Đề cương ôn tập Toán Lớp 9 - Chủ đề 4: Phương trình bậc hai và định lý vi-et

 Nhóm file Word toán THCS
 CHỦ ĐỀ 4 – PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ ĐỊNH LÝ VI-ET
I. ĐỊNH LÍ VIÉT ...................................................................................................................................................2
 DẠNG 1 CÁC NGHIỆM THỎA MÃN MỘT BIỂU THỨC ĐỐI XỨNG....................................................2
 DẠNG 2: KẾT HỢP ĐỊNH LÝ VIÉT ĐỂ GIẢI CÁC NGHIỆM .................................................................4
 DẠNG 3: GIẢI CÁC NGHIỆM DỰA VÀO , ' LÀ BÌNH PHƯƠNG ....................................................7
 2 2 2
 DẠNG 4: TÍNH x1 THEO x1 VÀ x2 THEO x2 DỰA VÀO PHƯƠNG TRÌNH ax bx c ................10
II. HỆ QUẢ CỦA ĐỊNH LÝ VIÉT ....................................................................................................................12
 DẠNG 1: DẠNG TOÁN CÓ THÊM ĐIỀU KIỆN PHỤ ..............................................................................12
 DẠNG 2. SO SÁNH NGHIỆM VỚI SỐ 0 VÀ SỐ 휶.....................................................................................15
 DẠNG 3: ĐẶT ẨN PHỤ..................................................................................................................................16
III. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ PARABOL...................................................................18
 DẠNG 1: TÌM THAM SỐ ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG TIẾP XÚC PARABOL, TÌM TỌA ĐỘ TIẾP ĐIỂM
 ............................................................................................................................................................................18
 DẠNG 2: TÌM THAM SỐ ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG CẮT PARABOL TẠI HAI ĐIỂM PHÂN BIỆT A, B 
 THỎA MÃN MỘT BIỂU THỨC ĐỐI XỨNG ĐỐI VỚI xA VÀ xB .........................................................19
 DẠNG 3: TÌM THAM SỐ ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG CẮT PARABOL TẠI HAI ĐIỂM PHÂN BIỆT A, B 
 THỎA MÃN MỘT BIỂU THỨC KHÔNG ĐỐI XỨNG ĐỐI VỚI XA VÀ XB..........................................23
 DẠNG 4: TÌM THAM SỐ ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG CẮT PARAPOL TẠI HAI ĐIỂM PHÂN BIỆT A, B 
 LIÊN QUAN ĐẾN TUNG ĐỘ A, B................................................................................................................28
 DẠNG 5: BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỘ DÀI, DIỆN TÍCH ...............................................................30
HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHỦ ĐỀ .....................................................................................34
 I. ĐỊNH LÍ VIÉT..............................................................................................................................................34
 II. HỆ QUẢ CỦA ĐỊNH LÍ VIET..................................................................................................................35
 III. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ PARABOL ...............................................................35
 1 Nhóm file Word toán THCS
I. ĐỊNH LÍ VIÉT
DẠNG 1 CÁC NGHIỆM THỎA MÃN MỘT BIỂU THỨC ĐỐI XỨNG
 2
Bài toán thường gặp Tìm m để phương trình ax bx c 0 a 0 có hai nghiệm (phân biệt) x1, x2 thỏa 
mãn một biểu thức đối xứng đối với x1, x2
Bước 1. Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm (phân biệt) x1, x2
 2 '
• ax bx c 0 a 0 có hai nghiệm x1, x2 0 0 
 2 '
• ax bx c 0 a 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 0 > 0 
Bước 2. Biến đổi biểu thức đối xứng đối với x1, x2 về tổng x1 x2 và tích x1.x2
 b c
Bước 3. Sử dụng định lý Viet, ta có x x , x x và thay vào biểu thức chứa tổng x x và tích 
 1 2 a 1 2 a 1 2
x1x2 ở trên. Giải ra m , đối chiếu điều kiện ở bước 1.
