Bài tập ôn tập Hình học 9 - Chương 3 - Bài 1: Góc ở tâm, góc nội tiếp

 CHƯƠNG III. GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN
 BÀI 1: GÓC Ở TÂM, GÓC NỘI TIẾP.
1, GÓC Ở TÂM.
 – Góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn gọi là góc ở tâm. Hai cạnh của góc cắt đường tròn 
tại hai điểm chia đường tròn thành hai cung: 
 – Cung nằm bên trong góc gọi là cung nhỏ, cung nẳm bên ngoài góc gọi là cung lớn.
VD: A
 Ở Hình 1:
 Góc ·AOB là góc ở tâm. m
 Cung nhỏ là cung AmB .
 B
 Cung lớn là cung AnB . O
Hoặc ta có cách nói khác:
 · 
 Góc AOB chắn cung AmB . n
 Hình 1
Chú ý:
 + Góc bẹt chắn nửa đường tròn.
2, SỐ ĐO GÓC Ở TÂM.
 – Số đo của nửa đường tròn bằng 1800 .
 – Số đo góc ở tâm bằng số đo cung bị chắn.
VD:
 A
 Ở Hình 2:
 Góc ·AOB 680 => sđ AmB 680 . m
 Từ đó: sđ AnB 3600 680
 680
 B
 O
Chú ý:
 + Hai cung bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.
 n
 Hình 2
 1 3, GÓC NỘI TIẾP.
 – Góc nội tiếp là góc có đỉnh nẳm trên đường tròn và hai cạnh là hai dây cung của đường tròn đó
 – Cung nằm bên trong góc gọi là cung bị chắn.
VD:
 Ở Hình 3: A
 Góc ·ABC là góc nội tiếp.
 m
 Góc ·ABC chắn cung AmC .
 O C
 B
 Hình 3
4, SỐ ĐO GÓC NỘI TIẾP.
 – Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.
VD:
 Ở Hình 4: A
 sđ AmC 980 nên ·ABC 490
 m
 980
 O C
 490
 B
Chú ý:
 Trong một đường tròn:
 + Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.
 Hình 4
 + Các góc nội tiếp cùng chắn 1 cung thì bằng nhau.
 + Góc nội tiếp có số đo bằng nửa góc ở tâm cùng chắn một cung.
 + Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.
 2 5, CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP:
 µ µ 
 – Tứ giác ABCD nội tiếp thì A1 D1 ( cùng chắn cung BC ) và ngược lại:
 µ µ
 Tứ giác ABCD có A1 D1 thì tứ giác ABCD nội tiếp.
 B
 A
 1
 O
 C
 1
 D
 – Tứ giác ABCD nội tiếp O đường kính AC thì Bˆ Dˆ 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường 
tròn) và ngược lại:
 Tứ giác ABCD có Bˆ Dˆ 900 thì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AC.
 B
 A C
 O
 D
 – Tứ giác ABCD nội tiếp thì tổng hai góc Aˆ Cˆ 1800 và ngược lại:
 Tứ giác ABCD có tổn hai góc bằng 1800 thì tứ giác ABCD nội tiếp.
 A
 B
 O
 C
 D
 3 6, BÀI TẬP VẬN DỤNG.
Bài 1: Cho nửa đường tròn O đường kính AB. Lấy điểm C thuộc nửa đường tròn. 
 Chứng minh AC  CB .
Bài 2: Cho nửa O đường kính AB. Gọi C, D thuộc nửa đường tròn ( C thuộc cung AD). AD cắt BC 
tại H, AC cắt BD tại E. Chứng minh EH  AB .
Bài 3: Cho ABC nội tiếp đường tròn O đường kính AC biết BA BC . Trên đoạn OC lấy điểm I 
bất kì I C . Đường thẳng BI cắt O tại điểm thứ hai là D. Kẻ CH  BD, H BD , DK vuông góc 
với AC, K AC .
 a, Chứng minh rằng tứ giác DHKC là tứ giác nội tiếp.
 b, Cho độ dài đoạn thẳng AC là 4cm và ·ABD 400 . Tính diện tích ACD .
 c, Đường thẳng đi qua K và song song với BC cắt đường thẳng BD tại E. Chứng minh rằng khi I 
thay đổi trên đoạn thẳng OC, I C thì điểm E luôn thuộc một đường tròn cố định.
