Đề cương ôn tập Toán 8 - Chuyên đề: Giải bài toán bằng cách lập phương trình

 Phương pháp dạy: Giải bài toán bằng cách lập phương trình
I. Loại toán tìm hai số.
+ Hướng dẫn học sinh trong dạng bài này gồm các bài toán như:
- Tìm hai số biết tổng hoặc hiệu, hoặc tỉ số của chúng.
- Toán về tìm số sách trong mỗi giá sách, tính tuổi cha và con, tìm số công nhân mỗi phân xưởng.
- Toán tìm số dòng một trang sách, tìm số dãy ghế và số người trong một dãy. 
+ Hướng dẫn học sinh lập bảng như sau:
1.Toán tìm hai số biết tổng hoặc hiệu hoặc tỉ số.
*Bài toán 1: 
 Hiệu hai số là 12. Nếu chia số bé cho 7 và lớn cho 5 thì thương thứ nhất lớn hơn thương thứ hai là 
4 đơn vị. 
 Tìm hai số đó.
 Phân tích bài toán:
 Có hai đại lượng tham gia vào bài toán, đó là số bé và số lớn. 
 Nếu gọi số bé là x thì số lớn biểu diễn bởi biểu thức nào?
 x x 12
 Yêu cầu học sinh điền vào các ô trống còn lại ta có thương thứ nhất là , thương thứ hai là 
 7 5
 Giá trị Thương
 x
 Số bé x
 7
 x 12
 Số lớn x + 12
 5
 Lời giải: 
 Gọi số bé là x.
 Số lớn là: x +12.
 x
 Chia số bé cho 7 ta được thương là : .
 7
 x 12
 Chia số lớn cho 5 ta được thương là: 
 5
 Vì thương thứ nhất lớn hơn thương thứ hai 4 đơn vị nên ta có phương trình:
 x 12 x
 - = 4 
 5 7
 Giải phương trình ta được x = 28
 Vậy số bé là 28.
 Số lớn là: 28 +12 = 40.
2. Toán về tìm số sách trong mỗi giá sách, tìm tuổi, tìm số công nhân của phân xưởng.
 1 Phương pháp dạy: Giải bài toán bằng cách lập phương trình
*Bài toán 2
 Hai thư viện có cả thảy 15000 cuốn sách. Nếu chuyển từ thư viện thứ nhất sang thứ viện thứ hai 
3000 cuốn, thì số sách của hai thư viện bằng nhau. 
 Tính số sách lúc đầu ở mỗi thư viện. 
 Phân tích bài toán:
 Có hai đối tượng tham gia vào bài toán: Thư viện 1 và thư viện 2. Nếu gọi số sách lúc đầu của thư 
viện 1 là x, thì có thể biểu thị số sách của thư viện hai bởi biểu thức nào? Số sách sau khi chuyển ở 
thư viện 1, thư viện 2 biểu thị như thế nào?
 Số sách lúc đầu Số sách sau khi chuyển
 Thư viện 1 x x - 3000
 Thư viện 2 15000 - x (15000 - x) + 3000
 Lời giải:
 Gọi số sách lúc đầu ở thư viện I là x (cuốn), x nguyên, dương.
 Số sách lúc đầu ở thư viện II là: 15000 - x (cuốn)
 Sau khi chuyển số sách ở thư viện I là: x - 3000 (cuốn)
 Sau khi chuyển số sách ở thư viện II là:
 (15000 - x)+ 3000 = 18000-x (cuốn) 
 Vì sau khi chuyển số sách 2 thư viện bằng nhau nên ta có phương trình:
 x - 3000 = 18000 - x
 Giải phương trình ta được: x = 10500 (thỏa mãn điều kiện).
 Vậy số sách lúc đầu ở thư viện I là 10500 cuốn.
 Số sách lúc đầu ở thư viện II là: 15000 - 10500 = 4500 cuốn.
*Bài toán 3:
 Số công nhân của hai xí nghiệp trước kia tỉ lệ với 3 và 4. Nay xí nghiệp 1 thêm 40 công nhân, xí 
nghiệp 2 thêm 80 công nhân. Do đó số công nhân hiện nay của hai xí nghiệp tỉ lệ với 8 và 11. 
