Đề chính thức Kỳ thi chọn HSG cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 năm 2014 Sở GD&ĐT Lâm Đồng (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS
 LÂM ĐỒNG	 NĂM HỌC 2013 - 2014
 	 	 Môn thi: TOÁN 
DŨNG - THAO
 ĐỀ CHÍNH THỨC	 	 Thời gian làm bài: 150 phút
 (Đề thi có 1 trang) Ngày thi: 21/02/2014
Câu 1: (2,0 điểm) Cho biểu thức (với )
Rút gọn biểu thức A.
Tìm x để .
Câu 2:(2,0 điểm)Giải phương trình: 
Câu 3:(2,0 điểm)Với giá trị nào của a và b thì đa thức: chia hết cho đa thức
Câu 4:(2,0 điểm)Cho đường tròn (O; R), M là một điểm nằm ngoài đường tròn. Biết khoảng cách từ M đến O bằng d. Kẻ cát tuyến MAB với đường tròn. 
	Chứng minh rằng: MA.MB = d2 – R2 
Câu 5:(1,5 điểm)Giải phương trình nghiệm nguyên: .
Câu 6:(1,5 điểm)Giải hệ phương trình: 
Câu 7:(1,5 điểm)Với k là một số tự nhiên chẵn, chứng minh rằng luôn tồn tại một cặp số tự nhiên a và b để: k3 = a2 – b2
Câu 8:(1,5 điểm)Cho tứ giác lồi ABCD. Kéo dài AB một đoạn BM = AB, kéo dài BC một đoạn CN = BC, kéo dài CD một đoạn DP = CD và kéo dài DA một đoạn AQ = DA. Chứng minh rằng: . 
Câu 9:(1,5 điể...uy ra là số nguyên, nên 
Từ đó, tìm được (x;y) là (1;0),(0;-2)
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Bài 6: 1,5đ
Giải hệ phương trình: 
Ta có: 
 Þ
Từ đó suy ra hai trường hợp:
TH1: 
 Hệ này có hai nghiệm là: (2;1) và (1;2)
TH2: 
 Kết luận hệ vô nghiệm
Tóm lại, hệ đã cho có hai nghiệm là: (2;1) và (1;2)
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
Bài 7: 1,5đ
Với k là một số tự nhiên chẵn, chứng minh rằng luôn tồn tại một cặp số tự nhiên a và b để: k3 = a2 – b2
Đặt k = ()
Vậy 
Với 
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
Bài 8: 1,5đ
Cho tứ giác lồi ABCD. Kéo dài AB một đoạn BM = AB, kéo dài BC một đoạn CN = BC, kéo dài CD một đoạn DP = CD và kéo dài DA một đoạn AQ = DA. Chứng minh rằng: .
Do D là trung điểm của PC nên
Do A là trung điểm của DQ nên
Suy ra 
Tương tự: 
Vậy
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Bài 9: 
1,5 đ
Chứng minh rằng: Với a , b là các số tự nhiên, nếu là một số nguyên tố thì 
Ta có: 
Nếu thì a +b>1, suy ra là một hợp số, trái giả thiết.
Do đó ta có: (1)
Mặt khác : là số nguyên tố
 (2)
Từ (1) và (2) suy ra 
Vậy 
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Bài 10: 1,5đ
Cho các số nguyên và thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = 
Nhận xét: Nếu có cặp số nguyên x, y thỏa mãn thì xy<0.
Xét hai trường hợp
+ TH1 :x > 0 > y 
và 
.
Lý luận và tìm được :
 B nhỏ nhất và đạt giá trị nguyên khi x nhỏ nhất và x nguyên dương nên và B =12
+ TH 2: 
 và 
Lý luận và tìm được :
B nhỏ nhất và đạt giá trị nguyên khi y nhỏ nhất và y nguyên dương , nên và B = 1
So sánh hai trường hợp, vậy GTNN của B bằng 1 khi 
0,25
0, 5
0,5
0,25
Bài 11:
1,5 đ
Cho tam giác ABC vuông tại A, gọi I là giao điểm các đường phân giác trong của tam giác. Biết AB = 5cm, IC = 6cm. Tính độ dài cạnh BC.
Kẻ CH ^BI, CH cắt BA tại D
DBDC cân tại B nên BC = BD và CH = HD
Đặt BC = x Þ AD = x – 5 
DCHI vuông cân nên
CH =
DACD vuông nên AD2 +AC2 = DC2 Þ
Đáp số : BC = 9 cm
0,5
0,5
0,5
Bài 12: 
1,5đ
Cho (O;R), đường thẳng a cắt đường tròn tại A và B. Gọi M