góc).
 M
 Lại có: MK là đường trung bình BEC nên D
 1
 MK CE và MK // CE B H K C
 2
 1
 NK là đường trung bình CGB nên NK BG và
 2
 NK // BG
Do đó MK KN và MK  KN . Tứ giác KMIN có MK KN và MK  KN nên là hình vuông.
2) Do EA  AB và EA // PG nên PG  AB .
 PG  AB
 P· GA B· AC
 GA  AC
Xét PGA và BAC có
 PG BA( EA)
 P· GA B· AC PGA BAC (c-g-c)
 AG AC
 PA BC và PA  BC (cạnh tương ứng vuông góc của hai góc bằng nhau).
 1
Suy ra I chuyển động trên đường thẳng song song với BC , cách BC một khoảng h BC .
 2
 BÀI 12. Cho tứ giác ABCD . Gọi E, F, H theo thứ tự là tâm các hình vuông có cạnh 
 AB, BC,CD , DA dựng phía ngoài tứ giác. Chứng minh rằng
 1) Tứ giác EFGH có hai đường chéo bằng nhau và vuông góc với nhau.
 2) Trung điểm các đường chéo của các tứ giác ABCD, EFGH là đỉnh của một hình vuông.
 Lời giải
Nhóm word tài liệu
 Trang 5 Dự án 1: Tự học Toán 8
1)Gọi K là trung điểm của AC , theo bài 10 E
phần B
 a ) ta có KE KF, KE  KF, KH KG F
 A M
 KH  KG , suy ra FKH EKG (c.g.c). 
 H I
Suy ra FH EG và FH  EG . K
 2) Gọi M , N thứ tự là trung điểm của HF ,
 N
 EG thì KM , KN là các đường trung tuyến C
 D
tương ứng của hai tam giác trên, do đó 
 KM KN, KM  KN . Vậy MKN vuông cân 
tai K .
Gọi I là trung điểm của BD , chứng minh 
tương tự, IMN vuông cân tại I . Do đó IMKN G
là hình vuông.
 BÀI 13. Cho bốn điểm E,G, F, H . Dựng hình vuông ABCD có bốn đường thẳng chứa cạnh đi 
qua bốn điểm E,G, F, H
 Lời giải
Phân tích. Qua G , vẽ GI  EF , cắt CD ở K
 A G B
Ta có GG K FF E nên GK EF . Ta dựng được 
 HK làđường thẳng chứa cạnh hình vuông.
Cách dựng E
+ Dựng đường thẳng GI vuông góc với EF tại I .
+ Dựng điểm K trên GI sao cho GK EF . I
+ Dựng đường thẳng AD, BC lần lượt qua E, F F' F
vuông góc với HK tại D,C
+ Dựng đường thẳng qua G vuông góc với AD, BC 
tại A, B .
 D K G' H C
Biện luận. Qua G , có thể vẽ GI  EF , hoặc 
 GI  EH , hoặc GI  HF . Với mỗi cách trong ba 
cách trên, có hai cách chọn K
 (chẳng hạn trên đường thẳng GI  EF , có hai điểm K và K sao cho GK GK EF .
Do đó bài toán có 3 2 6 (nghiệm hình). Riêng trường hợp một trong hai điểm K hoặc K trùng 
với điểm thứ tư, bài toán có vô số nghiệm hình.
Nhóm word tài liệu
 Trang 5