Một trăm bài tập Hình học Lớp 9 - Phần 2

MỘT TRĂM BÀI TẬP
HÌNH HỌC LỚP 9.
Phần 2: 50 bài tập cơ bản.
Bài 51:Cho (O), từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O), vẽ hai tt AB và AC với đường tròn. Kẻ dây CD//AB. Nối AD cắt đường tròn (O) tại E.
C/m ABOC nội tiếp.
Chứng tỏ AB2=AE.AD.
C/m góc và DBDC cân.
CE kéo dài cắt AB ở I. C/m IA=IB.
Hình 51
1/C/m: ABOC nt:(HS tự c/m)
2/C/m: AB2=AE.AD. Chứng minh DADB ∽ DABE , vì có chung.
Sđ =sđ cung (góc giữa tt và 1 dây)
Sđ =sđ (góc nt chắn )
3/C/m 
* Do ABOC ntÞ (cùng chắn cung AC); vì AC = AB (t/c 2 tt cắt nhau) Þ DABC cân ở AÞ
* sđ =sđ (góc giữa tt và 1 dây); sđ =sđ (góc nt)
Þ = mà = (do CD//AB) Þ Þ DBDC cân ở B.
4/ Ta có chung; (góc giữa tt và 1 dây; góc nt chắn cung BE)Þ DIBE∽DICBÞÞ IB2=IE.ICu
Xét 2 DIAE và ICA có chung; sđ =sđ () mà DBDC cân ở BÞ Þsđ =
 Þ DIAE∽DICAÞ ÞIA2=IE.IC vTừ uvàvÞIA2=IB2Þ IA=IB
Bài 52:
 Cho DABC (AB=AC); BC=6; Đường cao AH=4(cùng đơn vị độ dài), nội tiếp tron... tam giác đều Þ cung AM=60o và MC = CP =30o Þ cung MP = 60o. Þ cung AM=MP Þ góc MPH= MQP (góc nt chắn hai cung bằng nhau.)Þ DMHP∽DMQPÞ đpcm.
 b/ C/m MP là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp D QHP.
Gọi J là tâm đtròn ngoại tiếp DQHP.Do cung AQ=MP=60oÞ DHQP cân ở H và QHP=120oÞJ nằm trên đường thẳng HOÞ DHPJ là tam giác đều mà HPM=30oÞMPH+HPJ=MPJ=90o hay JP^MP tại P nằm trên đường tròn ngoại tiếp DHPQ Þđpcm.
Bài 54:
 Cho (O;R) và một cát tuyến d không đi qua tâm O.Từ một điểm M trên d và ở ngoài (O) ta kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đườmg tròn; BO kéo dài cắt (O) tại điểm thứ hai là C.Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O xuống d.Đường thẳng vuông góc với BC tại O cắt AM tại D.
C/m A; O; H; M; B cùng nằm trên 1 đường tròn.
C/m AC//MO và MD=OD.
Đường thẳng OM cắt (O) tại E và F. Chứng tỏ MA2=ME.MF
Xác định vị trí của điểm M trên d để DMAB là tam giác đều.Tính diện tích phần tạo bởi hai tt với đường tròn trong trường hợp này.
1/Chứng minh OBM=OAM=OHM=1v
2/¿ C/m AC//OM: Do MA và MB là hai tt cắt nhau ÞBOM=OMB và MA=MB ÞMO là đường trung trực của ABÞMO^AB.
Mà BAC=1v (góc nt chắn nửa đtròn ÞCA^AB. Vậy AC//MO.
Hình 54 554
¿C/mMD=OD. Do OD//MB (cùng ^CB)ÞDOM=OMB(so le) mà OMB=OMD(cmt)ÞDOM=DMOÞDDOM cân ở DÞđpcm.
3/C/m: MA2=ME.MF: Xét hai tam giác AEM và MAF có góc M chung. 
