Tài liệu ôn tập môn Toán Lớp 8 - Bài 1: Hình chữ nhật

 TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC
 BÀI 1: HÌNH CHỮ NHẬT
 I, ĐỊNH NGHĨA:
 - Tứ giác có 4 góc vuông là hình chữ nhật. (H1)
 A B
 C
TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC D
 II. TÍNH CHẤT:
 - Hình chữ nhật có tất cả các tính chất của hình bình hành và hình thang cân.
 - Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
 - Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền và ngược 
 lại.
 III. DẤU HIỆU NHẬN BIẾT:
 - Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.
 - Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật.
 - Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.
 - Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật
 IV. BÀI TẬP VẬN DỤNG:
 Bài 1: Cho ABC vuông tại A có đường cao AH. Kẻ HD  AB,HE  AC .
 a) Tứ giác ADHE là hình gì? Vì sao?
 b) Gọi O là giao điểm của AH và DE. Chứng minh OA OH OD OE .
 A
 E
 O
 D
 B H C
 Lời giải
 a)Vì ABC vuông tại A B· AC 900 hay D· AE 900
 Vì HD  AB tại D ·ADH 900
 Vì HE  AC Tại E ·AEH 900
 Xét tứ giác ADHE có:
 Trang 1 TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC
 D· AE ·ADH ·AEH 900
 Tứ giác ADHE là hình chữ nhật( Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật).
 b)Vì tứ giác ADHE là hình chữ nhật 
 2 đường chéo AH và DE cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (T/c hình chữ nhật)
 Mà O là giao điểm hai đường chéo AH và DE
 OA OH OD OE
 Bài 2: Cho ABC vuông tại A có AB 3cm,AC 4cm . M là trung điểm của BC. Từ M kẻ hai 
 đường thẳng song song với AC và song song với AB cắt AB và AC lần lượt tại E và F.
 a) Tính độ dài BC.
 b) Các tứ giác BEFC, AEMF là hình gì? Vì sao?
 c) Gọi O là trung điểm của EF. 
 Chứng minh A và M đối xứng qua O.
TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC
 A
 E O F
 B M C
 Lời giải:
 a)Xét ABC vuông tại A có:
 BC 2 AB2 AC 2 ( Định lý Pytago)
 Hay BC 2 32 42 9 16 20
 BC 5 cm 
 b)Xét ABC có:
 MB MC
 EA EB (1) ( Tính chất đường trung bình của tam giác)
 ME / /AB
 MB MC
 FA FC (2) ( Tính chất đường trung bình của tam giác)
 MF / /AB
 Từ (1) và (2) EF là đường trung bình của ABC
 EF / /BC
 Xét tứ giác BEFC có: EF / /BC
 Tứ giác BEFC là hình thang( Dấu hiệu nhận biết hình thang)
 • Xét tứ giác AEMF có:
 MF / /AE ( Vì MF / /AB, E AB )
 ME / /AF( Vì ME / /AC , F AC )
 Tứ giác AEMF là hình bình hành ( Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
 Mà E· AF 900 ( Vì ABC vuông tại A)
 hình bình hành AEMF là hình chữ nhật ( Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
 c) Vì tứ giác AEMF là hình chữ nhật ( Chứng minh trên)
 2 đường chéo AM và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (Tính chất hình chữ nhật)
 Trang 2 TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC
 Mà O là trung điểm của EF
 O là trung điểm của AM
 A và M đối xứng qua O.
 Bài 3: Cho ABC vuông tại A có AH là đường cao, đường trung tuyến AM. Qua H kẻ đường thẳng 
 song song với AB và AC lần lượt cắt AC ở P và AB ở D. DP cắt AH ở O và AM ở Q.
 a) Chứng minh AH DP .
 b) MAC là tam giác gì? Vì sao?
 APQ
 c) Chứng minh vuông ở Q. A
 P
 O
 Q
TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC D
 B H M C
 Lời giải
 a)Xét tứ giác ADHP có:
 HP / /AD ( Vì HP / /AB , D AB)
 HD / /AP ( Vì HD / /AC , P AC )
 Tứ giác ADHP là hình bình hành ( Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
 Mà D· AP 900 ( Vì ABC vuông tại A)
 hình bình hành ADHP là hình chữ nhật ( Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
 AH = DP ( Tính chất hình chữ nhật).
 b)Vì AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông ABC
 BC
 AM MB MC 
 2
 Xét MAC có AM = MC
 MAC cân tại M
 c)Vì MAC cân tại M M· AC M· CA hay M· AC M· CA (1)
 Vì tứ giác ADHP là hình chữ nhật ( Chứng minh trên)
 O· AP O· PA hay H· AC Q· PA (2)
 Xét AHC vuông tại H có 
 H· AC H· CA 900 ( Tính chất tam giác vuông) (3)
 Từ (1),(2),(3) Q· PA Q· AP 900
 Xét APQ có: Q· PA Q· AP ·AQP 1800 ( Tính chất tổng số đo 3 góc của tam giác)
 Hay: 900 ·AQP 1800
 ·AQP 1800 900 900
 Vậy APQ vuông tại Q
 Bài 4: Cho ABC vuông ở A có AH là đường cao. Gọi P và Q lần lượt là hình chiếu của H xuống 
 AB và AC. Gọi I là trung điểm của HB, K là trung điểm của HC. AH cắt PQ ở O.
