Đề minh họa thi tốt nghiệp THPT môn Toán 12 - Năm học 2020-2021 (Có đáp án)

 SP TỔ 17
 PHÁT TRIỂN 40 CÂU DỰA THEO 
 Ý TƯỞNG CÂU 45 ĐỀ MINH HỌA BGD
 TỔ 17
Câu 1. [Mức độ 3] Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng P :x y z 21 0 
 x 1 z 2 x 3 y 1 z 1
 và hai đường thẳng d : y ; d : . Viết phương trình đường 
 1 2 1 1 2
 thẳng song song với P đồng thời cắt d , d và tạo với d góc 30 .
 x 5 x 5 t x 5 x t 
 A. 1 : y 4 5t ; 2 : y 4 t .B. 1 : y 4 3t ; 2 : y 1.
 z 10 5t z 10 t z 10 t z t 
 x 3 x 2t x 5 x t 
 C. 1 : y 4 t ; 2 : y 1. D. 1 : y 4 t ; 2 : y 1.
 z 1 t z t z 10 t z t 
Câu 2. [Mức độ 2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P :3x 5y 2z 8 0 và 
 x 7 5t
 đường thẳng d : y 7 t t ¡ . Tìm phương trình đường thẳng đối xứng với đường 
 z 6 5t
 thẳng d qua mặt phẳng P .
 x 5 5t x 17 5t
 A. : y 13 t . B. : y 33 t .
 z 2 5t z 66 5t
 x 11 5t x 13 5t
 C. : y 23 t . D. : y 17 t .
 z 32 5t z 104 5t
 x 2 y 2 z
Câu 3. [Mức độ 3] Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d : và 
 1 3 1 3
 x 13 y 6 z 4
 d : . Đường thẳng cắt và vuông góc với cả hai đường thẳng d , d có 
 2 3 1 1 1 2
 phương trình là 
 x 1 y 1 z 3 x 1 y 1 z 3
 A. . B. .
 20 3 9 20 3 9
 x 10 y 7 z 3 x 8 y 4 z 6
 C. . D. .
 2 3 3 2 3 3
Câu 4. [Mức độ 4] Trong không gian Oxyz , cho điểm M 1;2;3 , A 2;4;4 và hai mặt phẳng 
 P : x y 2z 1 0, Q : x 2y z 4 0 . Đường thẳng d qua M cắt P , Q lần lượt 
 tại B , C sao cho tam giác ABC cân tại A và nhận AM là đường trung tuyến có phương trình 
 là
 x 2 y 2 z 2 x 1 y 2 z 3
 A. . B. .
 1 1 1 2 1 1
 Trang 1 SP TỔ 17
 x 2 y 2 z 3 x 1 y 2 z 3
 C. . D. .
 1 1 1 1 1 1
 x y z
Câu 5. [Mức độ 3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d : ; 
 1 1 2
 x 1 y z 1
 d : và mặt phẳng P : x y z 0. Viết phương trình của đường thẳng 
 2 1 1
 song song với P , cắt d và d lần lượt tại M và N sao cho MN 2.
 7x 4 7y 4 7z 8 7x 4 7y 4 7z 8
 A. . B. .
 3 8 5 3 8 5
 7x 1 7y 4 7z 3 7x 1 7y 4 7z 8
 C. . D. .
 3 8 5 3 8 5
 x 1 y z 2
Câu 6. [Mức độ 4] Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai đường thẳng d : 
 1 2 1 1
 x 1 y 2 z 2
 và d : . Gọi là đường thẳng song song với P : x y z 7 0 và cắt 
 2 1 3 2
 d1, d2 lần lượt tại hai điểm A, B sao cho AB ngắn nhất. Phương trình của đường thẳng là
 x 6 t x 6 x 6 2t
 x 12 t
 5 5 5 
 A. y . B. y t . C. y t . D. y 5
 2 2 2
 z 9 t
 9 9 9 
 z t z t z t
 2 2 2
Câu 7. [Mức độ 3] Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng 
 x 5 y z 1 x y z 1
 d : ,d : . Đường thẳng vuông góc với Oxy , đồng thời cắt cả 
 1 3 1 2 2 1 2 1
 d1 và d2 có phương trình là:
 x 1 x 1
 A. y 2 t ¡ . B. y 2 t t ¡ .
 z 3 t z 3
 x 1 x 1
 C. y 2 t ¡ . D. y 2 t t ¡ .
 z 3 t z 3
Câu 8. [Mức độ 3] Trong không gian Oxyz cho 2 mặt phẳng (P) : 2x 2y z 3 0,(Q) : x y 4 0 
 x 1
 x 1 y z 1 
 và hai đường thẳng d1 : ,d2 : y 2s . Đường thẳng cắt cả d1 và d2 đồng 
 2 1 2 
 z 20 s
 thời song song với 2 mặt phẳng P , Q có phương trình là:
 x 3 y 2 z 3 x 3 y 2 z 3
 A. . B. .
 1 1 4 1 1 4
 x 3 y 2 z 3 x 3 y 2 z 3
 C. . D. .
 1 1 4 1 1 4
 Trang 2 SP TỔ 17
Câu 9. [Mức độ 3] Trong không gian Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng 
 đi qua điểm A 1;2;3 và vuông góc với mặt phẳng P : 4x 5y 6z 7 0 .
 x 5 4t x 1 4t x 1 4t x 5 4t
 A. y 7 5t . B. y 2 5t . C. y 2 5t . D. y 7 5t .
 z 3 6t z 3 6t z 3 6t z 3 6t
Câu 10. [Mức độ 4] Trong không gian Oxyz , cho điểm M 0; 1; 2 và hai đường thẳng 
 x 1 y 2 z 3 x 1 y 4 z 2
 d : , d : . Phương trình đường thẳng đi qua M , cắt cả 
 1 1 1 2 2 2 1 4
 d1 và d2 là
 x y 1 z 2 x y 1 z 2 x y 1 z 2 x y 1 z 2
 A. .B. .C. .D. .
 9 9 16 3 3 4 9 9 16 9 9 16
 x 1 y 2 z 2
Câu 11. [Mức độ 3] Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d : , 
 1 2 1 2
 x 2 y 3 z 4
 d : và mặt phẳng P : x y z 6 0 . Gọi là đường thẳng song song 
 2 1 1 1
 với mặt phẳng P và cắt d1,d2 lần lượt tại A, B sao cho AB 3 6 . Đường thẳng có 
 phương trình là
 x 1 y 3 z 4 x 5 y z 2
 A. .B. .
 1 1 2 1 1 2
 x 6 y 1 z 4 x 4 y 1 z
 C. .D. .
 1 1 1 1 1 2
Câu 12. [Mức độ 4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn đường thẳng 
 x 3 y 1 z 1 x y z 1 x 1 y 1 z 1 x y z 1
 d : , d : ,d : ,d : . Xét 
 1 1 2 1 2 1 2 1 3 2 1 1 4 1 1 1
 là đường thẳng cắt cả bốn đường thẳng đã cho. Khi đó vectơ nào sau đây là một vectơ chỉ 
 phương của đường thẳng ?
   