Bài 4: Cho đường tròn O đường kính AB. Dây CD vuông góc với AB tại H. M là một điểm trên đoạn 
thẳng CD. Tia AM cắt O tại N.
 a, Chứng minh tứ giác MNBH nội tiếp.
 b, Chứng minh MC.MD MA.MN .
 c, Chứng minh AM.AN AC 2 .
Bài 5: Cho ABC vuông tại A, Đường cao AH, vẽ đường tròn A; AH . Từ đỉnh B kẻ tiếp tuyến BI với 
 A cắt đường thẳng AC tại D. ( I là tiếp điểm, I và H không trùng nhau).
 a, Chứng minh AHBI là tứ giác nội tiếp.
 b, Cho AB 4cm, AC 3cm . Tính AI.
 c, Gọi HK là đường kính của A . Chứng minh rằng: BC BI DK .
Bài 6: Cho ABC nhọn nội tiếp O;R . Các đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H.
 a, Chứng minh các tứ giác BFHD, BFEC nội tiếp.
 b, Chứng minh BD.BC BH.BE .
 c, Kẻ AD cắt cung BC tại M. Chứng minh BMH cân.
 4 Bài 7: Cho nửa O đường kính AB. Gọi C, D thuộc nửa đường tròn ( C thuộc cung AD). AD cắt BC 
tại H, AC cắt BD tại E. 
 a, Chứng minh CHDE nội tiếp và EH  AB .
 b, Chứng minh D· AB D· EH .
 c, Vẽ tiếp tuyến với O tại D cắt EH tại I. Chứng minh I là trung điểm của EH.
Bài 8: Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn O có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H.
 a, Chứng minh bốn điểm B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn.
 b, Chứng minh DE  OA.
 c, Cho M, N lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng BC, AH. Cho K, L lần lượt là giao điểm 
của hai đường thẳng OM và CE, MN và BD. Chứng minh KL // AC.
Bài 9: Cho đường tròn O;R dây BC cố định. Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho AB AC và 
 ABC nhọn. Các đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Gọi K là giao điểm của EF với BC.
 a, Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp.
 b, Chứng minh KB.KC KE.KF .
 c, Gọi M là giao điểm của AK với O , M khác A. Chứng minh MH  AK .
Bài 10: Cho O đường kính AB 2R , điểm C thuộc đường tròn đó ( C khác A, B). Lấy điểm D thuộc 
dây BC ( D khác B và C). Tia AD cắt cung nhỏ BC tại điểm E, Tia AC cắt BE tại F.
 a, Chứng minh FCDE nội tiếp.
 b, Chứng minh DA.DE DB.DC .
 c, Chứng minh C· FD O· CB . 
 d, Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE. Chứng minh IC là tiếp tuyến của O .
Bài 11: Cho nửa đường tròn O đường kính AB 2R . C là một điểm bất kì trên nửa đường tròn sao 
cho C khác A và AC CB . Điểm D thuộc cung nhỏ BC sao cho C· OD 900 . Gọi E là giao điểm của 
AD và BC, F là giao điểm của AC và BD.
 a, Chứng minh CEDF là tứ giác nội tiếp.
 b, Chứng minh FC.FA FD.FB .
 c, Gọi I là trung điểm của EF. Chứng minh IC là tiếp tuyến của O .
Bài 12: Cho ABC nhọn có AB AC . Vẽ đường tròn O đường kính BC cắt hai cạnh AB và AC 
lần lượt tại F và E. Gọi H là giao điểm của BE và CF, AH cắt BC tại D. Gọi I là trung điểm của AH.
 a, Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn tâm I và AD  BC .
 b, Chứng minh tứ giác OEIF nội tiếp và 5 điểm O, D, F, I, E cùng thuộc 1 đường tròn.
 c, Cho biết BC 6cm, Aˆ 600 , Tính OI.
 5 Bài 13: Cho nửa đường tròn O , đường kính AD. Trên nửa đường tròn lấy hai điểm B và C sao cho 
cung AB AC , AC cắt BD tại E. Kẻ EF  AD tại F.
 a, Chứng minh ABEF nội tiếp.
 b, Chứng minh DE.DB DF.DA.
 c, Chứng minh E là tâm đường tròn nội tiếp FBC .
 d, Gọi I là giao điểm của BD với CF. Chứng minh BI 2 BF.BC IF.IC .