 Trang 3 TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC
 a) Tứ giác APHQ là hình gì? Vì sao?
 b) Chứng minh K· QH K· HQ và K· QO 900 .
 c) Tính Q· PI . A
 d) Chứng minh PI // QK.
 Q
 O
 P
 B I H K C
 Lời giải:
TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC a)Vì ABC vuông tại A B· AC 900 hay P· AQ 900
 Vì P là hình chiếu của H lên AB HP  AB tại P ·APH 900
 Vì Q là hình chiếu của H lên AC HQ  AC tại Q ·AQH 900
 Xét tứ giác APHQ có : P· AQ ·APH ·AQH 900
 Tứ giác APHQ là hình chữ nhật( Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
 b)Vì QK là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông QHC
 QK = KH = KC ( Tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền )
 Xét QKH có QK = KH QKH cân tại K K· QH K· HQ ( Tính chất tam giác cân) (1)
 Vì tứ giác APHQ là hình chữ nhật O· QH O· HQ (Tính chất hình chữ nhật) (2)
 Mà O· HQ K· HQ 900 (Vì AH  BC ) (3)
 Từ (1), (2), (3) O· QH K· QH 900 K· QO 900
 c) Vì PI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông PBH
 PI = IB = IH ( Tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền )
 Xét PIH có PI = IH PIH cân tại I I·PH I·HP ( Tính chất tam giác cân) (1)
 Vì tứ giác APHQ là hình chữ nhật O· PH O· HP (Tính chất hình chữ nhật) (2)
 Mà I·HP O· HP 900 (Vì AH  BC ) (3)
 Từ (1), (2), (3) I·PH O· PH 900 O· PI 900
 d)Vì B· IP là góc ngoài tại đỉnh I của PIH B· IP I·PH I·HP
 Mà : I·PH I·HP
 B· IP 2I·HP (1)
 Vì H· KQ là góc ngoài tại đỉnh I của KQC H· KQ K· QC K· CQ
 Mà : K· QC K· CQ
 H· KQ 2K· CQ (2)
 Vì tứ giác APHQ là hình chữ nhật PH//AQ; Mà C AQ PH / /AC
 I·PH K· CQ (3)
 Từ (1), (2), (3) B· IP H· KQ
 Trang 4 TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC
 Mà B· IP; H· KQ ở vị trí đồng vị
 PI//QK
 b) Vì QK là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông QHC
 QK = KH = KC ( Tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền )
 Xét QKH có QK = KH QKH cân tại K K· QH K· HQ ( Tính chất tam giác cân) (1)
 Bài 5: Cho ABC vuông tại A, M là trung điểm của BC. Gọi D, E theo thứ tự là chân đường vuông 
 góc kẻ từ M đến AB, AC.
 a) Chứng minh AM DE .
 b) Gọi I là trung điểm của BM, K là trung điểm của CM. Tứ giác DIKE là hình gì? Vì sao?
 c) ABC cần có thêm điều kiện gì để tứ giác DIKE là hình chữ nhật.
 A
TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC
 D E
 B I M K C
 Lời giải:
 a)Vì ABC vuông tại A B· AC 900 hay D· AE 900
 Vì D là chân đường vuông góc kẻ từ M xuống AB MD  AB tại D ·ADM 900
 Vì E là chân đường vuông góc kẻ từ M xuống AC ME  AC tại E ·AEM 900
 Xét tứ giác ADME có : D· AE ·ADM ·AEM 900
 Tứ giác ADME là hình chữ nhật( Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
 AM DE ( Tính chất hình chữ nhật)
 b) Vì DI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông DBM
 DI = IB = IM ( Tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền )
 Xét DIM có DI = IM DIM cân tại I I·DM I·MD ( Tính chất tam giác cân) (1)
 Vì EK là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông EMC
 EK = KM = KC ( Tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền )
 Xét EKM có EK = KM EKM cân tại K K· EM K· ME ( Tính chất tam giác cân) (2)
 Vì B· ID là góc ngoài tại đỉnh I của DIM B· ID I·DM I·MD
 Mà : I·DM I·MD
 B· ID 2I·MD (3)
 Vì M· KE là góc ngoài tại đỉnh K của EMC M· KE K· EC K· CE
 Mà : K· EC K· CE
 M· KE 2K· CE (4)
 Mà I·MD K· CE (5) Từ (3),(4),(5) B· ID M· KE DI//EK
 Trang 5 TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC
 Vì B· ID M· KE D· IM E· KC
 Ta có: BM = MC ( Vì M là trung điểm BC)
 BI = IM ( Vì I là trung điểm BM)
 MK = KC ( Vì K là trung điểm MC)
 IM = CK
 Xét DIM và EKC có:
 I·MD K· CE ; IM = KC; D· IM E· KC
 DIM = EKC(g.c.g) DI = KE 
 Xét tứ giác DIKE có: DI//KE; DI = KE
 Tứ giác DIKE là hình bình hành( Dấu hiệu nhận biết hình bình hành).