 Tính số công nhân của mỗi xí nghiệp hiện nay.
 Phân tích bài toán:
 Có hai đối tượng tham gia trong bài toán, đó là xí nghiệp 1 và xí nghiệp 2. Nếu gọi số công nhân 
của xí nghiệp 1 là x, thì số công nhân của xí nghiệp 2 biểu diễn bằng biểu thức nào? Học sinh điền 
vào các ô trống còn lại và căn cứ vào giả thiết: Số công nhân của hai xí nghiệp tỉ lệ với 8 và 11 để lập 
phương trình.
 Số công nhân Trước kia Sau khi thêm
 Xí nghiệp 1 x x + 40
 2 Phương pháp dạy: Giải bài toán bằng cách lập phương trình
 4 4
 Xí nghiệp 2 x x + 80
 3 3
 Lời giải:
 Cách 1:
 Gọi số công nhân xí nghiệp I trước kia là x (công nhân), x nguyên, dương.
 4
 Số công nhân xí nghiệp II trước kia là x (công nhân).
 3
 Số công nhân hiện nay của xí nghiệp I là: x_+ 40 (công nhân).
 4
 Số công nhân hiện nay của xí nghiệp II là: x_+ 80 (công nhân).
 3
 Vì số công nhân của hai xí nghiệp tỉ lệ với 8 và 11 nên ta có phương trình: 
 4
 x 80
 x 40
 3
 8 11
 Giải phương trình ta được: x = 600 (thỏa mãn điều kiện).
 Vậy số công nhân hiện nay của xí nghiệp I là: 600 + 40 = 640 công nhân.
 4
 Số công nhân hiện nay của xí nghiệp II là: .600 + 80 = 880 công nhân.
 3
 *Bài toán 4: 
 Tính tuổi của hai người, biết rằng cách đây 10 năm tuổi người thứ nhất gấp 3 lần tuổi của người 
thứ hai và sau đây hai năm, tuổi người thứ hai sẽ bằng một nửa tuổi của người thứ nhất.
 Phân tích bài toán:
 Có hai đối tượng tham gia vào bài toán: người thứ nhất và người thứ hai, có 3 mốc thời gian: cách 
đây 10 năm, hiện nay và sau 2 năm.Từ đó hướng dẫn học sinh cách lập bảng. 
 Tuổi Hiện nay Cách đây10 năm Sau 2 năm
 Người I x x - 10 x + 2
 x 10 x 2
 Người II
 3 2
 Nếu gọi số tuổi của người thứ nhất là x, có thể biểu thị số tuổi của người thứ nhất cách đây 10 năm 
và sau đây 2 năm. Sau đó có thể điền nốt các số liệu còn lại vào trong bảng. Sau đó dựa vào mối quan 
hệ về thời gian để lập phương trình.
 Lời giải:
 Gọi số tuổi hiện nay của người thứ nhất là x (tuổi), x nguyên, dương.
 Số tuổi người thứ nhất cách đây 10 năm là: x - 10 (tuổi).
 x 10
 Số tuổi người thứ hai cách đây 10 năm là: (tuổi).
 3
 Sau đây 2 năm tuổi người thứ nhất là: x + 2 (tuổi).
 3 Phương pháp dạy: Giải bài toán bằng cách lập phương trình
 x 2
 Sau đây 2 năm tuổi người thứ hai là: (tuổi).
 2
 Theo bài ra ta có phương trình phương trình như sau:
 x 2 x 10
 10 2
 2 3
 Giải phương trình ta được: x = 46 (thỏa mãn điều kiện).
 Vậy số tuổi hiện nay của ngườ thứ nhất là: 46 tuổi.
 46 2
 Số tuổi hiện nay của ngườ thứ hai là: 2 12 tuổi.
 2
3. Dạng toán tìm số dãy ghế và số người trong một dãy.
*Bài toán 5:
 Một phòng họp có 100 chỗ ngồi, nhưng số người đến họp là 144. Do đó, người ta phải kê thêm 2 
dãy ghế và mỗi dãy ghế phải thêm 2 người ngồi. 
