Đề cương ôn thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2020 (Chuyên đề 8) - Trường THPT chuyên Bảo Lộc

Tổ Toán Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia 2020 
Lưu hành nội bộ Trang 108 
α
O H
M
b'c'
h
a
c b
A
B CH M
ha
c b
a
A
B C
CHUYÊN ĐỀ 8: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 
1. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 
1.1. Kiến thức liên quan 
1.1.1. Tỉ số lượng giác của góc nhọn 
sin
MH
OM
α• = 
cos
OH
OM
α• = 
tan
MH
OH
α• = 
cot
OH
MH
α• = 
1.1.2. Hệ thức lượng trong tam giác vuông 
Cho ABC∆ vuông ở A 
• Định lý Pitago: 2 2 2BC AB AC= + hay 2 2 2a b c= + 
• 2 2. ; .BA BH BC CA CH CB= = hay 2 2. ', . 'b a b c a c= = 
• . . AB AC BC AH= hay bc ah= 
• 
2 2 2
1 1 1
AH AB AC
= + hay 
2 2 2
1 1 1
h b c
= + 
• 2BC AM= 
1.1.3. Hệ thức lượng trong tam giác thường 
 • Định lý hàm số Côsin: 2 2 2 2 .cosa b c bc A= + − 
 • Định lý hàm số Sin: 2
sin sin sin
a b c
R
A B C
= = = 
1.1.4. Các công thức tính diện tích. 
a. Công thức tính diện tích tam giác. 
 • 
1 1 1
.
2 2 2a b c
S a h bh ch= = = 
 • 
1 1 1
sin sin sin
2 2 2
S ab C bc A ca B= = = 
• 
3
.
183
.
8ABC ...
3 8 24
S CDMN CDMN ABC BCM AMNV SH S SH S S S
a a a
= = − −
= =
*Nhận xét: Trong nhiều bài toán yếu tố quan trọng chính là chiều cao. Với khối chóp cần chính 
xác hóa đường cao (chân đường cao) của hình chóp. Ở đây ta có thể liệt kê một số trường hợp 
thường gặp sau: 
Ví dụ 2. 
Tính thể tích khối chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài tất cả các cạnh bằng a. 
Lời giải 
 Gọi H là tâm của hình vuông 
Vì .S ABCD là hình chóp đều nên ( )SH ABCD⊥ 
Do đó, .
1
.
3S ABCD ABCD
V SH S= 
Vì ABCD là hình vuông nên 2 2ABCDS AB a= = (đvdt) 
Ta có 2 2 2 2 2 22SA SC AB BC AC a+ = + = = 
nên SAC∆ vuông tại S, mà H là trung điểm của AC nên 
2
2 2
AC a
SH = = 
2 3
.
1 1 2 2
. . .
3 3 2 6S ABCD ABCD
a
V SH S a a⇒ = = = (đvtt) 
 *Nhận xét: Với khối chóp đều, chiều cao chính là đoạn thẳng nối đỉnh và tâm của đáy 
Ví dụ 3. 
Tính thể tích khối chóp tam giác đều S.ABC, biết cạnh đáy bằng a và các cạnh bên hợp 
H
D C
A
B
S
M
N
Tổ Toán Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia 2020 
Lưu hành nội bộ Trang 111 
d
b
a
d'
α
φφ
β
α
d
600A
C
B
S
MH
đáy góc 060 . 
Lời giải 
 Gọi H là tâm của tam giác ABC , M là trung điểm của BC 
Vì .S ABC là hình chóp đều nên ( )SH ABC⊥ 
Do đó, .
1
.
3S ABC ABC
V SH S= 
Vì ABC là tam giác đều nên AM BC⊥ 
Trong tam giác vuông ACM , 
2 2
2 2 2 2 3 3
4 4 2
a a
AM AC CM a AM a= − = − = ⇒ = (1) 
 2
1 3
.
2 4ABC
S AM BC a⇒ = = (đvdt) (2) 
Mà ta lại có ,AM BC SH BC⊥ ⊥ nên SM BC⊥ . Do đó, Góc giữa mặt phẳng ( )SBC và mặt 
phẳng ( )ABC bằng góc giữa SM và AM hay góc 
 060SMA = . 
Do H là trọng tâm tam giác ABC nên 
1 3
3 6
HM AM a= = 
Trong tam giác vuông SHM , 
 0tan .tan 60
2
SH a
SMH SH HM
HM
= ⇒ = = 
2 3
.
1 1 3
.
3
24
. .
3 3 2 4S ABC ABC
a
V SH S a a⇒ = = = (đvtt) 
*Ghi nhớ: 
+ Cách xác định góc giữa đt d và mặt phẳng ( )α : 
 -Nếu ( )d α⊥ thì góc giữa d và ( )α bằng 090 
 -Nếu ( )d α⊥ thì góc giữa d và ( )α bằng góc giữa d và d’ là hình chiếu của d trên ( )α 
+Cách xác định góc g... bên kề nhau cùng vuông góc với đáy thì đường 
cao là giao tuyến của hai mặt đó. 
Ví dụ 8. 
 Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, , 2AB a BC a= = . Các cạnh 
bên 2SA SB SC a= = = . Tính thể tích khối chóp .S ABC . 
Lời giải 
Gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng ( )ABC 
vì các đường xiên SA SB SC= = nên các hình chiếu 
tương ứng HA HB HC= = 
Do đó, H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 
 ABC mà tam giác ABC vuông tại A nên H là trung điểm của BC. 
Vì SBC là tam giác đều cạnh 2a nên đường cao 
3
2 . 3
2
SH a a= = 
Theo định lí Pitago, 
2
2 2 2 1 33 3 .
2 2ABC
a
AC BC AB a AC a S AB AC= − = ⇒ = ⇒ = = (đvdt) 
Nên thể tích khối chóp là: 
3
.
1
.
3 2S ABC ABC
a
V SH S= = (đvtt) 
*Nhận xét: 
Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau (hoặc hợp đáy góc bằng nhau) thì chân đường cao là 
tâm đường tròn ngoại tiếp đáy. 
Ví dụ 9. (Đề TSĐH khối A năm 2009) 
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A,D; AB=AD=2a, CD=a, góc 
giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600. gọi I là trung điểm của AD. Biết hai mặt 
phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính .S ABCDV 
Lời giải. 
Gọi H là hình chiếu của I trên BC 
Từ giả thiết suy ra SI vuông góc với mặt đáy. Ta có thể dễ dàng tính được: 
2, 5IC a IB BC a= = = , 
 ( ) 21 . 3
2ABCD
S AD AB CD a= + = 
Ta có 
1
.
2 IBC ABCD ABI CDI
IH BC S S S S= = − − 
Tổ Toán Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia 2020 
Lưu hành nội bộ Trang 114 
450
C B
D A
C'
D' A'
B'
2 2
2 2 33
2 2
a a
a a= − − = 
nên 
2 3 3
5
BCISIH a
BC
= = . 
Từ đó tìm được 3.
3 15
5S ABCD
V a= (đvtt) 
Ví dụ 10. 
 Hai cạnh đối diện của một tứ diện có độ dài bằng x, các cạnh khác đều có độ dài bằng 
1. Với giá trị nào của x thể tích của tứ diện đạt giá trị lớn nhất ? 
Lời giải 
Giả sử SA = BC = x, các cạnh khác của tứ diện có độ dài bằng 1. Gọi I, D lần lượt là trung 
điểm của BC & SA. 
Ta có: SA ⊥ (BCD). Do đó: 
1 1
. . .
3 6
V dt BCD SA BC ID SA= ∆ = 
mà