Tài liệu Tự học Toán 8 - Phần 5

 Chương
 TỨ GIÁC
 1
 Bài 1
 Tứ giác
 Tóm tắt lý thuyết
 Phương pháp giải: 
 Định nghĩa 1. Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC,CD, DA trong đó bất kì hai đoạn thẳng 
 nào cũng không cùng nằm trên một đường thẳng.
 ✓ Các tứ giác được nghiên cứu trong chương là tứ giác lồi, đó là tứ giác luôn nằm trong một nữa 
 mặt phẳng mà bờ là đường thẳng chứa bát kì canh nào của tứ giác. Khi nói đến tứ giác mà không chú 
 thích gì thêm, ta hiểu đó là tứ giác lồi.
 Tính chất 1. Tổng bốn góc của một tứ giác bằng 360 .
 Một số ví dụ
 BÀI TẬP MẪU 
  Ví dụ 1. 
 Tứ giác ABCD có Bˆ Dˆ 180 ,CB CD.. Chứng minh rằng AC là tia phân giác của góc µA .
  Lời giải
Trên tia đối của tia DA lây diềm E sao cho DE AB . C
Ta có Bˆ ·ADC 180 , E· DC ·ADC 180 nên Bˆ E· DC .
 B
 Aˆ Eˆ
Ta có ABC EDC (c.g.c). Suy ra 1 (1)
 AC = EC 
Tam giác ACE có AC EC nên là tam giác cân, 1
 2
 ˆ ˆ A E
do đó A2 E 2 . D
Từ (1) và (2) suy ra AC là tia phân giác của góc A.
 Bài tập tự luyện
 Bài 1. 
Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc, AB 8 cm, BC 7 cm, AD 4 cm. Tính độ dài 
CD.
  Lời giải Gọi O là giao điểm của AC và BD A
 Ta có: 
 OC 2 OD2 OB2 OA2 BC 2 AD2
 72 42 65
 và OA2 OB2 AB2 64
 2 2 2 O
 Suy ra OC OD 1 hay CD 1 D B
 Vậy CD 1
 C
 Bài 2. 
Tứ giác ABCD có Aˆ Bˆ 50 . Các tia phân giác của góc C và D cắt nhau tại I và C· DI 115 . 
Tính các góc µA và Bµ.
  Lời giải
 Ta tính được Cˆ Dˆ 130 , do đó Aˆ Bˆ 230 . B
 Ta lại có Aˆ Bˆ 50 .
 Từ đó Aˆ 140 , Bˆ 90 . A
 I
 D C
 Bài 3. 
Cho tứ giác ABCD, E là giao điểm của các đường thẳng AB và CD, F là giao điểm của các đường 
thẳng BC và AD. Các tia phân giác của các góc E và F cắt nhau ở I . Chứng minh rằng 
 1) Nếu B· AD 130 , B· CD 50 thì IE vuông góc với IF.
 2) Góc EIF bằng nửa tổng của một trong hai cặp góc đối đỉnh của tứ giác ABCD . 
  Lời giải
 1) Cách giải tổng quát được áp dụng ở câu b . F
 2) Giả sử E và F có vị trí như trên hình bên, các tia phân giác 
 của góc E và F cắt nhau tại I . Trước hết ta chứng α α
 minhB· AD Cˆ 2E· IF . B
 H
 Thật vậy, gọi H và K là giao điểm của FI với AB và CD. A
 Theo tính chất góc ngoài của tam giác ta có 
 · ˆ ˆ ˆ I
 BAD H1 ,C K1 nên
 β
 B· AD Cµ H¶ K¶ (E· IF ¶ ) (E· IF ¶ ) 2E· IF β
 1 1 E
 D K C
 Do đó E· IF B· AD Cˆ : 2
 Bài 4. 
Chứng minh rằng nếu M là giao điểm các đường chéo của tứ giác ABCD thì MA MB 
 MC MD nhỏ hơn chu vi nhưng lớn hơn nửa chu vi tứ giác.
 Bài 5.
So sánh độ dài cạnh AB và đường chéo AC của tứ giác ABCD biết rằng chu vi tam giác ABD 
nhỏ hơn hoặc bằng chu vi tam giác ACD .
  Lời giải AB CD AC BD B
Cộng từng vế 
 AB BD AC CD
Suy ra 2AB 2AC AB AC A
 D C
 Bài 6. 
Tứ giác ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo, AB 6,OA 8,OB 4,OD 6 . Tính độ 
dài AD .
  Lời giải
 3
 x 
 x2 y2 36 2
Kẻ AH  OB. Đặt BH x, AH y. Ta có hệ 
 (x 4)2 y2 64 135
 y2 .
 4
 135
Do đó AD2 HD2 AH 2 11,52 166 . 
 4
Vậy AD 166
 Bài 7. 