 Hỏi phòng họp lúc đầu có mấy dãy ghế?
Phân tích bài toán:
 Bài toán có hai tình huống xảy ra: Số ghế ban đầu và số ghế sau khi thêm. Nếu chọn số ghế lúc 
đầu là x, ta có thể biểu thị các số liệu chưa biết qua ẩn và có thể điền được vào các ô trống còn lại. 
Dựa vào giả thiết: Mỗi dãy ghế phải kê thêm 2 người ngồi, ta có thể lập được phương trình:
 Số dãy ghế Số ghế của mỗi dãy
 100
 Lúc đầu x
 x
 144
 Sau khi thêm x + 2
 x 2
 Lời giải:
 Gọi số dãy ghế lúc đầu là x ( dãy), x nguyên dương.
 Số dãy ghế sau khi thêm là: x + 2 (dãy).
 100
 Số ghế của một dãy lúc đầu là: (ghế).
 x
 144
 Số ghế của một dãy sau khi thêm là: (ghế).
 x 2
 Vì mỗi dãy ghế phải thêm 2 người ngồi nên ta có phương trình:
 144 100
 2
 x 2 x
 Giải phương trình ta được x=10 (thỏa mãn đk)
 Vậy phòng họp lúc đầu có 10 dãy ghế. 
II. Loại toán chuyển động:
 4 Phương pháp dạy: Giải bài toán bằng cách lập phương trình
 Loại toán này có rất nhiều dạng, tuy nhiên có thể phân ra một số dạng thường gặp như sau:
1, Toán có nhiều phương tiện tham gia trên nhiều tuyến đường.
2,Toán chuyển động thường.
3,Toán chuyển động có nghỉ ngang đường.
4,Toán chuyển động ngược chiều.
5,Toán chuyển động cùng chiều. 
6,Toán chuyển động một phần quãng đường.
 Hướng dẫn học sinh lập bảng từng dạng:
 - Nhìn chung mẫu bảng ở dạng toán chuyển động gồm 3 cột: Quãng đường, vận tốc, thời gian.
 - Các trường hợp xảy ra như: Quãng đường đầu, quãng đường cuối, nghỉ, đến sớm, đến muộn 
hoặc các đại lượng tham gia chuyển động đều được ghi ở hàng ngang.
 - Đa số các bài toán đều lập phương trình ở mối liên hệ thời gian.
1. Toán có nhiều phương tiện tham gia trên nhiều quãng đường.
 *Bài toán 6:
 Đường sông từ A đến B ngắn hơn đường bộ là 10km, Ca nô đi từ A đến B mất 2h20 ',ô tô đi hết 
2h. Vận tốc ca nô nhỏ hơn vận tốc ô tô là 17km/h.
 Tính vận tốc của ca nô và ô tô?
 Phân tích bài toán:
 Bài có hai phương tiện tham gia chuyển động là Ca nô và Ô tô.Hướng dẫn học sinh lập bảng gồm 
các dòng, các cột như trên hình vẽ. Cần tìm vận tốc của chúng. Vì thế có thể chọn vận tốc của ca nô 
hay ô tô làm ẩn x(x>0). Từ đó điền các ô thời gian, quãn đường theo số liệu đã biết và công thức nêu 
trên. Vì bài toán đã cho thời gian nên lập phương trình ở mối quan hệ quãng đường.
 t(h) v(km/h) S(km)
 10 10x
 Ca nô 3h20'= h x
 3 3
 Ô tô 2 x+17 2(x+17)
 Công thức lập phương trình: Sôtô -Scanô = 10
 Lời giải:
 Gọi vận tốc của ca nô là x km/h (x>0).
 Vận tốc của ô tô là: x+17 (km/h).
 10
 Quãng đường ca nô đi là: x (km).
 3
 Quãng đường ô tô đi là: 2(x+17)(km).
 Vì đường sông ngắn hơn đường bộ 10km nên ta có phương trình:
 10
 2(x+17) - x =10
 3
 5 Phương pháp dạy: Giải bài toán bằng cách lập phương trình
 Giải phương trình ta được x = 18.(thỏa mãn đk).
 Vậy vận tốc ca nô là 18km/h.
