Tài liệu ôn tập môn Toán Lớp 8 - Bài: Tứ giác. Hình thoi và hình vuông

 TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC
 BÀI TẬP CHƯƠNG I- HÌNH 8
 TỨ GIÁC
 HÌNH THOI VÀ HÌNH VUÔNG
 Bài 1. Cho x· Oy 900 và tia phân giác Ot . Lấy điểm A trên Ot . Kẻ AB  Ox,AC  Oy . 
 Chứng minh OBAC là hình vuông.
 Lời giải y
 t
 B· OC 900 (gt)
 · 0 A
 Xét tứ giác OBAC có: ABO 90 (do AB  Ox) C
 A· CO 900 (do AC  Oy)
TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC OBAC là hình chữ nhật.
 Lại có: OA là đường phân giác của B· OC (gt)
 O B x
 OBAC là hình vuông (ĐPCM)
 Bài 2. Cho ABC vuông cân tại A Trên cạnh BC lấy các điểm H và G sao cho BH HG GC . Qua H
 và G kẻ các đường thẳng vuông góc với BC chúng cắt ABvà ACtheo thứ tự tại E và F . Chứng 
 minh rằng:
 a) BEH và CFG là các tam giác vuông cân. B
 b) EH HG GF .
 Lời giải H
 a)Xét BEH có:
 B· HE 900 (gt) (1) E G
 H· BE 450 (do ABC vuông cân tại A ) (2)
 · 0 · · 0 0 0 0
 BEH 180 (BHE HBE) 180 (90 45 ) 45 (3) A F C
 Từ (1), (2), (3) suy ra BEH vuông cân tại H .
 *Chứng minh tương tự ta được CFG vuông cân tạiG .
 b) Ta có: BEH vuông cân tại H HE HB (4)
 CFG vuông cân tại G GF GC (5)
 Mà BH HG GC (gt) (6)
 Từ (4), (5), (6) suy ra: HE HG GF
 Bài 3. Cho hình thoi ABCD . Kẻ hai đường cao AH và AK . Chứng minh AH AK .
 Lời giải
 Xét hai tam giác vuông AHB và AKD có:
 A· HB A· KD 900
 AB AD (gt)
 Bµ Dµ (tính chất hình thoi)
 Vậy: AHB AKD (cạnh huyền, góc nhọn)
 Trang 1 TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC
 AH AK
 Bài 4. Cho ABC vuông tại A , đường trung tuyến AM . Gọi I là trung điểm của AC , K là điểm đối xứng 
 với M qua I .
 a) Chứng minh tứ giác AMCK là hình thoi.
 b) Chứng minh tứ giác AKMB là hình bình hành.
 c) Tìm điều kiện của ABC để tứ giác AMCK là hình vuông. 
 A K
 I
TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC
 B M C
 Lời giải
 a) Chứng minh tứ giác AMCK là hình thoi.
 MI IK(gt)
 Xét tứ giác AMCK có: 
 IA IC(gt)
 AMCK là hình bình hành.
 BC
 Mặt khác: ABC vuông tại A , MB MC AM MC
 2
 Vậy AMCK là hình thoi.
 b) Chứng minh tứ giác AKMB là hình bình hành.
 AK//MC (1)
 Vì AMCK là hình thoi 
 AK MC
 Mà MC MB nên AK MB (2)
 Từ (1), (2) suy ra: AKMB là hình bình hành.
 c) Tìm điều kiện của ABC để tứ giác AMCK là hình vuông.
 Tứ giác AMCK là hình thoi để AMCK là hình vuông thì MK AC mà MK AB (do AKMB là 
 hình bình hành) AB AC
 Vậy tam giác ABC là tam giác vuông cân thì AMCK là hình vuông.
 Bài 5. Cho hình vuông ABCD . Trên cạnh BC lấy điểm M , trên cạnh CD lấy điểm N sao cho BM CN . 
 Chứng minh rằng:
 a) AM BN . B M C
 b) AM  BN . P
 N
 A D
 Lời giải
 a) Chứng minh: AM BN.
