Đề cương ôn thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2020 (Chuyên đề 10+11) - Trường THPT chuyên Bảo Lộc

CHUYÊN ĐỀ 10: PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, 
HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
1. Sử dụng phương pháp biến đổi: biến đổi tương đương, phân tích thành phương trình dạng tích, nhân chia biểu thức liên hợp
Ví dụ 1. (Trích đề thi ĐH Khối A - 2004) Giải bất phương trình: .
Lời giải
 ĐK: 
Bpt 
VT(*) < 0 (do nên (*) vô nghiệm
Ví dụ 2. Giải bất phương trình sau: (2)
Lời giải
Ta xét hai trường hợp: 
TH 1: , khi đó bpt luôn đúng.
TH 2: BPT .
Vậy tập nghiệm của bpt đã cho là: .
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình: .
Lời giải 
 ĐK: 
Từ (3) & (2) ta có x=y=1. 
Từ (4) & (2) ta có 
Vậy hệ phương trình đã cho có 3 nghiệm 
Ví dụ 4. (Trích Báo TH&TT) Giải hệ phương trình: 
Lời giải 
ĐK: 
Ta có 
 Vì nên phương trình (4) vô nghiệm.
 Từ (3) và (2) ta có . 
Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm 
Ví dụ 5. (Trích đề thi HSG QG 1996) Giải hệ phương trình: 
Lời giải 
ĐK 
Dễ thấy x = 0 hoặc y = 0 không thõa mãn hệ. 
Với x >0, y >0 ta có 
( nhân vế với vế)
 (vì x, y dương).
Thay...n tập: Giải phương trình, hệ phương trình sau 
3.Phương pháp hàm số.
 	Phương pháp hàm số là một trong những phương pháp quan trọng để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình. Muốn làm tốt phương pháp này ngoài việc nắm chắc các kĩ thuật sử dụng hàm số còn cần phải chú ý những sai lầm thường gặp trong phương pháp này. Khi giải các bài toán này thường sử dụng một trong các tính chất sau:
Cho K là một khoảng ( hoặc là nửa khoảng, hoặc là đoạn)
Tính chất 1: Cho hàm số liên tục trên K, nếu hàm số luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên K thì phương trình (c là hằng số) có nhiều nhất một nghiệm trên K.
Tính chất 2: Cho hàm số liên tục trên K, nếu hàm số luôn đồng biến trên K, luôn nghịch biến trên K thì phương trình có nhiều nhất một nghiệm trên K.
Tính chất 3: Cho hàm số liên tục trên K, nếu hàm số luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên K thì với ta có .
Tính chất 4: Cho hàm số liên tục và có đạo hàm trên K, nếu phương trình có nhiều nhất n nghiệm trên K thì phương trình có nhiều nhất n+1 nghiệm trên K.
Tính chất 5: Cho hàm số liên tục trên K, nếu hàm số luôn đồng biến trên K thì với ta có .
Ví dụ 1. (Trích đề thi HSG Nghệ An 2012) Giải phương trình:
.
Lời giải 
 Điều kiện xác định: .
Phương trình đã cho tương đương: 
Đặt	 với x thuộc 
 với 
hàm số đồng biến trên .
phương trình có tối đa một nghiệm (1) 
Ta có (2)
Từ (1) và (2) suy ra phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 
Nhận xét: Ngoài việc nắm rõ tính chất 1, để giải được bài tập trên cần phải lựu chọn đúng hàm số cần khảo sát. Ta xét tiếp bài tập sau: 
Ví dụ 2. (Trích đề thi HSG tỉnh Bắc Ninh 2012) Giải phương trình: 
Lời giải
TH1: 
TH2: (1)
Xét hàm số 
.
Suy ra, đồng biến trên từng khoảng 
Nên trên mỗi khoảng PT (1) có nhiều nhất một nghiệm
Mà . Suy ra, (1) có 2 nghiệm .
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: 
Nhận xét: Nếu không nắm chắc các tính chất cơ bản học sinh rất hay mắc sai lầm là:
khi khẳng định được đồng biến trên từng khoảng vội vàng kết luận phương...ử Đại học khối A tỉnh Bắc Ninh năm học 2012 – 2013)
Giải hệ phương trình 
Lời giải:
 (vì ) 
Thế vào phương trình (2) ta có 
Xét hàm số đồng biến trên . 
Phương trình (3) .
..
Vậy hệ phương trình có nghiệm .
Bài 3. Giải hệ phương trình: 
Lời giải:
 ( Vì x =y =0 không là nghiệm của hệ )
Thế vào pt (2) ta có (*)
Ta giải phương trình (*) trên tập . 
Thật vậy: xét , Đặt , 
Pt(*) trở thành: 
 ( Do không là nghiệm của pt)
Vì 
Mà phương trình bậc 3 có tối đa 3 nghiệm nên pt(*) có 3 nghiệm như trên
Kết hợp với điều kiện ta có 
Từ đó tìm được nghiệm của hệ phương trình.
Bài 4. (Trích đề kiểm tra năng lực giáo viên THPT tỉnh Bắc Ninh năm học 2012-2013)
Giải hệ phương trình: 
Lời giải:
ĐK: 
Ta có 
Do đó, 
Với ta có 
Xét hàm số 
Do 
Từ đó suy ra 
Thử lại thỏa mãn hệ phương trình.
Bài 5: Giải hệ phương trình .
Lời giải: 
ĐK .
Nhận xét: không là nghiệm của hệ. Do đó hoặc 
Thay vào phương trình (2) ta có.
, Vì 
Ta có , với 
Do đó ta có 
Vậy hệ phương trình có nghiệm .
Bài 6: Giải hệ phương trình .
Lời giải: 
	ĐK .
Ta có: 
Mà 
Xét hàm số 
 đồng biến trên 
Khi đó phương trình 
Thế vào phương trình (2) ta có 
Vậy hệ phương trình có nghiệm .
7. Một số bài tập tham khảo
Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình sau:
1) 
2) 
3) 
4) ( Trích đề thi HSG Đắc Lắc 2013)
5) (Trích đề thi HSG TP HCM 2013) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
11) 
12) 
13) 14) 
15) 16) 
17) 18) 
19) 20) 
21) 
22) ( Trích đề thi HSG Nam Định 2013)
23) (Trích đề thi HSG Ninh Bình 2012)
24) (Trích đề thi HSG TP HCM 2013)
25) ( Trích đề thi chọn đội tuyển QG – Hà Nội) 
26) 
 (Trích đề thi chọn đội tuyển QG – Kon Tum 2013)
27) 
 (Trích đề thi chọn đội tuyển QG – TP HCM 2013)
28) 
29) 
CHUYÊN ĐỀ 11: PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ VỚI CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ
Trong những năm gần đây, bài toán cực trị trong các đề thi tuyển sinh đại học đa phần là bài toán khó nhất đề thi. Để giải quyết các bài toán này đòi hỏi thí sinh phải có nhiều kỹ này quan trọng khi giải