 Vận tốc ô tô là 18 + 17 = 35(km/h).
 * Bài toán 7:
 Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 33km với vận tốc xác định. Khi đi từ B đến A, người 
đó đi bằng con đường khác dài hơn trước 29km, nhưng với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 3km/h.
 Tính vận tốc lúc đi, biết thời gian đi nhiều hơn thời gian về là 1h30'?
 S(km) v(km/h) t(h)
 33
 Lúc đi 33 x
 x
 62
 Lúc về 33+29 x+3
 x 3
Hướng dẫn tương tự bài 6.
 3
- Công thức lập phương trình: tvề - tđi =1h30' (= h ).
 2
- Phương trình là:
 62 33 3
 x 3 x 2
 6 Phương pháp dạy: Giải bài toán bằng cách lập phương trình
2. Chuyển động thường:
 Với các bài toán chuyển động dưới nước, yêu cầu học sinh nhớ công thức:
 . vxuôi = vthực + vnước
 . vngược = vthực - vnước
* Bài toán 8:
 Một tàu thủy chạy trên một khúc sông dài 80km, cả đi lẫn về mất 8h20'. 
 Tính vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng? Biết rằng vận tốc dòng nước là 4km/h.
 v(km/h)
 S(km) t(h)
 Tàu: x Nước: 4
 80
 Xuôi 80 x + 4
 x 4
 80
 Ngược 80 x - 4
 x 4
 Phân tích bài toán:
 Vì chuyển động dưới nước có vận tốc dòng nước nên cột vận tốc được chia làm hai phần ở đây gọi 
vận tốc thực của tàu là x km/h (x>4) 
 25
 Công thức lập phương trình: t xuôi + t ngược + 8h20' ( h )
 3
 Lời giải: 
Gọi vận tốc của tàu khi nước yên lặng là x km/h (x>0)
Vận tốc của tàu khi xuôi dòng là: x + 4 km/h
Vận tốc của tàu khi ngược dòng là: x - 4 km/h
 80
Thời gian tàu đi xuôi dòng là: h
 x 4
 80
Thời gian tàu đi ngược dòng là: h
 x 4
 25
Vì thời gian cả đi lẫn về là 8h 20' = h nên ta có phương trình:
 3
 80 80 25
 x 4 x 4 3
 4
Giải phương trình ta được: x1 = (loại) x2 = 20 (tmđk) Vậy vận tốc của tàu khi nước yên lặng là 20 
 5
km/h 
3. Chuyển động có nghỉ ngang đường.
 7 Phương pháp dạy: Giải bài toán bằng cách lập phương trình
 Học sinh cần nhớ:
 .tdự định =tđi + tnghỉ
 .Quãng đường dự định đi= tổng các quãng đường đi
*Bài toán 9:
 Một Ôtô đi từ Lạng Sơn đến Hà nội. Sau khi đi được 43km nó dừng lại 40 phút, để về Hà nội kịp 
giờ đã quy định, Ôtô phải đi với vận tốc 1,2 vận tốc cũ. 
 Tính vận tốc trước biết rằng quãng đường Hà nội- Lạng sơn dài 163km.
 Phân tích bài toán: 
 163km
 43km
 Hà nội Lạng sơn
 Vì Ôtô chuyển động trên những quãng đường khác nhau, lại có thời gian nghỉ, nên phức tạp. Giáo 
viên cần vẽ thêm sơ đồ đoạn thẳng để học sinh dễ hiểu, dễ tìm thấy số liệu để điền vào các ô của 
bảng. Giáo viên đặt câu hỏi phát vấn học sinh: Thời gian dự định đi? Thời gian đi quãng đường đầu, 
quãng đường cuối? 
 Chú ý học sinh đổi từ số thập phân ra phân số cho tiện tính toán.