 Xét ABM và BCN có:
 Trang 2 TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC
 A· BM B· CN 900 (do ABCD là hình vuông)
 AB BC (do ABCD là hình vuông)
 BM CN (gt)
 Vậy: ABM BCN (c.g.c)
 AM BN
 b) Chứng minh: AM  BN
 Do ABM BCN nên A· MB B· NC
 Mà BCN có B· CN 900 N· BC B· NC 900
 N· BC A· MB 900
 Gọi P là giao điểm của AM và BN .
 Trong BPM có: B· PM P· BM B· MP 1800 
TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC
 B· PM 1800 P· BM B· MP 
 Hay B· PM 1800 N· BC A· MB 1800 900 900
 PM  BP hay AM  BN
 Bài 6. Cho hình vuông ABCD . Trên cạnh AD lấy điểm F .Trên cạnh DC lấy điểm E sao cho AF DE . 
 Chứng minh:
 a) ABF ADE .
 · · 0
 b) FAE AFB 90 . B C
 c) AE  BF .
 E
 G
 A F D
 Lời giải
 a) Chứng minh: BAF ADE
 Xét BAF và ADE có:
 AB AD (do ABCD là hình vuông)
 B· AF ·ADE 900 (do ABCD là hình vuông)
 AF DE (gt)
 Vậy: BAF ADE (c.g.c)
 b) Chứng minh: F· AE ·AFB 900
 Vì BAF ADE
 A· BF D· AE
 Hay A· BF F· AE
 Trong ABF có: B· AF 900 A· BF ·AFB 900
 Trang 3 TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC
 F· AE ·AFB 900
 c) Chứng minh AE  BF
 Gọi G là giao điểm của AE và BF
 Trong AGF có: ·AGF F· AG A· FG 1800
 ·AGF F· AE ·AFB 1800
 ·AGF 1800 (F· AE ·AFB) 1800 900 900
 AG  GF hay AE  BF
 Bài 7. Cho hình vuông ABCD . Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lấy lần lượt các điểm M, N, P, Q sao cho 
 AM BN CP DQ .
 a) Chứng minh MB NC PD QA .
TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC b) Chứng minh QAM MBN NCP PDQ .
 c) Chứng minh MNPQ là hình vuông.
 B N C
 P
 M
 A Q D
 Lời giải
 a) Chứng minh MB NC PD QA
 Do ABCD là hình vuông AB BC CD DA
 AM MB BN NC CP PD DQ QA
 Mà AM BN CP DQ (gt) nên MB NC PD QA
 b) Chứng minh QAM MBN NCP PDQ
 Xét QAM và MBN có:
 QA MB (do câu a)
 Q· AM M· BN 900 (do ABCD là hình vuông)
 AM BN (gt)
 Vậy: QAM MBN (c.g.c)
 Chứng minh tương tự ta được:
 MBN NCP (c.g.c)
 NCP PDQ (c.g.c)
 Vậy: QAM MBN NCP PDQ (1)
 c) Chứng minh MNPQ là hình vuông
 Từ (1) suy ra: QM MN NP PQ
 Trang 4 TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC
 MNPQ là hình thoi. (2)
 Mặt khác, ta có: QAM MBN
 A· MQ B· NM
 Trong MBN có M· BN 900 (gt) B· NM B· MN 900
 A· MQ B· MN 900
 Lại có: A· MQ B· MN N· MQ 1800
 N· MQ 1800 900 900 (3)
 Từ (2), (3) suy ra MNPQ là hình vuông.
 Bài 8. Cho hình vuông ABCD . Gọi E, F, K lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD.
 a) Chứng minh: AECK là hình bình hành.
TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC
 b) Chứng minh DF  CE tại M .
 c) AK cắt DF tại N . Chứng minh N là trung điểm của DM .
 d) Chứng minh AM AB .
 B F C
 M
 K
 E N
 A D
 Lời giải
 a) Chứng minh: AECK là hình bình hành.