Một số phép biến đổi thường gặp
 2 2 2 2 2
• x1 x2 x1 x2 2x1x2 – 2x1x2 x1 x2 – 2x1x2
• x 3 x 3 x x x 2 x 2 – x x x x x x 2 – 3x x 
 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 
 3 3 2
Hoặc x1 x2 x1 x2 – 3x1x2 x1 x2 .
 2 2 2
 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
• x1 x2 x1 x2 2x1 x2 – 2x1 x2 x1 x2 – 2x1 x2 .
 5 5 2 2 3 3 2 2 3 3
• x1 x2 thì tính x1 x2 và x1 x2 rồi xét tích x1 x2 x1 x2 .
 3 3
 6 6 2 2 2 2 4 4 2 2
• x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 – x1 x2 
 2 2 2
 6 6 3 3 3 3 3 3
 Hoặc x1 x2 x1 x2 x1 x2 – 2x1 x2 .
 7 7 3 3 4 4 3 3 4 4
• x1 x2 thì tính x1 x2 và x1 x2 rồi xét tích x1 x2 x1 x2 .
 2 2 2
• x1 – x2 thì xét x1 – x2 x1 – x2 x1 x2 – 4x1x2.
 2 2 2
• x1 x2 thì xét x1 | x2 | x1 x2 2 x1 . x2
 2 2 2
 x1 x1 2 x1x2 x1 x2 – 2x1x2 2 x1x2 .
 2
Chú ý : A 2 A2 , A B 2 A B , A . B A.B .
Ví dụ 1. Cho phương trình x2 2 m 3 x m2 3 0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt 
x1, x2 thỏa mãn 2x1 1 2x2 1 9 .
 Lời giải
 2 2 2 2
Có m 3 1. m 3 m 3 m 3 6m 6 
Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 khi 0 6m 6 0 m 1 0 6m 6 0 m 1 
Có 2x1 1 2x2 1 9 4x1x2 2 x1 x2 1 9 (*).
 b c
Theo định lý Viét, ta có x x 2 m 3 , x x m2 3 
 1 2 a 1 2 a
Thay vào (*) ta được 4 m2 3 4 m 3 1 9 2m 1 2 9 
 2m 1 3 m 1 (loại), m 2 (thỏa mãn).
 2 Nhóm file Word toán THCS
Vậy m 2 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 2. Cho phương trình x2 2 m 3 x 2 m 1 0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt 
 2 2
x1, x2 sao cho biểu thức T x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất.
 Lời giải
 2 2 2 2
Có m 3 1. 2 m 1 m 3 2m 2 m 4m 7 m 2 3 0m 
Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2
 2 2 2
CóT x1 x2 x1 x2 2x1x2 .
 b c
Theo định lý Viét, ta có x x 2 m 3 , x x 2 m 1 
 1 2 a 1 2 a
Thay vào T ta được 
 2 2 2
T 2 m 3 2 2 m 1 4m 20m 32 2m 5 7 7 
 5
 MinT 7 khi m . 
 2
 5
Vậy m là giá trị cần tìm.
 2
Ví dụ 3. Cho phương trình x2 2 m 1 x 4m m2 0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt 
x1, x2 sao cho biểu thức A x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất.
 Lời giải
 2 2 2 2 2
Có m 1 1. 4m m m 1 4m m 2m 2m 1 0m
Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2
 2 2 2
Có A x1 x2 x1 x2 4x1x2 .
 b c
Theo định lý Viét, ta có x x 2 m 1 , x x 4m m2 
 1 2 a 1 2 a
 2 2
Thay vào A x1 x2 ta được
 2 2 2
A x1 x2 x1 x2 4x1x2
 2
 2 2 2 2 1 
A 4 m 1 4 4m m 8m 8m 4 8 m 2 2 
 2 
 1
 A 2 Min A 2 khi m 
 2
 1
Vậy m là giá trị cần tìm.