Bài 14: Trên đường tròn tâm O đường kính AB 2R lấy điểm M sao cho AM R và N là một điểm 
bất kì trên cung nhỏ BM ( N khác M và B). Gọi I là giao điểm của AN và BM, H là hình chiếu của I trên 
AB.
 a, Chứng minh tứ giác IHBN là tứ giác nội tiếp.
 b, Chứng minh HI là tia phân giác của góc M· HN .
 c, Chứng minh đường tròn ngoại tiếp MHN luôn đi qua 2 điểm cố định.
 d, Xác định vị trí của điểm N để chu vi tứ giác AMNB lớn nhất.
Bài 15: Cho đường tròn O có dây cung CD cố định. Gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ CD. Đường 
kính MN của đường tròn O cắt dây CD tại I. Lấy điểm E bất kỳ trên cung lớn CD ( E khác C, D, N). 
ME cắt CD tại K. Các đường thẳng NE và CD cắt nhau tại P.
 a, Chứng minh tứ giác IKEN nội tiếp.
 b, Chứng minh EI.MN NK.ME .
 c, NK cắt MP tại Q. Chứng minh IK là phân giác E· IQ .
 d, Từ C vẽ đường thẳng vuông góc với EN cắt đường thẳng DE tại H. Chứng minh khi E di động 
trên cung lớn CD ( E khác C, D, N) Thì H luôn chạy trên một đường cố định.
Bài 16: Cho nửa O đường kính AB. Lấy điểm M bất kì thuộc nửa đường tròn với M A, B và C là 
điểm chính giữa cung AM. Gọi D là giao điểm của AC và BM, H là giao điểm của AM và BC.
 a, Chứng minh CHMD nội tiếp.
 b, Chứng minh DA.DC DB.DM .
 c, Gọi Q là giao điểm của HD và AB. Chứng minh khi M di chuyển trên nửa đường tròn thì 
đường tròn ngoại tiếp CMQ luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 17: Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn O;R . Các đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H.
 a, Chứng minh các tứ giác BFHD, BFEC là các tứ giác nội tiếp.
 b, Chứng minh BD.BC BH.BE .
 c, Kẻ AD cắt cung BC tại M. Chứng minh BMH cân.
Bài 18: Trên nửa đường tròn, đường kính AB, Lấy hai điểm I và Q sao cho I thuộc cung AQ. Gọi C là 
giao điểm hai tia AI và BQ, H là giao điểm hai dây AQ và BI.
 a, Chứng minh tứ giác CIHQ nội tiếp.
 b, Chứng minh CI.AI HI.BI .
 6 c, Biết AB 2.R . Tính giá trị biểu thức M AI.AC BQ.BC theo R.
Bài 19: Cho nửa đường tròn O đường kính BC và điểm A trên nửa đường tròn với AB AC . Gọi D 
là một điểm nằm giữa O và B, Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt AB ở E, cắt đường thẳng 
AC ở F.
 a, Chứng minh ACDE, ADBF là các tứ giác nội tiếp.
 b, Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại A cắt EF ở M. Chứng minh MA ME .
 c, Chứng minh AO là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp AEF .
 d, DF cắt nửa đường tròn O tại điểm P. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp AEP . Chứng 
minh C, I, P thẳng hàng.
Bài 20: Cho đường tròn O;R và dây cung BC cố định. A là điểm di động trên cung BC sao cho 
 ABC là tam giác nhọn. Hai đường phân giác trong của góc Aˆ, Bˆ cắt nhau tại I và thứ tự cắt đường tròn 
tại D và E. Đường thẳng DE cắt BC, AC tại M, N.
 a, Chứng minh tứ giác AENI nội tiếp. Hãy chỉ ra một tứ giác nội tiếp tương tự.
 b, Chứng minh tứ giác CMIN là hình thoi.
 c, Chứng minh BDI cân. Tìm vị trí của A để AI có độ dài lớn nhất.
Bài 21: Cho ABC có AB AC nội tiếp đường tròn O đường kính BC. Điểm D thuộc bán kính OC. 
Đường thẳng vuông góc với OC tại D cắt AC và AB lần lượt tại E và F.
 a, Chứng minh ABDE là tứ giác nội tiếp.
 b, Chứng minh C· AD C· FD .
 c, Gọi M là trung điểm của EF. Chứng minh AM là tiếp tuyến của O .
 d, Cho AB 6cm, ·ACB 300 . Tính diện tích hình giới hạn bởi dây AB và cung nhỏ AB
Bài 22: Cho đường tròn O và dây AB không đi qua tâm. Dây PQ của O vuông góc với AB tại H 
 HA HB . Gọi M là hình chiếu vuông góc của Q trên PB. QM cắt AB tại K.
 a, Chứng minh BHQM nội tiếp và BQ HM .
 b, Chứng minh QAK cân.
 c, Tia MH cắt AP tại N, Từ N kẻ đường thẳng song song với AK, đường thẳng đó cắt QB tại I. 