 AB
 Ta có: AE EB (gt)
 2
 CD
 CK KD (gt)
 2
 Mà AB CD (gt) ( ABCD là hình vuông)
 AE CK EB KD
 Xét tứ giác AECK có: AE CK
 AE//CK (do AB//CD tính chất hình vuông ABCD )
 AECK là hình bình hành.
 b)Chứng minh DF  CE tại M
 Xét BCE và CDF có:
 BE CF (chứng minh trên)
 C· BE D· CF 900 (gt)
 Trang 5 TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC
 BC CD (gt)
 Vậy: BCE CDF (c.g.c)
 B· EC C· FD
 Mà trong BCE có C· BE 900 B· CE B· EC 900
 B· CE C· FD 900 hay F· CM C· FM 900
 Trong FCM có F· MC 1800 F· CM C· FM 1800 900 900
 FM  MC hay DF  CE
 c)Chứng minh N là trung điểm của DM
 Xét DMC có: NK//MC (do AK//CE )
 KC KD (gt)
 Suy ra: MN ND
TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC
 Hay N là trung điểm MD
 d) Chứng minh AM AB
 CE  DF
 Ta có:  AK  DF
 EC//AK 
 AN  DM
 Trong ADM có AN vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến ADM cân tại A AD AM
 Mà AD AB (gt)
 Vậy: AB AM
 Bài 9. Cho hình vuông ABCD . Trên cạnh BC lấy điểm M . Qua A kẻ AN  AM ( điểm N thuộc tia đối của 
 tia DC ). Gọi I là trung điểm của MN . Chứng minh rằng:
 a) AM AN .
 b) Ba điểm B, I, D thẳng hàng.
 B M C
 I
 A D
 N
 Lời giải
 a) Chứng minh: AM AN
 Ta có: B· AD M· AN 900 (gt)
 B· AM M· AD M· AD D· AN 900 B· AM D· AN
 Xét ABM và ADN có:
 A· BM ·ADN 900 (gt)
 Trang 6 TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC
 AB AD (gt)
 B· AM D· AN (chứng minh trên)
 Vậy: BCE CDF (g.c.g)
 AM AN
 b) Chứng minh ba điểm B, I, D thẳng hàng
 MN
 Ta có: AMN có Aµ 90 0 , IM IN AI 
 2
 MN
 CMN cóCµ 90 0 , IM IN CI 
 2
 AI CI I thuộc đường trung trực của AC
 Mặt khác BD là đường trung trực của AC (tính chất hình vuông ABCD )
 I BD hay B, I, D thẳng hàng.
TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC
 Bài 10. Cho hình bình hành ABCD . Gọi DE, BK lần lượt là đường phân giác của ADB, DBC .
 a) Chứng minh DE//BK .
 b) Cho DE  AB . Chứng minh DA DB .
 c) Trong trường hợp DE  AB . Tìm số đo A· DB để tứ giác DEBK là hình vuông.
 A E B
 D K C
 Lời giải
 a) Chứng minh: DE//BK
 Ta có: ABCD là hình bình hành
 AD / /BC A· DB D· BC (so le trong)
 A· DB D· BC
 2 2
 E· DB K· BD (2 góc so le trong) DE//BK
 b) Chứng minh: DA DB
 Xét DAB có DE vừa là đường cao vừa là đường phân giác DAB cân tại D
 DA DB
 c)Tìm số đo A· DB để tứ giác DEBK là hình vuông.
 Xét tứ giác DEBK có: DE//BK, EB//DK
 DEBK là hình bình hành
 Mà Eµ 90 0 DEBK là hình chữ nhật.
 Để DEBK là hình vuông thì DE EB
 Mà DAB cân tại D DE là trung tuyến của DAB
 AB
 DE EB DAB vuông tại D hay A· DB 900 .
 2
 Bài 11. Cho hình bình hành ABCD có AD  AC . Gọi M , N theo thứ tự là trung điểm của AB, CD .
 Trang 7 TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC
 a) Chứng minh MN  AC .
 b) Tứ giác AMCN là hình gì? Vì sao?