 2
 2
Ví dụ 4. Cho phương trình x mx 3 0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn
x1 x2 4 .
 Lời giải
Có ac 3 0m do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2
 b c
Theo định lý Viét, ta có x x m , x x 3 
 1 2 a 1 2 a
 3 Nhóm file Word toán THCS
 2 2 2 2
Xét x1 x2 x1 x2 2 x1x2 x1 x2 2x1x2 2 x1x2 
 m2 2. 3 2 3 m2 12 
 2
Do đó x1 x2 4 m 12 16 m 2
Vậy m 2 là giá trị cần tìm.
 2
Ví dụ 5. Cho phương trình x mx 2m 4 0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa 
mãn x1 x2 3.
 Lời giải
Có m 2 4. 2m 4 m2 8m 16 m 4 2 
Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 khi 0 m 4 
 b c
Theo định lý Viét, ta có x x m , x x 2m 4 
 1 2 a 1 2 a
 2 2 2 2
Xét x1 x2 x1 x2 2 x1x2 x1 x2 2x1x2 2 x1x2 
 m2 2. 2m 4 2 2m 4 m2 4m 8 4. m 2 m 2 2 4 m 2 4
 2
Nên x1 x2 3 m 2 4 m 2 4 9 
 m 2 2 4 m 2 5 0 m 2 1 m 1,m 3 (thảo mãn).
Vậy m 1,m 3 là giá trị cần tìm.
DẠNG 2: KẾT HỢP ĐỊNH LÝ VIÉT ĐỂ GIẢI CÁC NGHIỆM
Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm (phân biệt) x1, x2 . 
 2
. ax bx c 0 a 0 có hai nghiệm x1, x2 0 0 
 2
. ax bx c 0 a 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 0 0 
 b c
Bước 2: Sử dụng định lý Vi ét, ta có x x , x x (*)
 1 2 a 1 2 a
 b
Bước 3: Giải hệ x x và biểu thức đã cho để tìm x , x theo m .
 1 2 a 1 2
 c
Bước 4:Thay x , x vừa tìm được vào x x để giải m .
 1 2 1 2 a
 2 2
Ví dụ 1. Cho phương trình x 4x m 1 0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 phân 
biệt thỏa mãn x2 5x1 .
 Lời giải
Có 2 2 1. m2 1 m2 5 0m. 
Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2
 b c
Theo định lý Viét, ta có x x 4 , x x m2 1
 1 2 a 1 2 a
 x2 5x1
Giải hệ 5x1 x1 4 x1 1 x2 5. 
 x1 x2 4
 4 Nhóm file Word toán THCS
 c
Thay x 1, x 5 vào x x m2 1 , ta được m2 4 m 2 
 1 2 1 2 a
Vậy m 2 là giá trị cần tìm.
 2
Ví dụ 2. Cho phương trình x 2 k 1 x 4k 0 . Tìm k để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 
phân biệt thỏa mãn3x1 x2 2 .
 Lời giải
 2 2 2
Có k 1 1. 4k k 1 4k k 1 
Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 khi k 1 
 b c
Theo định lý Viét, ta có x x 2k 2 , x x 4k 
 1 2 a 1 2 a
 3x1 x2 2 k 3k 4
Giải hệ 4x1 2k x1 x2 . 
 x1 x2 2k 2 2 2
 k 3k 4 c
Thay x x . vào x x 4k , ta được 
 1 2 2 2 1 2 a
k 3k 4
  4k 3k 2 12k 0 k 0,k 4 (thỏa mãn).
2 2
Vậy k 0,k 4 là giá trị cần tìm.
 2
Ví dụ 3. Cho phương trình x 6x m 3 0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 phân 
 2
biệt thỏa mãn x2 x1 .
 Lời giải
Có 3 2 1. m 3 6 m.
Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 khi 0 6 m 0 m 6 
 b c
Theo định lý Viét, ta có x x 6 , x x m 3 
 1 2 a 1 2 a
 2
 x2 x1 2
Giải hệ x1 x1 6 0 x1 3 x1 2. 
 x1 x2 6
 • Với x1 3 x2 9 thay vào x1x2 m 3 m 30 (thỏa mãn)
 • Với x1 2 x2 4 thay vào x1x2 m 3 m 5 (thỏa mãn)
 Vậy m 30; m 5 là giá trị cần tìm.
 2 2
Ví dụ 4. Cho phương trình x 3x m 1 0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 phân biệt thỏa mãn 
x1 2 x2 3 
 Lời giải
 Có 3 2 4 m2 1 4m2 5 0 m 
 Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt.
 2
 Theo định lý Viét, ta có: x1 x2 3, x1x2 m 1 
 Trường hợp 1: Xét x1 0, x2 0 thì x1 2 x2 3 x1 2x2 3 
 Kết hợp x1 x2 3 được x2 0, x1 3 (thỏa mãn x1 0, x2 0 )
 2 2
 Thay vào x1x2 m 1 được 0 m 1 m 1 
 5 Nhóm file Word toán THCS
 Trường hợp 2: Xét x1 0, x2 0 thì x1 2 x2 3 x1 2x2 3 
 Kết hợp x1 x2 3 được x2 6, x1 9 (không thỏa mãn x1 0, x2 0 )
 Trường hợp 3: Xét x1 0, x2 0 thì x1 2 x2 3 x1 2x2 3 
 Kết hợp x1 x2 3 được x2 0, x1 3 (không thỏa mãn x1 0, x2 0 )
 Trường hợp 4: Xét x1 0, x2 0 thì x1 2 x2 3 x1 2x2 3 
 Kết hợp x1 x2 3 được x2 2, x1 1 (không thỏa mãn x1 0, x2 0 )
 Vậy m 1 là giá trị cần tìm.
 2
Ví dụ 5. Cho phương trình x m 3 x 5 0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 là các số nguyên.
 Lời giải
 2 2
 Có m 3 4. 5 m 3 20 0 m 
 Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt.
Cách 1: (Theo định lý Viét)
 b c
 Theo định lý Viét, ta có: x x m 3, x x 5 
 1 2 a 1 2 a
 x1 1 x1 5 x1 1 x1 5
 Từ x1x2 5, x1, x2 ¢ ; ; ; 
 x2 5 x2 1 x2 5 x2 1
 Thay vào x1x2 m 3 m 7;m 1
 Vậy m 7;m 1 là giá trị cần tìm.
Cách 2: (Sử dụng phải là số chính phương)
 Từ x1 x2 m 3 ¢ 
 2
 Do đó để x1, x2 ¢ thì trước hết m 3 20 phải là số chính phương
 2
 m 3 20 n2 ,n ¥ * m 3 n m 3 n 20 
 Mà m 3 n m 3 n và tổng m 3 n m 3 n 2m 6 chẵn và tích 
 m 3 n m 3 n 20 chẵn nên m 3 n; m 3 n phải cùng chẵn, do đó:
 m 3 n 2 m 7
 * thử lại thỏa mãn
 m 3 n 10 n 6
 m 3 n 10 m 1
 * thử lại thỏa mãn
 m 3 n 2 n 6
 Vậy m 7, m 1 là giá trị cần tìm.
 2
Ví dụ 6. Cho phương trình x 20x m 5 0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 là các số nguyên 
tố.
 Lời giải
 Có ' 10 2 1 m 5 95 m 
 Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 khi ' 0 95 m 0 m 95 .
 b c
 Theo định lý Viét, ta có: x x 20, x x m 5 
 1 2 a 1 2 a
 Từ x1 x2 20 và x1, x2 là các số nguyên tố, suy ra:
 6 Nhóm file Word toán THCS
 x1 3 x1 17 x1 7 x1 13
 ; ; ; 
 x2 17 x2 3 x2 13 x2 7
 Thay vào x1x2 m 5 m 46,m 86 (thỏa mãn)
 Vậy m 46,m 86 là giá trị cần tìm.