 A. u1 1;1;1 .B. u2 1;1;0 .
   
 C. u3 1; 1;0 .D. u4 1; 1;1 .
 x 1 y 2 z 2
Câu 13. [Mức độ 3] Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : và mặt phẳng 
 3 2 2
 P : x 3y 2z 2 0 . Đường thẳng song song với P , đi qua M 2;2;4 và cắt đường 
 thẳng d có phương trình là
 x 2 y 2 z 4 x 2 y 2 z 4
 A. . B. .
 9 7 6 9 7 6
 x 2 y 2 z 4 x 2 y 2 z 4
 C. . D. .
 9 7 6 9 7 6
 Trang 3 SP TỔ 17
 x 1 y 2 z
Câu 14. [Mức độ 4] Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d : , 
 1 1 2 1
 x 2 y 1 z 1
 d2 : và mặt phẳng P : x y 2z 5 0 . Đường thẳng d song song với 
 2 1 1 
 P và cắt d1,d2 tại hai điểm A, B sao cho AB có độ dài nhỏ nhất. Biết d có một vectơ chỉ 
 phương u a;b;1 . Giá trị 2a 3b bằng
 A. 3 . B. 5 . C. 1. D. 4 .
Câu 15. [Mức độ 3] Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng P :4 y z 3 0 và hai đường thẳng 
 x 1 y 2 z 2 x 4 y 7 z
 : , : . Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng 
 1 1 4 3 2 5 9 1
 P và cắt cả hai đường thẳng 1, 2 có phương trình là
 x 1 x 2 x 6 x 4
 A. y 2 4t . B. y 2 4t . C. y 11 4t . D. y 7 4t .
 z 2 t z 5 t z 2 t z t
Câu 16. [Mức độ 4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P : x y 4z 0 , đường 
 M
 x 1 y 1 z 3
 thẳng d : và điểm A 1; 3; 1 thuộc mặta phẳng P . Gọi là đường thẳng 
 2 1 1 i
 đi qua A , nằm trong mặt phẳng P và cách đường thẳngN d một khoảng cách lớn nhất. Gọi 
 g
 u
 u a; b; 1 là một vectơ chỉ phương của đường thẳng y. Tính a 2b .
 e
 A. a 2b 7 . B. a 2b 4 . C. a 2nb 0 . D. a 2b 3 .
 x 1 2t x 2 3t 
Câu 17. [Mức độ 3] Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : y t và d : y 2 2t . 
 z 1 3t z 2 t 
 Viết phương trình phân giác của góc nhọn tạo bởi d và d .
 x 2 5t1 x 1 5t1 x 1 t2 x 2 t2
 A. y 2 t1 . B. y t1 . C. y 3t2 . D. y 2 3t2 .
 z 2 4t1 z 1 4t1 z 1 2t2 z 2 2t2
Câu 18. [Mức độ 3] Trong không gian Oxyz , cho điểm A 1;5;0 và hai đường thẳng d và d lần lượt 
 x 1 y 3 z 2 x 2 y 1 z 1
 có phương trình là , . Viết phương trình đường thẳng 
 3 2 1 2 3 5
 qua A , cắt d và d .
 x 1 y 5 z x 1 y 5 z
 A. . B. .
 17 72 3 17 72 3
 x 1 y 5 z x 1 y 5 z
 C. . D. .
 17 72 3 17 72 3
 x 1 y 2 z
Câu 19. [Mức độ 3] Phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d : và cắt 
 1 1 1
 x 1 y 1 z 2 x 1 y 2 z 3
 hai đường thẳng d : ; d : là
 1 2 1 1 2 1 1 3
 x 1 y z 1 x 1 y 2 z 3
 A. . B. .
 1 1 1 1 1 1
 Trang 4 SP TỔ 17
 x 1 y z 1 x 1 y 1 z 2
 C. . D. .
 1 1 1 1 1 1
 x 2 y 1 z 2
Câu 20. [Mức độ 4] Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : và mặt phẳng 
 4 4 3
 P : 2x y 2z 1 0 . Đường thẳng đi qua E 2; 1; 2 , song song với P đồng thời 