 c) Để tứ giác DIKE là hình chữ nhật thì D· IK 900 DI  BM
TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC
 Xét DBM có DI là đường trung tuyến đồng thời là đường cao
 DBM cân tại D; mà DBM vuông
 DBM vuông cân tại D
 D· BM 450 hay ·ABC 450
 Xét ABC vuông có ·ABC 450
 ABC vuông cân
 Vậy để tứ giác DIKE là hình chữ nhật thì ABC vuông cân tại A
 Bài 6: Cho ABC vuông tại C có AC BC . I là trung điểm của AB. Kẻ IE  BC tại E. Kẻ IF  AC 
 tại F.
 a) Chứng minh tứ giác CEIF là hình chữ nhật.
 b) Gọi H là điểm đối xứng của I qua F. Chứng minh tứ giác CHFE là hình bình hành.
 c) CI cắt BF tại G, O là trung điểm của FI. Chứng minh ba điểm A, O, G thẳng hàng.
 H C
 E
 F
 G
 O
 A I B
 Lời giải:
 a)Ta có: F· CE 900 ( Vì ABC vuông tại C)
 C· FI 900 ( Vì IF  AC )
 C· EI 900 ( Vì IE  BC )
 Xét tứ giác CEIF có: F· CE C· FI C· EI 900
 Trang 6 TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC
 Tứ giác CEIF là hình chữ nhật ( Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật).
 b)Vì tứ giác CEIF là hình chữ nhật CE / /IF 1 ;CE IF 2 
 Vì H đối xứng với I qua F H IF 3 ;HF IF 4 
 Từ (1),(3) CE//HF
 Từ (2),(4) CE = HF
 Xét tứ giác CHFE có: CE//HF; CE = HF
 Tứ giác CHFE là hình bình hành ( Dấu hiệu nhận biết hình bình hành).
 c)Xét ACB có:
TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC +) IA IB ( Vì I là trung điểm của AB)
 IF / /CB ( Vì tứ giác CEIF là hình chữ nhật)
 FC FA ( Tính chất đường trung bình của tam giác)
 BF là đường trung tuyến của ACB
 +) IA IB ( Vì I là trung điểm của AB)
 FE / /AC ( Vì tứ giác CEIF là hình chữ nhật)
 EC = EB ( Tính chất đường trung bình của tam giác)
 AE là đường trung tuyến của ACB (5)
 Ta có CI và BF là 2 đường trung tuyến của ACB cắt nhau tại G
 G là trọng tâm của ACB
 AG là đường trung tuyến của ACB (6)
 Từ (5), (6) A,G,E thẳng hàng (a)
 Xét ACB có : IA IB;EC EB IE là đường trung bình của ACB
 +) IE / /AC ; mà F AC IE / /AF
 1 1
 +) IE AC ; mà AF AC IE AF
 2 2
 Xét tứ giác AFEI có: IE//AF; IE = AF
 Tứ giác AFEI là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
 Hai đường chéo AE và FI cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
 Mà O là trung điểm của IF
 O là trung điểm của AE
 A,O,E thẳng hàng (b)
 Từ (a),(b) A,O,G thẳng hàng.
 Trang 7 TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC
 Bài 7: Cho ABC vuông tại A có AB AC , có đường cao AH và đường trung tuyến AE. Từ E vẽ 
 EF  AC tại E. Vẽ ED  AB tại D.
 a) Chứng minh tứ giác ADEF là hình chữ nhật.
 b) Chứng minh tứ giác BDFE là hình bình hành.
 c) Chứng minh tứ giác DFEH là hình thang cân.
 d) Gọi L là điểm đối xứng với E qua F, K là điểm đối xứng với B qua F.
 Chứng minh A, L, K thẳng hàng.