 A M B
 D N C
TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Lời giải
 a) Chứng minh: MN  AC
 MA MB
 Ta có:  MN là đường trung bình của hình bình hành ABCD
 ND NC 
 MN//AD
 Mà AD  AC (gt)
 MN  AC
 b) Tứ giác AMCN là hình gì? Vì sao?
 AB 
 AM 
 2 
 DC 
 Ta có:CN  AM CN
 2 
 AB DC 
 
 Xét tứ giác AMCN có:
 AM CN
 AM//CN (do ABCD là hình bình hành)
 AMCN là hình bình hành.
 Lại có: MN  AC
 Vậy: AMCN là hình thoi
 Bài 12. Cho hình bình hành ABCD có AB AC . M là trung điểm của BC . Trên tia đối của tia MA lấy 
 ME MA . Chứng minh:
 a) Tứ giác ABEC là hình thoi.
 b) D, E, C thẳng hàng.
 c)C là trung điểm của DE .
 A B
 M
 D C E
 Trang 8 TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC
 Lời giải
 a) Chứng minh: Tứ giác ABEC là hình thoi.
 Xét ABC có AB AC
 ABC cân tại A
 Có MB MC
 AM vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao.
 AM  BC hay AE  BC
 Xét tứ giác ABEC có:
 MB MC (gt)
 MA ME (gt)
TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC AE  BC
 Vậy: ABEC là hình thoi.
 b) Chứng minh: D, E, C thẳng hàng.
 Vì ABEC là hình thoi AB//CE
 Mà AB//CD (do ABCD là hình bình hành).
 D, E, C thẳng hàng.
 c) chứng minh:C là trung điểm của DE
 Ta có: AB CD (do ABCD là hình bình hành).
 AB AC (gt)
 AC CD
 Mà AC CE (do ABEC là hình thoi)
 CD CE
 Hay C là trung điểm của DE
 Bài 13. Cho hình bình hành ABCD có D· AC 90 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD .
 a) Chứng minh AM CN .
 b) Chứng minh AN CM .
 c) Chứng minh tứ giác AMCN là hình thoi.
 Lời giải
 A M B
 D N C
 1
 a) Vì M là trung điểm của AB nên AM MB AB (1)
 2
 1
 Vì N là trung điểm của CD nên ND CN CD (2)
 2
 Trang 9 TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC
 Ta có ABCD là hình bình hành nên AB CD (3)
 Từ (1), (2) và (3) suy ra AM MB ND CN
 Vậy AM CN
 b) Ta có ABCD là hình bình hành nên AB // CD AM // NC
 AM CN theo câu a 
 Xét tứ giác AMCN ta có 
 AM // CN (cmt)
 Tứ giác AMCN là hình bình hành
 AN CM (hai cạnh đối của hbh).
 c) Xét tứ giác AMND , ta có 
 AM ND cm câu a 
 AM // ND (do ABCDlà hìnhbình hành)
TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC
 Tứ giác AMND là hình bình hành ( vì tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau)
 AD // NM ( cặp cạnh đối)
 Mà AD  AC ( giả thiết)
 Nên NM  AC
 Do đó tứ giác AMND là hình bình hành có hai đường chéo NM và AC vuông góc với nhau nên
 AMND là hình thoi.
 Bài 14. Cho hình chữ nhật ABCD . Tia phân giác góc Cµ cắt tia phân giác góc Dµ tại F . Tia phân giác góc 
 µA cắt tia phân giác góc Bµ tại E .
 a) Tính các góc của DFC .
 b) Chứng minh AEB CFD .
 c) BE cắt CF tại H . Chứng minh C· BH B· CH .
 Lời giải
 A B
 F
 H
 E
 D C
 a) Do tứ giác ABCD là hình chữ nhật nên µA Bµ Cµ Dµ 90
 ·ADC 90
 DF là tia phân giác của ·ADC nên ·ADF C· DF 45
 2 2
 B· CD 90
 CF là tia phân giác của B· CD nên B· CF D· CF 45
 2 2
 Xét DFC ta có:
 C· DF D· CF D· FC 180
 45 45 D· FC 180
 Trang 10