 tạo với d góc bé nhất. Biết rằng có một vectơ chỉ phương u m;n;1 . Tính T m2 n2 .
 A. T 4 . B. T 4 . C. T 3. D. T 5 .
Câu 21. [Mức độ 3] Trong không gian Oxyz , viết phương trình chính tắc của đường thẳng d là đường 
 x 3 t
 x 2 y 1 z 2 
 vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d1 : và d2 : y 2 t
 1 1 1 
 z 5
 x 1 y 2 z 3 x 1 y 2 z 1
 A. . B. .
 1 1 1 1 1 2
 x 1 y 2 z 3 x 1 y 2 z 3
 C. . D. .
 1 2 2 1 1 2
Câu 22. [Mức độ 4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1;1;3 , M 2;1;0 và mặt 
 phẳng : x y 2 0 . Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm A, M và cắt theo 
 một giao tuyến vuông góc với AM .
 A. 2x y z 9 0 . B. 2x y z 9 0 .
 C. x 2y z 4 0 . D. x 2y z 4 0.
 x 2 y 2 z 3
Câu 23. [Mức độ 3] Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d : và 
 1 2 1 1
 x 1 t
 d2 : y 1 2t . Đường thẳng đi qua điểm A 1; 2; 3 , vuông góc với d1 và cắt d2 có 
 z 1 t
 phương trình là:
 x 1 y 2 z 3 x 1 y 2 z 3
 A. . B. .
 1 3 5 1 3 5
 x 1 y 2 z 3 x 1 y 2 z 3
 C. . D. .
 1 3 5 1 3 5
 x y 1 z 2
Câu 24. [Mức độ 4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d : 
 1 2 1 1
 x 1 2t
 và d2 : y 1 t . Phương trình đường thẳng vuông góc với P : 7x y 4z 0 và cắt hai 
 z 3
 đường thẳng d1, d2 là:
 x 2 y z 1 x 2 y z 1
 A. . B. .
 7 1 4 7 1 4
 x 2 y z 1 x 7 y z 4
 C. . D. .
 7 1 4 2 1 1
 x 15 y 1 z 9
Câu 25. [Mức độ 3] Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d : và 
 1 10 6 7
 x 9 y 11 z 6
 d : . Đường thẳng d đi qua A 1;1;1 lần lượt cắt d , d tại B và C. Độ 
 2 3 2 1 1 2
 dài BC là
 A. 69 . B. 69 . C. 276 . D. 2 69 .
 Trang 5 SP TỔ 17
 x 1 y 6 z 5
Câu 26. [Mức độ 4] Trong không gian hệ tọa độ Oxyz , cho 4 đường thẳng d : , 
 1 1 2 1
 x 2 y 4 z 7 x 1 y 2 z 1 x 13 y 4 z 13
 d : , d : , d : . Gọi d là đường 
 2 3 6 3 3 4 4 3 4 13 13 13
 thẳng cắt cả 4 đường thẳng trên. Điểm nào sau đây thuộc d ?
 A. 7;6; 7 .B. 13;4;13 . C. 13; 30; 13 . D. 27; 18;27 .
 x 1 y 2 z 3
Câu 27. [Mức độ 3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : , 
 2 1 2
 và mặt phẳng P : x y 2 0 . Viết phương trình đường thẳng nằm trong P đồng thời 
 cắt và vuông góc với đường thẳng d .
 x 3 t x 1 2t x 3 2t x 3 2t
 A. : y 1 t . B. : y 2 t . C. : y 1 2t . D. : y 1 2t .
 z 5 z 3 2t z 5 t z 5 t
Câu 28. [Mức độ 3] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho 2 đường thẳng 
 x 1 y 1 z 2 x 2 y z 1
 d : và d : . Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 
 1 2 1 1 2 1 1 1
 Oxy và cắt d1,d2 có phương trình là?
 x 1 x 1 t x 1 t x 1
 A. : y 1 . B. : y 1 t . C. : y 1 t . D. : y 1 t .
