Các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 8 - Phần Hình học

Chuyên đề 1
Chứng minh các điểm thẳng hàng
1. Sử dụng tiên đề Ơcơlit và hệ quả
	- Tiên đề Ơcơlit : Qua một điểm A nằm ngoài đường thẳng a kẻ được duy nhất một đường thẳng song song với a.
- Hệ quả : Qua một điểm A nằm ngoài đường thẳng a kẻ được duy nhất một đường thẳng vuông góc với a.
E
A
BQ
C
M
N
F
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC với hai trung tuyến BD và CE. Gọi M và N theo thứ tự thuộc các tia đối của các tia EC và DB sao cho EC = EM và DB = DN. Chứng minh rằng A, M, N thẳng hàng.
Lời giải
	Tứ giác AMBC có EA = EB, EM = EC (gt) nên là hình bình hành. Suy ra AM // BC. (1)
	Chứng minh tương tự ta có AN // BC. (2)
	Từ (1) và (2) suy ra ba điểm A, M, N thẳng hàng (tiên đề Ơcơlit).	
DQ
AQ
BQ
IQ
FQ
EQ
CQ
OQ
KQ
 	Ví dụ 2. Cho hình chữ nhật ABCD (AB < CD) có O là giao điểm của hai đường chéo. Trên tia đối của tia CD lấy điểm E sao cho CE = CD. Gọi F là hình chiếu của của D trên BE ; I là giao điểm của AB và CF ; K là giao điểm của AF và BC. Chứng minh rằng ba điểm O...O’ cắt nhau tại A và B. Gọi C, D lần lượt đối xứng với B qua O và O’. Chứng minh rằng C, A, D thẳng hàng.
Lời giải
Vì C đối xứng với B qua O nên O là trung điểm của BC. Suy ra BC là đường kính của (O).
Ta có OA = OB = OC = nên tam giác ABC vuông tại A ị .
Chứng minh tương tự ta có .
Do đó : ị C, A, D thẳng hàng.
4. Sử dụng sự đồng quy của các đường trung tuyến, các đường cao, các đường phân giác trong tam giác
Ví dụ 5. Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo ; E là điểm đối xứng của A qua B ; F là giao điểm của BC và ED ; G là giao điểm của BC và OE ; H là giao điểm của EC và OF. Chứng minh rằng A, G, H thẳng hàng.
Lời giải
Vì O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD nên OA = OC
AQ
BQ
CQ
DQ
OQ
GQ
EQ
FQ
HQ
 suy ra EO là trung tuyến của DEAC.
 E đối xứng với A qua B nên B là trung điểm của EA suy ra CB là trung tuyến của DEAC.
 G là giao điểm của CB và EO nên G là trọng tâm của DEAC. (1)
 Mặt khác, ABCD là hình bình hành nên CD // AB, CD = AB, mà B là trung điểm của AE nên suy ra CD // BE, CD = BE. Do đó tứ giác BECD là hình bình hành. Từ đó F là trung điểm của hai đường chéo ED và BC của hình bình hành BECD.
 Ta có OF là đường trung bình của DCAB nên OF // AB ị OH // AE ị HE = HC. Do đó AH là trung tuyến của DEAC. (2)
 Từ (1) và (2) suy ra A, G, H thẳng hàng (đpcm).
Sử dụng tính chất về đường chéo của hình bình hành
 Ví dụ 6. Cho hình bình hành ABCD. Trên đường chéo BD lấy hai điểm E và F sao cho BE = DF. Kẻ EH ^ AB, FK ^ CD (H ẻ AB, K ẻ CD). Gọi O là trung điểm của EF. Chứng minh rằng ba điểm H, O, K thẳng hàng.
Lời giải
 Vì EH ^ AB, FK ^ CD và AB // CD nên EH // FK (1)
OQ
DQ
BQ
CQ
AQ
EQ
HQ
KQ
FQ
 Xét HBE và KDF có BE = DF, , 
 ị HBE = KDF (cạnh huyền – góc nhọn)
 ị HE = KF	(2)
 Từ (1) và (2) suy ra HEKF là hình bình hành 
 ị trung điểm của EF cũng là trung điểm của HK.
 Vậy E, H, K thẳng hàng (đpcm).
Sử dụng phương pháp diện tích
AQ
DQ
CQ
IQ
JQ
BQ
K’Q
MQ
NQ
EQ
FQ
KQ
 Ví dụ 7. Cho tứ ...iả sử khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC, trong đó A, B, C là các điểm đã cho là khoảng cách nhỏ nhất. Trên đường thẳng BC còn có một điểm D nào đó. 
 Từ A kẻ AQ vuông góc với BC tại Q. Hai trong các điểm B, C, D nằm cùng một phía đối với điểm Q, chẳng hạn C và D như hình vẽ, khi đó ta có CQ < DQ. Hạ CH vuông góc với AD tại H. Dễ thấy CH < AQ. Điều này mâu thuẫn với việc chọn điểm A và đường thẳng BC. Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Sử dụng các tính chất sau
Ba điểm cùng thuộc một đường thẳng thì thẳng hàng.
Ba điểm cùng cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng (cùng thuộc đường trung trực của một đoạn thẳng) thì thẳng hàng.
Ba điểm cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ a và cùng cách đều a thì thẳng hàng.
Ba điểm cùng cách đều hai đường thẳng song song thì thẳng hàng.
Ba điểm cùng cách đều hai cạnh của một góc (cùng thuộc đường phân giác của góc) thì thẳng hàng.
Bài tập
Cho ∆ABC, đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C dựng hình vuông ABDE ; trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B dựng hình vuông ACMN. Dựng hình bình hành AEIG. Gọi K là giao điểm của CD và BM. Chứng minh rằng bốn điểm I, A, K, H thẳng hàng.
Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông ABCD ta lấy lần lượt các điểm M, N, P, Q sao cho AM = BN = CP = DQ. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng M, O, P thẳng hàng.
Cho góc vuông xAy. Một điểm B cố định trên Ax, còn một điểm C chuyển động trên Ay. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AB và AC lần lượt ở M và N. Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố định khi điểm C chuyển động trên Ay.
Trong hình vuông ABCD lấy điểm E sao cho Trên nửa mặt phẳng bờ CD không chứa điểm E vẽ tam giác đều CDF. Chứng minh rằng B, E, F thẳng hàng.
Cho hình thang ABCD, đáy lớn AB. Đường thẳng kẻ từ C song song với AD cắt BD và AB lần lượt tại E và F. Đường thẳng kẻ từ D song song với BC cắt AC và AB lần lượt tại P và Q. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng.
Trên một đường thẳng lấy bốn điểm th