Chứng minh ba điểm P, I, K thẳng hàng.
Bài 23: Cho đường tròn O đường kính AB 2R , C là trung điểm của OA, Vẽ dây MN  AO tại C. 
K là điểm di động trên cung nhỏ MB và H là giao của AK và MN.
 a, Chứng minh BCHK nội tiếp.
 b, Chứng minh MBN đều.
 c, Tìm vị trí của K trên cung nhỏ MB sao cho KM KN KB đạt GTLN và tính giá trị lớn nhất 
đó theo R.
 7 Bài 24: Cho O , dây cung AB. Từ điểm M bất kì trên cung lớn AB ( M khác A và B), kẻ dây cung 
MN  AB tại H. Gọi MQ là đường cao MAN .
 a, Chứng minh A, M, H, Q cùng nằm trên một đường tròn.
 b, Chứng minh NQ.NA NH.NM .
 c, Chứng minh MN là phân giác của B· MQ .
 d, Hạ MP  BN , Xác định vị trí của M trên cung AB để MQ.AN MP.BN có GTLN.
Bài 25: Cho đường tròn O đường kính AB. Trên đường thẳng AB lấy điểm C sao cho B nằm giữa A 
và C. Kẻ tiếp tuyến CK với đường tròn O với K là tiếp điểm. Tiếp tuyến tại A của đường tròn O cắt 
CK tại H. Gọi I là giao điểm của OH và AK. J là giao điểm của BH và O ( J không trùng với B).
 a, Chứng minh AJ.HB AH.AB .
 b, Chứng minh 4 điểm B, O, I, J cùng nằm trên 1 đường tròn.
 AH HP
 c, Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt CH tại P. Tính .
 HP CP
Bài 26: Cho nửa đường tròn O đường kính BC. A là một điểm bất kì trên nửa đường tròn. BA kéo dài 
cắt tiếp tuyến Cy ở F. Gọi D là điểm chính giữa cung AC. DB kéo dài cắt tiếp tuyến Cy tại E.
 a, Chứng minh BD là phân giác ·ABC và OD // AB.
 b, Chứng minh ADEF nội tiếp.
 c, Gọi I là giao điểm của BD và AC. Chứng minh CI CE và IA.IC ID.IB .
 d, Chứng minh ·AFD ·AED .
Bài 27: Cho ABC cân tại A, I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp góc A, O là 
trung điểm của IK.
 a, Chứng minh 4 điểm B, I, C, K cùng thuộc một đường tròn tâm O.
 b, Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn O .
 c, Tính bán kính của đường tròn O , biết AB AC 20cm, BC 24cm .
Bài 28: Cho O đường kính AC. Trên đoạn AC lấy điểm B và vẽ đường tròn tâm O đường kính BC. 
Gọi M là trung điểm của đoạn AB. Từ M vẽ dây cung DE  AB , DC cắt đường tròn O tại I.
 a, Tứ giác ADBE là hình gì?
 b, Chứng minh DMBI nội tiếp.
 c, Chứng minh B, I, E thẳng hàng và MI MD .
 d, Chứng minh MC.DB MI.DC .
 e, Chứng minh MI là tiếp tuyến O .
 8 Bài 29: Cho ABC vuông tại A. Trên AC lấy điểm M sao cho AM MC . Dựng đường tròn O 
đường kính MC, đường tròn này cắt BC tại E. đường thẳng BM cắt O tại D và AD cắt O tại S.
 a, Chứng minh ADCB nội tiếp.
 b, Chứng minh ME là tia phân giác ·AED .
 c, Chứng minh ·ASM ·ACD .
 d, Chứng minh BA, EM, CD đồng quy.
Bài 30: Cho ABC vuông tại A có AB 4cm, AC 3cm . Lấy điểm D thuộc cạnh AB sao cho 
 AD DB . Đường tròn O đường kính BD cắt CB tại E, Kéo dài CD cắt O tại F.
 a, Chứng minh rằng ACED là tứ giác nội tiếp.
 b, Biết BF 3cm . Tính BC và diện tích BFC .
 c, Kéo dài AF cắt đường tròn O tài điểm G. Chứng minh rằng BA là tia phân giác của C· BG .