Cho năm điểm trên mặt phẳng trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng bao 
giờ cũng có thể chọn ra được bốn điểm là đỉnh của một tứ giác lồi.
  Lời giải
Xét bốn điểm A, B,C, D . Nếu bốn điểm đó là đỉnh của 
một tứ giác lồi thì bài toán được chứng minh xong. Nếu A
bố điểm đó không là đỉnh của một tứ giác lồi thì tồn tại 
một điểm (giả sử điểm ) nằm trong tam giác có đỉnh là 
ba điểm còn lại (hình bên). Chia mặt phẳng thành chín 8 7
miền như hình vẽ, điểm thứ năm E nằm bên trong một 2 1
 3 6
miền (vì trong năm điểm không có ba điểm thẳng D
 5
hàng).Nếu E thuộc các miền 1,4,8, ta chọn bốn điểm 4
là A, D, B . Nếu E thuộc các miền 2, 5, 7 ta chọn E và B
 9 C
 A, D,C . Nếu E thuộc các miền 3,6,9 ta chọn E, B ,
 D,C. Bài 2
 HÌNH THANG
 Tóm tắt lý thuyết
 Định nghĩa 1. Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song
 Định nghĩa 2. Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.
 Tính chất 1. Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau, hai đường chéo bằng nhau.
 Để chứng minh một hình thang là hình thang cân, ta chứng minh hình thang đó có hai góc kề 
 một đáy bằng nhau, hoăc có hai đường chéo bằng nhau.
 Định nghĩa 3. Đoạn thẳng nối chung điểm hai cạnh bên của hình thang là đường trung bình của 
 hình thang.
 Tính chất 2. Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai 
 đáy.
 Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với 
 hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai và là đường trung bình của hình thang.
 Một số ví dụ
 BÀI TẬP MẪU 
  Ví dụ 1. 
 Cho tam giác ABC có BC a . Các đường trung tuyến BD,CE . Lấy các điểm M , N trên cạnh 
 BC sao cho BM MN NC . Gọi I là giao điểm của AM và BD, K là giao điểm AN và CE . 
 Tính độ dài IK.
  Lời giải
 Dễ thấy DN là đường trung bình của ACM nên DN P AM A
 BM MN
 Trong BND có nên I là trung điểm của BD. 
 MI P ND
 E D
 Tương tự K là trung điểm của CE.
 Hình thang BEDC có I và K là trung điểm của hai đường I K
 chéo nên dễ dàng chứng minh được
 B C
 a M N
 BC DE a a
 IK 2 .
 2 2 4
 Ví dụ 2. 
Một hình thang cân có các đường cao bằng nửa tổng hai đáy. Tính góc tạo bởi hai đường chéo của 
hình thang.
  Lời giải Xét hình thang cân ABCD AB PCD , đường cao BH và A B
 AB CD
 BH (1)
 2
 Qua B kẻ đường thẳng song song với AC , cắt DC ở E.
 BE AC
 E
 Ta có nên BE BD D H C
 AC BD
 Tam giác BDE cân tại B, đường cao BH nên 
 DE
 DH HE (2).
 2
 Ta có AB CE nên AB CD CE CD DE (3).
 Từ 1 , 2 và 3 suy ra BH DH HE.
 Các tam giác BHD, BHE vuông cân tại H nên D· BE 90 .
 BD  BE
 Ta có nên DB  AC .
 AC PBE
 Bài tập tự luyện
 Bài 1.
Cho một hình thang có hai đáy không bằng nhau. Chứng minh rằng
 1) Tổng hai góc kề đáy nhỏ lớn hơn tổng hai góc kề đáy lớn.
 2) Tổng hai cạnh bên lớn hơn hiệu hai đáy.
  Lời giải
Qua một đỉnh của đáy nhỏ, kẻ đường thẳng song song với cạnh bên của hình thang.
 Bài 2.
Hình thang ABCD có Aˆ Dˆ 900, đáy nhỏ AB 11 cm, AD 12 cm, BC 13 cm. Tính độ dài 
AC.
  Lời giải
Kẻ BH  CD A B
Ta tính được CH 5 cm,CD 16 cm.
Từ đó 20 cm .
 D H C
 Bài 3.
Hình thang ABCD AB PCD có E là trung điểm của BC, A· ED 90 . Chứng minh rằng DE là tia 
phân giác của góc D.
  Lời giải
Gọi K là giao điểm của AE và DC.
Khi đó ABE KCE g.c.g 
Suy ra AE EK. Vậy ADK cân.
Từ đó DE là phân giác của góc D. A B
 E
 2
 1
 D K
 C
 Bài 4.
Hình thang cân ABCD AB PCD có đường chéo BD chia hình thang thành hai tam giác cân ABD 
cân tại A và tam giác BCD cân tại D . Tính các góc của hình thang cân đó.