 z 1 t z 2 z 2 z 2
 x 3t 1
Câu 29. [Mức độ 3] Trong không gian Oxyz , cho đường thằng : y t và 2 đường thẳng 
 z 2t 1
 x 2 y x 1 x 3 y 1 z
 d : , d : . Đường thẳng d song song , đồng thời cắt cả d
 1 1 2 2 2 2 1 1 1
 , d2 có phương trình là
 x 3t 1 x 3t 1 x 3t 2 x 3t 2
 A. d : y t 2 . B. d : y t 2 . C. d : y t 1.D. d : y t 1 .
 z 2t 1 z 2t 1 z 2t 1 z 2t 1
 x 2t
Câu 30. [ Mức độ 3] Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng : y t và mặt phẳng 
 z t 4
 P : z 3 0 . Một đường thẳng đi qua điểm M 1;0;3 , cắt và tạo với P một góc 45 
 có phương trình là
 x t 1 x 1 x 1 x 1
 A. d : y t . B. d : y t 1. C. d : y t . D. d : y t 1.
 z t 3 z t 3 z t 3 z t 2
Câu 31. [Mức độ 3] Trong không gian Oxyz, cho mặt phằng (P) :3x y 2z 1 0 và hai đường thẳng 
 x 1 y 8 z 2 x 3 y 4 z 2
 d : ,d : . Đường thẳng vuông góc với (P), đồng thời 
 1 1 2 1 2 3 1 4
 cắt cả d1 và d2 có phương trình là:
 Trang 6 SP TỔ 17
 x 2 y 2 z x 3 y 4 z
 A. . B. .
 3 1 2 3 1 2
 x 1 y 6 z 1 x 1 y 2 z 2
 C. . D. .
 3 1 2 3 1 2
 x 1 y 2 z 3
Câu 32. [Mức độ 3] Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng : và 
 1 1 1
 x 1 2t
 x 3 y 4 z 5
 hai đường thẳng d1 : y 1 t , d2 : . Đường thẳng song song với , 
 1 1 3
 z 4 t
 đồng thời cắt cả d1 và d2 có phương trình là:
 x 1 y 2 z 3 x 2 y 1 z 5
 A. . B. .
 1 1 1 1 1 1
 x 3 y 2 z 3 x 1 y 2 z 6
 C. . D. .
 1 1 1 1 1 1
Câu 33. [Mức độ 3] Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt phẳg P : 4 x 3y 11z 26 0 và 
 x y 3 z 1 x 4 y z 3
 hai đường thẳng d : ,d : . Phương trình đường thẳng 
 1 1 2 3 2 1 1 2
 nằm trên P đồng thời cắt cả d1 và d2 là:
 x 2 y 7 z 5 x 2 y 7 z 5
 A. . B. .
 5 8 4 5 8 3
 x 2 y 7 z 5 x 2 y 7 z 5
 C. . D. .
 3 8 4 5 3 4
Câu 34. [Mức độ 4] Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt phẳng P : x y z 1 0 và điểm 
 A 1;0;0 P . Đường thẳng đi qua A nằm trong P và tạo với trục Oz một góc nhỏ 
 nhất. Gọi M x0 ; y0 ; z0 là giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng 
 Q : 2 x y 2z 1 0 . Tổng S x0 y0 z0 bằng
 A. 5 . B. 12. C. 2 . D. 13.
Câu 35. [Mức độ 3] Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng P : 6x 4y 5z 3 0 và hai đường 
 x y 3 z 1 x 2 y 1 z 2
 thẳng d : , d : . Đường thẳng vuông góc với P , đồng 
 1 1 2 3 2 2 3 1
 thời cắt cả d1 và d2 có phương trình là
 x y 3 z 1 x 6 y 7 z 4
 A. . B. . 
 6 4 5 6 4 5
 x 1 y 3 z 1 x 3 y 1 z 2
 C. . D. .
 6 4 5 6 4 5
 x y 1 z 2
Câu 36. [Mức độ 4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : và 
 1 2 1
 mặt phẳng P : 2x y 2z 2 0 . Q là mặt phẳng chứa d và tạo với mp P một góc nhỏ 
  