 A L K
 D F
TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC
 B H E C
 Lời giải
 a) Xét tứ giác ADEF có:
 ·ADE D· AF ·AFE 90 , gt 
 ADEF là hình chữ nhật (đpcm).
 b) Xét ABC vuông tại A có AE là đường trunn tuyến
 BC
 AE BE EC (t/c đường trung tuyến trong tam giác vuông).
 2
 AEB cân tại E , mà DE  AB D là trung điểm của AB (t/c tam giác cân).
 - Xét ABC có:
 EF //AB  AC, gt 
 BC EF là đường trung bình trong ABC (dhnb).
 EB EC , gt 
 2 
 AB
 EF BD AD .
 2
 - Xét tứ giác BDEF có:
 EF //BD
 BDEF là hình bình hành (dhnb).
 EF BD
 c) Xét tứ giác DHEF có HE//DF (vì BDEF là hbh, cmt )
 DHEF là hình thang. 
 - Xét ABC vuông tại A có 
 DE//AC  AB 
 BC DE là đường trung bình trong tam giác ABC
 BE EC ; gt 
 2 
 AC
 DE (t/c đường trung bình trong tam giác).
 2
 Trang 8 TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC
 - Nối H với F . Xét tam giác AHC vuông tại H có:
 HF là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC (vì F là trung điểm AC ,cmt)
 AC
 HF (t/c).
 2
 - Xét là hình thang DHEF có đường chéo:
 AC 
 HF DE ,cmt . Vậy DHEF là hình thang cân (dhnb).
 2 
 d) Xét tứ giác AKCB có:
 AC , BK là đường chéo
 F là trung điểm của AC (cmt)
 F là trung điểm của BK (gt)
 AC  BK F
TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC
 AKCB là hình bình hành (dhnb)
 AK //BC (tc) hay LK //BC L AK (1)
 - Xét tứ giác ALCE có:
 AC , EL là đường chéo
 F là trung điểm của AC (cmt)
 F là trung điểm của EL (gt)
 AC  EL F
 ALCE là hình bình hành (dhnb)
 AL//EC (tc) hay AL//BC E BC (2)
 Từ (1) và (2), suy ra: A, L, K thẳng hàng (tiên đề Ơ-Clit).
 Bài 8: Cho ABC vuông tại A, Gọi H là điểm bất kỳ trên cạnh BC ( H không trùng với B, C). Vẽ 
 HI  AB tại I, Vẽ HK  AC tại K.
 a) Chứng minh tứ giác AIHK là hình chữ nhật và AH IK .
 b) Lấy điểm D đối xứng với H qua điểm K. Chứng minh DI đi qua trung điểm M của AK.
 1
 c) Gọi O là giao điểm của HM với AD. Chứng minh MO DI .
 6
 Lời giải
 a) Xét tứ giác AIHK có:
 Trang 9 TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC
 I·AK ·AKH ·AIH 90 , gt 
 AIHK là hình chữ nhật (đpcm).
 Vì AIHK là hình chữ nhật (cmt)
 AH IK (t/c).
 b) Vì AIHK là hình chữ nhật (cmt)
 HK //IA
 HK IA
 DK //IA D HK 
 DK IA HK 
 ADKI là hình bình hành.
 Xét hình bình hành ADKI có:
TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC
 AK, DI là hai đường chéo;
 M ID  AK
 Vậy ID đi qua trung điểm M của AK (t/c).
 c) Gọi G HM  IK
 - Xét IDH có:
 IK là đường trung tuyến ( K là trung điểm của HD )
 HM là đường trung tuyến ( M là trung điểm của ID , vì ADKI cmt)
 G là trong tâm của IDH .
 GH MH
 MG (t/c trọng tâm tam giác). (1)
 2 3
 - Xét OHD có:
 GK //OD IK //AD, ADKI la hbh,G IK 
 K là trung điểm HD 
 GK là đường trung bình OHD 
 G là trung điểm OH (t/c đường trung bình)
 GO GH (2)
 MH
 Từ (1) và (2), suy ra: MO MG . Mà MH MD (vì MHD cân tại M )
 3
 ID
 Biết MD MI ( ADKI là hbh, cmt)
 2
 ID
 ID 1
 MO 2 . Vậy MO DI (đpcm).
 3 6 6
 Bài 9: Cho ABC vuông tại A có M là trung điểm của BC, Gọi D và E lần lượt là các đường vuông 
 góc hạ từ M xuống AB và AC.
 a)Chứng minh tứ giác ADME là hình chữ nhật và D là trung điểm của AB.
 b) Chứng minh tứ giác DBME là hình bình hành.
 c) Gọi N là điểm đối xứng với E qua M. Vẽ EK  BC tại K. Chứng minh AK  KN .
 Trang 10