 S(km) v(km/h) t(h)
 163
 Lạng sơn- Hà nội 163 x
 x
 43
 S 43 x
 đầu x
 2
 Dừng 40' h
 3
 6 100
 S 120 1,2x h
 cuối 5 x
 Công thức lập phương trình: tđầu + tdừng + tcuối = tdự định
 Lời giải:
 Gọi vận tốc lúc đầu của ô tô là x km/h (x>0)
 Vận tốc lúc sau là 1,2 x km/h
 163
 Thời gian đi quãng đường đầu là: h
 x
 100
 Thời gian đi quãng đường sau là: h
 x
 Theo bài ra ta có phương trình
 43 2 100 163
 x 3 x x
Giải phương trình ta được x = 30 (tmđk)
 8 Phương pháp dạy: Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Vậy vận tốc lúc đầu của ô tô là 30 km/h.
* Bài toán 10:
 Một Ô tô dự định đi từ A đến B cách nhau 120km trong một thời gian dự định. Sau khi đi được 1h 
Ôtô bị chắn bởi xe hỏa 10 phút. Do đó để đến nơi đúng giờ xe phải tăng vận tốc lên 6km/h. tính vận 
tốc của Ôtô lúc đầu.
 S(km) v(km/h) t(h)
 120
 S 120 x
 AB x
 Sđầu x x 1
 1
 Nghỉ 10' h
 6
 120 x
 S 120-x x+6
 sau x 6
 Hướng dẫn tương tự bài 9.
 Công thức lập phương trình: tđi + tnghỉ = tdự định
 Phương trình của bài toán là: 
 1 120 x 120
 1 
 6 x 6 x
Đáp số: 48 km.
4. Chuyển động ngược chiều:
 Học sinh cần nhớ: 
 + Hai chuyển động để gặp nhau thì: S1 + S2 = S
 + Hai chuyển động đi để gặp nhau: t1 = t2 (không kể thời gian đi sớm).
* Bài toán 11: 
 Hai Ô tô cùng khởi hành từ hai bến cách nhau 175km để gặp nhau. Xe1 đi sớm hơn xe 2 là 1h30' 
với vận tốc 30kn/h. Vận tốc của xe 2 là 35km/h. 
 Hỏi sau mấy giờ hai xe gặp nhau?
Bài này học sinh cần lưu ý: Vì chuyển động ngược chiều đi để gặp nhau nên lập phương trình ở mối 
quan hệ quãng đường: S = S1 + S2
 S(km) v(km/h) t(h)
 3 3
 Xe 1 30 x 30 x 
 2 2
 Xe 2 35x 35 x
 Lời giải:
 9 Phương pháp dạy: Giải bài toán bằng cách lập phương trình
 Gọi thời gian đi của xe 2 là x h (x > 0)
 3
 Thời gian đi của xe 1 là x h 
 2
 Quãng đường xe 2 đi là: 35x km
 3
 Quãng đường xe 1 đi là: 30(x ) km
 2
 Vì 2 bến cách nhau 175 km nên ta có phương trình:
 3
 30(x ) + 35x = 175
 2
 Giải phương trình ta được x = 2 (tmđk)
 Vậy sau 2 giờ xe 2 gặp xe 1.
5. Chuyển động cùng chiều: 
 Học sinh cần nhớ: 
 + Quãng đường mà hai chuyển động đi để gặp nhau thì bằng nhau.
 + Cùng khởi hành: tc/đ chậm - tc/đ nhanh = tnghỉ (tđến sớm)
 + Xuất phát trước sau: tc/đ trước - tc/đ sau = tđi sau 
 tc/đ sau + tđi sau + tđến sớm = tc/đ trước
* Bài toán 12:
 Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A, sau đó 5h20' một chiếc ca nô cũng chạy từ bến sông A 
đuổi theo và gặp thuyền tại một điểm cách A 20km. 
 Hỏi vận tốc của thuyền? biết rằng ca nô chạy nhanh hơn thuyền 12km/h.
 Phân tích bài toán: 
 Chuyển động của thuyền và ca nô nhưng không có vận tốc dòng nước vì thế các em làm như 
chuyển động trên cạn.
 Công thức lập phương trình: tthuyền - tca nô = tđi sau 
 S(km) v(km/h) t(h)
 20
 Thuyền 20 x
 x
 20
 Ca nô 20 x+12
 x 12
 Lời giải:
 Gọi vận tốc của thuyền là x km/h
 Vận tốc của ca nô là x = 12 km/h
 20
 Thời gian thuyền đi là: 
 x
 10