 nhất. Gọi nQ a; b;1 là một vectơ pháp tuyến của Q . Đẳng thức nào đúng?
 A. a b 1. B. a b 2. C. a b 1. D. a b 0.
 Trang 7 SP TỔ 17
Câu 37. [Mức độ 3] Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d1 , d2 và mặt phẳng ( ) có 
 x 1 3t
 x 2 y z 4
 phương trình d1 : y 2 t t ¡ , d2 : , ( ) : x y z 2 0. Phương 
 3 2 2
 z 1 2t
 trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng ( ), cắt cả hai đường thẳng d1 và d2 là
 x 2 y 1 z 3 x 2 y 1 z 3
 A. . B. .
 8 7 1 8 7 1
 x 2 y 1 z 3 x 2 y 1 z 3
 C. . D. .
 8 7 1 8 7 1
Câu 38. [Mức độ 4] Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 0; 1;2 , B 2;1;1 và đường thẳng 
 x 1 y z 2
 d : . Phương trình đường thẳng đi qua A , cắt d và cách điểm B một 
 2 1 1
 khoảng nhỏ nhất là
 x y 1 z 2 x y 1 z 2
 A. . B. .
 1 1 3 3 3 2
 x y 1 z 2 x y 1 z 2
 C. . D. .
 3 3 2 1 1 3
Câu 39. [Mức độ 3] Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng P : x y z 1 0 , hai đường thẳng 
 x y 2 z 4 x y 1 z 3
 d1 : và d2 : . Đường thẳng d vuông góc với P đồng thời 
 1 3 1 2 1 1
 cắt cả d1 , d2 có phương trình là
 x y 1 z 3 x y 1 z 3 x y 2 z 1 x y 1 z 2
 A. . B. . C. . D. .
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Câu 40. [Mức độ 4] Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng P : x y z 1 0 , mặt cầu 
 2 2 2 2 x y 2 z 4 x y 1 z 3
 S : x 1 y z R , hai đường thẳng d1 : và d2 : . 
 1 3 1 2 1 1
 Gọi d là đường thẳng vuông góc với P đồng thời cắt cả d1 , d2 . Biết rằng có số thực R sao 
 cho chỉ có một điểm M m;n; p thuộc d sao cho từ M có duy nhất một mặt phẳng tiếp xúc 
 với mặt cầu S . Khi đó m2 n2 p2 R2 bằng
 A. 2 . B. 1. C. 1. D. 3.
 Trang 8 SP TỔ 17
 BẢNG ĐÁP ÁN
 1D 2A 3D 4D 5A 6A 7A 8D 9A 10C 11D 12C 13A 14B 15A
 16D 17B 18C 19A 20A 21D 22D 23D 24A 25D 26D 27D 28A 29D 30D
 31B 32C 33A 34D 35A 36B 37A 38C 39A 40C
 HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1. [Mức độ 3] Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng P :x y z 21 0 
 x 1 z 2 x 3 y 1 z 1
 và hai đường thẳng d : y ; d : . Viết phương trình đường 
 1 2 1 1 2
 thẳng song song với P đồng thời cắt d , d và tạo với d góc 30 .
 x 5 x 5 t x 5 x t 
 A. 1 : y 4 5t ; 2 : y 4 t .B. 1 : y 4 3t ; 2 : y 1.
 z 10 5t z 10 t z 10 t z t 
 x 3 x 2t x 5 x t 
 C. 1 : y 4 t ; 2 : y 1. D. 1 : y 4 t ; 2 : y 1.
 z 1 t z t z 10 t z t 
 Lời giải
 FB tác giả: Phạm Anh
 Ta có nP 1;1; 1 là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng P .
 Gọi M 1 a;a;2 2a là giao điểm của và d ; M 3 b;1 b;1 2b là giao điểm của và 
 d .
  