Bài 31: Cho O đường kính AB và dây CD  AB tại F. Trên cung BC lấy điểm M. Nối A với M cắt 
CD tại E.
 a, Chứng minh AM là tia phân giác C· MD .
 b, Chứng minh EFBM nội tiếp.
 c, Chứng minh AC 2 AE.AM .
 d, Gọi giao điểm của CB với AM là N, MD với AB là I. Chứng minh NI // CD.
 e, Chứng minh N là tâm đường tròn nội tiếp CIM .
Bài 32: Cho ABC nhọn và AB AC nội tiếp đường tròn O . Các đường cao AF và CE của ABC 
cắt nhau tại H.
 a, Chứng minh tứ giác AEFC nội tiếp.
 b, Kẻ đường kính AK của đường tròn O . Chứng minh ABK AFC .
 c, Kẻ FM // BK M AK . Chứng minh CM  AK .
Bài 33: Cho đường tròn O;R đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn. Trên Ax lấy điểm K 
sao cho AK R . Qua K kẻ tiếp tuyến KM tới đường tròn O . Đường thẳng d vuông góc với AB tại O, 
d cắt MB tại E.
 a, Chứng minh KAOM là tứ giác nội tiếp.
 b, OK cắt AM tại I. Chứng minh OI.OK OA2 .
 c, Gọi H là trực tâm KMA. Tìm quỹ tích điểm H khi K di động trên tia Ax.
Bài 34: Cho ABC nhọn có AB AC nội tiếp O , đường cao AH. D là điểm nằm giữ hai điểm A và 
H. Đường tròn đường kính AD cắt AB và AC lần lượt tại M và N khác A.
 a, Chứng minh MN AD và tứ giác BHDM nội tiếp.
 b, Chứng minh AMN ACB .
 9 c, Đường tròn đường kính AD cắt O tại điểm thứ hai E. Tia AE cắt đường thẳng BC tại K. 
Chứng minh ba điểm K, M, N thẳng hàng.
Bài 35: Cho đường thẳng d và đường tròn O;R không có điểm chung. Kẻ OH  d tại H. Lấy điểm M 
bất kì thuộc d. Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn O . Nối AB cắt OH, OM lần lượt ở K 
và I.
 a, Chứng minh 5 điểm M, H, A, O, B cùng thuộc 1 đường tròn.
 b, Chứng minh OK.OH OI.OM .
 c, Chứng minh khi M di chuyển trên d thì đường thẳng AB đi qua một điểm cố định.
 R2
 d, Chứng minh OK , Từ đó suy ra điểm K cố định.
 OH
 e, Tìm vị trí của M để diện tích O đạt giá trị lớn nhất.
Bài 36: Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn O;R với cạnh AB cố định khác đường kính. Các đường 
cao AE, BF của ABC cắt nhau tại H và cắt đường tròn lần lượt tại I và K. CH cắt AB tại D.
 a, Chứng minh tứ giác CEHF nội tiếp được trong 1 đường tròn.
 b, Chứng minh C· DF C· BF .
 c, Chứng minh EF // IK.
 d, Chứng minh rằng khi C chuyển động trên cung lớn AB thì đường tròn ngoại tiếp DEF luôn 
đi qua một điểm cố định.
Bài 37: Cho ABC nhọn có AB AC nội tiếp đường tròn O . Các đường cao BD và CE cắt nhau tại 
H. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC.
 a, Chứng minh các tứ giác BCDE và AMON nội tiếp.
 b, Chứng minh AE.AM AD.AN .
 c, Gọi K là giao điểm của ED và MN, F là giao điểm của AO và MN, I là giao điểm của ED và 
AH. Chứng minh F là trực tâm của KAI .
Bài 38: Cho nửa đường tròn O;R đường kính AB, Kẻ tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn, Ax và 
By nằm cùng một nửa mặt phẳng bờ AB. Tiếp tuyến tại I với nửa đường tròn O ( I khác A và B) cắt 
Ax, By lần lượt tại M và N.
 a, Chứng minh tứ giác AMIO nội tiếp và AM BN MN .
 b, Chứng minh M· ON 900 và AM.BN R2 .
 c, Gọi H là giao điểm của AN và BM, Tia IH cắt AB tại K. Chứng minh H là trung điểm của IK.
 d, Cho AB 5cm , diện tích tứ giác ABNM là 20cm2 . Tính diện tích AIB .
 10