  Lời giải
 Đặt ·ADB x . Ta tìm được x 36 . A B
 Các góc của hình thang bằng 72 ,72 ,108 ,108 .
 D C
 Bài 5. 
Trên đoạn thẳng AB lấy một điểm M (MA MB) . Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ AB, vẽ tam 
giác đều AMC, BMD. Gọi E, F, I, K theo thứ tự là trung điểm của CM ,CB, DM , DA. Chứng minh 
 1
rằng EFIK là hình thang cân và KF CD.
 2
  Lời giải
 Chứng minh EF PKI, E· KI F· IK 60 C
 CD
 Suy ra KF EI 
 2
 F
 E D
 K I
 A M B
 Bài 6. 
Cho điểm M nằm bên trong tam giác đều ABC. Chứng minh rằng trong ba đoạn thẳng MA, MB, MC
đoạn lớn nhất nhỏ hơn tổng hai đoạn kia.
  Lời giải Qua M vẽ MD P AB , vẽ ME PBC , vẽ MF P AC , được ba hình A
thang cân, do đó MA DE, MB EF, MC DF các đoạn 
thẳng MA, MB, MC là độ dài của các cạnh của DEF nên D
đoạn lớn nhất nhỏ hơn tổng của hai đoạn kia.
 E M
 B F C
 Bài 7. 
Cho tam giác ABC , trọng tâm G .
 1) Vẽ đường thẳng d đi qua G , cắt các đoạn thẳng AB, AC . Gọi A , B ,C là hình chiếu của
A, B,C trên d. Tìm mối liên hệ giữa các độ dài AA , BB ,CC .
 2) Nếu đường thẳng d nằm ngoài tam giác ABC và G là hình chiếu của G trên d thì các 
 độ dài AA , BB ,CC ,GG có liên hệ gì?
  Lời giải
1) Lấy điểm I trên đường trung tuyến AM A
sao cho I là trung điểm của AG. Kẻ 
 I
 AA , BB ,CC , II , MM vuông góc với d . C' d
 M'
Khi đó AA BB CC . B'
 A' G
 C
 B M
2) Gọi BE là đường trung tuyến của A
 VABC, M là trung điểm của BG.
 E
 G
Vẽ AA , BB ,CC , EE ,GG , MM vuông M
góc với D B C
Ta có: 
 MM EE 2GG B'
 A'M'
 G'
 2MM 2EE 4GG E'
 d
 BB GG AA CC 4GG C'
 AA BB CC 3GG 
 Bài 8. 
Trên đoạn thẳng AB lấy các điểm M và N (M nằm giữa A và N ). Vẽ về một phía của AB các tam 
giác dều AMD, MNE, BNF. Gọi G là trọng tâm của tam giác DEF. Chứng minh rằng khoảng cách 
từ G đến AB không phụ thuộc vào vị trí của điểm M , N trên đoạn AB.
  Lời giải Gọi K là giao điểm của AD, BF thì ABK đều.
Trước hết chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ D, E , F dến AB bằng đường cao KH h 
của KAB (h không đối). 
 h
Do đó khoảng cách từ G đến AB bằng .
 3
 Bài 9. Tứ giác ABCD có E, F theo thứ tự là trung điểm của AD, BC .
 AB CD
1) Chứng minh rằng EF .
 2
 AB CD
2) Tứ giác ABCD có điều kiện gì thì EF .
 2
  Lời giải
1) Gọi K là trung điểm AC .
 AB CD
Ta có EF KF KE , từ đó 2EF AB CD nên EF 
 2
 AB CD
2) Ta có EF E, K, F thẳng hàng AB∥ CD .
 2
 Bài 10. Tứ giác ABCD có AB CD . Chứng minh rằng đường thẳng đi qua trung điểm của hai 
đường chéo tạo với AB và CD các góc bằng nhau.  Lời giải
Gọi M là trung điểm của AD, I, K là
trung điểm của AC, BD .
Đường thẳng IK cắt AB,CD ở E, F .
 ˆ ˆ
Tam giác MIK cân nên K1 I1
 ˆ ˆ
Ta lại có K1 E1 (so le trong, AB∥ KM )
 ˆ ˆ
Lại có I1 F1 (so le trong, IM ∥ CD )
 ˆ ˆ
Vậy E1 F1
 Bài 11. Trong tứ giác ABCD , gọi A , B ,C , D thứ tự là trọng tâm của các tam giác 
BCD, ACD , ABD, ABC . Chứng minh rằng bốn đường thẳng AA , BB ,CC , DD đồng quy.
  Lời giải
Gọi E, F là trung điểm của AC và BD
Điểm I là trung điểm của A C .
Ta có EI ∥ AA , so đó AA đi qua trung điểm M của EF .
Tương tự BB ,CC , DD cũng đi qua M