 Ta có: MM 2 b a; 1 b a; 1 2b 2a .
 M P  
 MM // P  b 2 MM 4 a; 1 a; 3 2a .
 MM  nP
  3 6a 9 a 4
 Ta có cos30 cos MM ,ud .
 2 36a2 108a 156 a 1
 x 5 x t 
 Vậy, có 2 đường thẳng thoả mãn là 1 : y 4 t ; 2 : y 1.
 z 10 t z t 
Câu 2. [Mức độ 2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P :3x 5y 2z 8 0 và 
 x 7 5t
 đường thẳng d : y 7 t t ¡ . Tìm phương trình đường thẳng đối xứng với đường 
 z 6 5t
 thẳng d qua mặt phẳng P .
 x 5 5t x 17 5t
 A. : y 13 t . B. : y 33 t .
 z 2 5t z 66 5t
 Trang 9 SP TỔ 17
 x 11 5t x 13 5t
 C. : y 23 t . D. : y 17 t .
 z 32 5t z 104 5t
 Lời giải
 FB tác giả: Phạm Anh
 Nhận xét: đường thẳng d song song với P với nên song song với d 
 Lấy M 7; 7;6 d . Gọi N x; y; z là điểm đối xứng của M qua mặt phẳng P và I là 
 trung điểm MN .
  
 MN knP x 7; y 7; z 6 k 3; 5;2 
 Ta có: .
 I P 3x 5y 2z 84 0
 x 5 5t
 Giải hệ, ta có: k 4 M 5;13; 2 . Do đó: : y 13 t .
 z 2 5t
 x 2 y 2 z
Câu 3. [Mức độ 3] Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d : và 
 1 3 1 3
 x 13 y 6 z 4
 d : . Đường thẳng cắt và vuông góc với cả hai đường thẳng d , d có 
 2 3 1 1 1 2
 phương trình là 
 x 1 y 1 z 3 x 1 y 1 z 3
 A. . B. .
 20 3 9 20 3 9
 x 10 y 7 z 3 x 8 y 4 z 6
 C. . D. .
 2 3 3 2 3 3
 Lời giải
 FB tác giả: Quyết Bùi 
 Gọi d là đường thẳng cắt và vuông góc với cả hai đường thẳng d1 , d2 lần lượt tại M và N . 
 Vì M d1 M 2 3a;2 a;3a , N d1 N 13 3b;6 b;4 b 
  
 MN 3b 3a 11; b a 4;b 3a 4 
 Đường thẳng d1 có một vec tơ chỉ phương là u1 3;1;3 .
 Đường thẳng d2 có một vec tơ chỉ phương là u2 3; 1;1 .
 Vì d vuông góc với cả hai đường thẳng d1 , d2 , ta có
  
 MN.u1 0 11b 19a 49 a 2
  
 11b 11a 33 b 1
 MN.u2 0 
  
 Ta có: M 8;4;6 ; N 10;7;3 và MN 2;3; 3 .
  
 Phương trình đường thẳng d qua M 8;4;6 nhận MN 2;3; 3 làm một vec tơ chỉ 
 x 8 y 4 z 6
 phương là: .
 2 3 3
 Trang 10