DẠNG 3: GIẢI CÁC NGHIỆM DỰA VÀO , ' LÀ BÌNH PHƯƠNG
Khi tính hoặc ' mà ra bình phương của một biểu thức thì ta giải theo cách tìm cả hai nghiệm x1, x2 đó ra.
Giải theo cách này cần chú ý phải xét hai trường hợp
 b b 
 Trường hợp 1: Xét x ; x 
 1 2a 2 2a
 b b 
 Trường hợp 2: Xét x ; x 
 1 2a 2 2a
 2
Ví dụ 1. Cho phương trình x 2 m 1 x 4m 0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa 
mãn x1 3x2 
 Lời giải
 2 2 2 2
 Có ' m 1 1.4m m 1 4m m 2m 1 m 1 
 2
 Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 khi ' 0 m 1 0 m 1 
 Vì ' m 1 2 nên hai nghiệm của phương trình là
 x m 1 m 1 x 2, x 2m 
 Trường hợp 1: Xét x1 2, x2 2m thay vào x1 3x2 ta được
 1
 2 3.2m m (thỏa mãn)
 3
 Trường hợp 2: Xét x1 2m, x2 2 thay vào x1 3x2 ta được
 2m 3.2 m 3 (thỏa mãn)
 1
 Vậy m 3,m là giá trị cần tìm.
 3
 Chú ý: Bài này ta có thể giải theo cách kết hợp định lý Viét để giải x1, x2 như trong dạng 2.
 2 2
Ví dụ 2. Cho phương trình x 4x 4a a 0 . Tìm a để phương trình có hai nghiệm x1, x2 phân biệt thỏa mãn 
 2
x1 x2 6 .
 Lời giải
 Có ' 22 4a a2 a2 4a 4 a 2 2 
 2
 Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 khi ' 0 a 1 0 a 2 
 Vì ' a 2 2 nên hai nghiệm của phương trình là
 x 2 a 2 x a 4, x a 
 2
 Trường hợp 1: Xét x1 a 4, x2 a thay vào x1 x2 6 ta được
 a 4 a 2 6 0 a2 a 2 a2 a 2a 2 0
 a 2 a 1 0 a 2 (loại), a 1 (thỏa mãn)
 7 Nhóm file Word toán THCS
 2
 Trường hợp 2: Xét x1 a, x2 a 4 thay vào x1 x2 6 ta được
 a a 4 2 6 0 a2 7a 10 a2 2a 5a 10 0
 a 2 a 5 0 a 2 (loại), a 5 (thỏa mãn)
 Vậy a 1,a 5 là giá trị cần tìm.
 Chú ý: Bài này ta có thể giải theo cách kết hợp định lý Viét để giải x1, x2 như trong dạng 2.
 2
Ví dụ 3. Cho phương trình x (2m 5)x 2m 6 0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 phân biệt 
thỏa mãn x1 x2 7 . 
 Lời giải
 2 2 2
 Có 2m 5 4.1.( 2m 6) 2m 5 8m 24 2m 7 
 2 7
 Phương trình có hai nghiệm phân biệt x , x khi 0 2m 7 0 m 
 1 2 2
 2m 5 2m 7 
 Phương trình có hai nghiệm là x x 2m 6, x 1.
 2
Trường hợp 1: Xét x1 2m 6, x2 1 thay vào x1 x2 7 ta được
2m 6 1 7 2m 6 6 2m 6 6 
 m 0,m 6 (thỏa mãn).
Trường hợp 2: Xét x1 1, x2 2m 6 thay vào x1 x2 7 ta được 
 1 2m 6 7 m 0,m 6 (thỏa mãn).