Sđ EAM=sd cungAE(góc giữa tt và 1 dây)
Sđ AFM=sđcungAE(góc nt chắn cungAE) ÞEAM=A FM ÞDMAE∽DMFAÞđpcm.
4/¿Vì AMB là tam giác đềuÞgóc OMA=30oÞOM=2OA=2OB=2R
¿Gọi diện tích cần tính là S.Ta có S=S OAMB-Squạt AOB
Ta có AB=AM==RÞS AMBO=BA.OM= .2R. R= R2Þ Squạt==ÞS= R2-=
 ÐÏ(&(ÐÏ
Bài 55:
 Cho nửa (O) đường kính AB, vẽ các tiếp tuyến Ax và By cùng phía với nửa đường tròn. Gọi M là điểm chính giữa cung AB và N là một điểm bất kỳ trên đoạn AO. Đường thẳng vuông góc với MN tại M lần lượt cắt Ax và By ở D...BACÞKI//AB.
Bài 57:
 Cho (O; R) đường kính AB, Kẻ tiếp tuyến Ax và trên Ax lấy điểm P sao cho P>R. Từ P kẻ tiếp tuyến PM với đường tròn.
C/m BM/ / OP.
Đường vuông góc với AB tại O cắt tia BM tại N. C/m OBPN là hình bình hành.
AN cắt OP tại K; PM cắt ON tại I; PN và OM kéo dài cắt nhau ở J. C/m I; J; K thẳng hàng.
Hình 57 554
1/ C/m:BM//OP:
Ta có MB^AM (góc nt chắn nửa đtròn) và OP^AM (t/c hai tt cắt nhau)
Þ MB//OP.
2/ C/m: OBNP là hình bình hành:
 Xét hai D APO và OBN có A=O=1v; OA=OB(bán kính) và do NB//AP Þ POA=NBO (đồng vị)ÞDAPO=DONBÞ PO=BN. Mà OP//NB (Cmt) Þ OBNP là hình bình hành.
3/ C/m:I; J; K thẳng hàng:
Ta có: PM^OJ và PN//OB(do OBNP là hbhành) mà ON^ABÞON^OJÞI là trực tâm của DOPJÞIJ^OP. 
-Vì PNOA là hình chữ nhật ÞP; N; O; A; M cùng nằm trên đường tròn tâm K, mà MN//OPÞ MNOP là thang cânÞNPO= MOP, ta lại có NOM = MPN (cùng chắn cung NM) Þ ÞDIPO cân ở I. Và KP=KOÞIK^PO. Vậy K; I; J thẳng hàng.
& 
Bài 58:Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB; đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt nửa đường tròn tại C. Kẻ tiếp tuyến Bt với đường tròn. AC cắt tiếp tuyến Bt tại I.
C/m DABI vuông cân
Lấy D là 1 điểm trên cung BC, gọi J là giao điểm của AD với Bt. C/m AC.AI=AD.AJ.
C/m JDCI nội tiếp.
Tiếp tuyến tại D của nửa đường tròn cắt Bt tại K. Hạ DH^AB. Cmr: AK đi qua trung điểm của DH.
Hình 58 554
1/C/m DABI vuông cân(Có nhiều cách-sau đây chỉ C/m 1 cách):
-Ta có ACB=1v(góc nt chắn nửa đtròn)ÞDABC vuông ở C.Vì OC^AB tại trung điểm OÞAOC=COB=1v
Þ cung AC=CB=90o. ÞCAB=45 o. (góc nt bằng nửa số đo cung bị chắn)
DABC vuông cân ở C. Mà Bt^AB có góc CAB=45 o Þ DABI vuông cân ở B.
2/C/m: AC.AI=AD.AJ.
Xét hai DACD và AIJ có góc A chung sđ góc CDA=sđ cung AC =45o.
Mà D ABI vuông cân ở BÞAIB=45 o.ÞCDA=AIBÞ DADC∽DAIJÞđpcm
3/ Do CDA=CIJ (cmt) và CDA+CDJ=2vÞ CDJ+CIJ=2vÞCDJI n