Chú ý
• Ta có thể lập luận: “ Từ x1 x2 7 ta thấy x1 , x2 có vai trò như nhau nên không mất tính tổng quát, ta giả 
 sử x1 1, x2 2m 6”
 2 2
• Ta có thể giải bài này theo cách xét x1 x2 x1 x2 2x1x2 2 x1x2 rồi sử dụng định lý Viét.
 2 2
Ví dụ 4. Cho phương trình x 2mx m 4 0 . Tìm m để cho phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 
 1 3
thỏa mãn 1.
 x1 x2
 Lời giải
Có ' ( m)2 (m2 4) m2 m2 4 4 0 m .
Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x m 2.
Điều kiện: x1 0, x2 0 m 2 0 m 2 .
 1 3
Trường hợp 1: Xét x1 m 2, x2 m 2 thay vào 1 ta được
 x1 x2
 1 3 m 2 3(m 2) 4m 4
 1 1 1 
m 2 m 2 (m 2)(m 2) m2 4
 4m 4 m2 4 m2 4m 8 0 m2 4m 4 12 0 
 (m 2)2 12 m 2 12 m 2 2 3 (thỏa mãn).
 1 3
Trường hợp 2: Xét x1 m 2, x2 m 2 thay vào 1 ta được
 x1 x2
 8 Nhóm file Word toán THCS
 1 3 m 2 3(m 2) 4m 4
 1 1 1 
m 2 m 2 m 2 m 2 m2 4
 4m 4 m2 4 m2 4m 0 m 0,m 4 (thỏa mãn).
Vậy m 0;4;2 2 3 là giá trị cần tìm.
 9 Nhóm file Word toán THCS
 2 2 2
DẠNG 4: TÍNH x1 THEO x1 VÀ x2 THEO x2 DỰA VÀO PHƯƠNG TRÌNH ax bx c 
Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm (phân biệt) x1, x2 .
 2
+ ax bx1 c 0 (a 0) có hai nghiệm x1, x2 0 ( ' 0) .
 2
+ ax bx c 0(a 0) có hai nghiêm phân biệt x1 , x2 0 ( ' 0) .
 2
Bước 2: Sử dụng x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình ax bx c 0 nên 
 2 2
 ax bx c 0 ax bx c
 1 1 1 1 .
 2 2
 ax2 bx2 c 0 ax2 bx2 c
Ví dụ 1. Cho phương trình x2 mx 8 0 . Chứng minh với mọi m, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt 
 2 2
 2x1 5x1 16 2x2 5x2 16
x1, x2 và giá trị của biểu thức H không phụ thuộc vào m.
 3x1 3x2
 Lời giải
Có ( m)2 4.1.( 8) m2 32 0 m .
Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm x1,x2 phân biệt với mọi m.
 c
Theo định lý Viét, ta có x x 8 0 x 0, x 0.
 1 2 a 1 2
 2
Do x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x mx 8 0 nên
 2 2
 x1 mx1 8 0 x1 mx1 8
 2 2
 x2 mx2 8 0 x2 mx2 8
Thay vào H, ta được 
 2 mx 8 5x 16 2 mx 8 5x 16
H 1 1 2 2 
 3x1 3x2
 2 mx 8 5x 16 2(mx 8) 5x 16
= 1 1 2 2 
 3x1 3x2
 2mx1 5x1 2mx2 5x2 2m 5 2m 5
 0 
 3x1 3x2 3 3
Không phụ thuộc vào m (đpcm).
 2
Ví dụ 2. Cho phương trình x 2x m 1 0 . Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 
 x x 1
thỏa mãn 1 2 .
 2 2
 x2 2x1 1 x1 2x1 1 4
 Lời giải
Có ' ( 1)2 1.(m 1) 2 m .
Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 khi ' 0 2 m 0 m 2 .
 2
Do x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x 2x m 1 0 nên
 2 2
 x1 2x1 m 1 0 x1 2x1 m 1
 2 2
 x2 2x2 m 1 0 x2 2x2 m 1
 10