Bài tập ôn tập Đại số Lớp 9 - Chương 1: Căn bậc hai – căn bậc ba

 Dự án tài tập toán 9. Chương 1. Căn bậc hai - căn bậc ba
 Chương CĂN BẬC HAI – CĂN BẬC BA
 1
 Bài 1 Căn bậc hai 
 12
 Tóm tắt lý thuyết
Định nghĩa 1. 
1. Căn bậc hai của số thực a là số x sao cho x2 a . 
- Mỗi số dương a đều có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau, số dương kí hiệu là a còn số âm kí 
hiệu là a . 
- Số 0 có đúng một căn bậc hai chính là số 0 , ta viết 0 0. 
- Số âm không có căn bậc hai. 
2. Với mỗi số dương a , số a được gọi là căn bậc hai số học của a . 
! Chú ý 1
- Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0 . 
- a xác định khi và chỉ khi a 0 . 
Định lí 1. Với hai số a,b không âm ta có a b a b
 Các dạng toán
 Dạng 1 . Tìm căn bậc hai hoặc căn bậc hai số học của một số
 Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa hoặc máy tính cầm tay. 
 BÀI TẬP MẪU 
  Ví dụ 1. Tính căn bậc hai của các số sau 
 16
 1. 1 3. 
 9
 2. 9 4. 0,36
 Lời giải
 Ta có
 1 Dự án tài tập toán 9. Chương 1. Căn bậc hai - căn bậc ba
 1. Căn bậc hai của số 1 là 1 vì 12 1 2 1. 
 2
 2. Căn bậc hai của số 9 là 3 vì 32 3 9 . 
 2 2
 16 4 4 4 16
 3. Căn bậc hai của số là vì .
 9 3 3 3 9
 4. Căn bậc hai của số 0,36 là 0,6 vì 0,6 2 0,6 2 0,36 . 
 Chú ý 2. Học sinh có thể sử dụng máy tính cầm tay để kiểm tra kết quả. 
  Ví dụ 2. Tính căn bậc hai số học của các số sau 
 1. 0,01 3. 0,25
 4
 2. 0,04 4. 
 9
 Lời giải
 Ta có
 1. 0,01 0,1vì 0,12 0,01. 3. 0,25 0,5 vì 0,52 0,25.
 2
 2 4 2 2 4
 2. 0,04 0,2 vì 0,2 0,04 . 4. vì .
 9 3 3 9
 3. Học sinh có thể sử dụng máy tính cầm tay để kiểm tra kết quả. 
 1 25
  Ví dụ 3. Tính tổng S 0,49 
 9 4
 Lời giải
 1 5 22
Ta có S 0,7 
 3 2 15
Học sinh có thể sử dụng máy tính cầm tay để kiểm tra kết quả. 
 Dạng 2. So sánh các căn bậc hai
 Ta thường sử dụng tính chất cơ bản của bất đẳng thức, cụ thể:
 a b
 - Nếu thì a c b d . 
 c d
 a b
 - Nếu thì ac bc . 
 c 0
 a b
 - Nếu thì ac bc . 
 c 0
 a b 0
 - Nếu thì ac bd . 
 c d 0
 - Với hai số a,b không âm ta có a b a b a2 b2
 2 Dự án tài tập toán 9. Chương 1. Căn bậc hai - căn bậc ba
 BÀI TẬP MẪU 
  Ví dụ 1. So sánh các số sau:
 1. 26 và 5 . 3. 2 11 và 3 5
 2. 7 15 và 7 . 4. 5 35 và 30 . 
 .
 Lời giải
 1. Ta có 26 25 26 25 hay 26 5. 
 7 9 7 9 7 3
 2. Ta có 
 15 16 15 16 15 4
 Như vậy 7 15 3 4 7.
 2 3 2 3 2 3
 3. Ta có 
 11 25 11 25 11 5
 Như vậy 2 11 3 5.
 4. Ta có 35 36 35 36 6 5 35 5 .6 5 35 30
  Ví dụ 2. Cho a 0 . Chứng minh rằng
 1. Nếu a 1 thì a a . 2. Nếu a 1 thì a a . 
 Lời giải
 1. Ta có tính chất, nếu a b 0 thì a b , do đó từ giả thiết a 1 a 1 1. 
 Nhân cả hai vế với a 0 ta được a a . 
 2. Tương tự như trên ta có a 1 a 1 1. 
 Nhân cả hai vế với a 0 ta được a a . 
  Dạng 3. Tìm x
 Phương pháp giải: Thường biến đổi biểu thức về dạng f x a . * 
 - Nếu a 0 thì * vô nghiệm. 
 - Nếu a 0 thì * f x 0. 
 - Nếu a 0 thì * f x a2. . 
 Chú ý 5. Nếu không biến đổi tương đương được các phương trình thì có thể dùng phép biến đổi 
 suy ra sau đó phải thử lại. 
 BÀI TẬP MẪU 
  Ví dụ 1. Tìm x thỏa mãn:
 1. x 2018. 2. x 1 1 2 . 
 3 Dự án tài tập toán 9. Chương 1. Căn bậc hai - căn bậc ba
 Lời giải
 1. Vì x 0 và 2018 0 nên không tồn tại x thỏa mãn. 
 2. Điều kiện x 1 0 x 1. 
 Khi đó x 1 1 2 x 1 3 x 1 9 x 8 (thỏa mãn điều kiện). 
 Vậy x 8 . 
  Ví dụ 2. Tìm x thỏa mãn
 1. x2 5x 20 4 . 2.3 x2 5 4 . 
 Lời giải
 2
 2 2 25 55 5 55
 1. Ta có x 5x 20 x 5x x 0,x ¡ . Khi đó
 4 4 2 4
 x2 5x 20 4 x2 5x 20 16
 x2 5x 4 0 x 1 x 4 0
 x 1
 x 4.
 Vậy x 1 hoặc x 4. 
 2. Điều kiện x2 5 0 (luôn đúng). Ta có
 3 x2 5 4 x2 5 3 4 1.
 Vì x2 5 0 còn 1 0 nên không tồn tại x thỏa mãn. 
 Luyện tập
 Bài 1. Tìm căn bậc hai số học và căn bậc hai của các số sau: 
 1. 0,25 . 3. 169. 
 2. 81. 4. 2,25 . 
 Lời giải
 1. Vì 0,25 0,52 nên căn bậc hai số học của 0,25 là 0,5 và căn bậc hai của 0,25 là 0,5 . 
 2. Vì 81 92 nên căn bậc hai số học của 81 là 9 và căn bậc hai của 81 là 9 . 
 3. Vì 169 132 nên căn bậc hai số học của 169 là 13 và căn bậc hai của 169 là 13 .
 4. Vì 2,25 1,52 nên căn bậc hai số học của 2,25 là 1,5 và căn bậc hai của 2,25 là 1,5 . 
 Bài 2. Rút gọn biểu thức:
 2
 1. A 2 27 5 12 3 48. 3. C 3 2 4 2 3 1 2 2 .
 2. B 147 75 4 27. 4. D 2 5 125 80 605.
 Lời giải
 1. A 2 27 5 12 3 48 6 3 10 3 12 3 4 3.
 2. B 147 75 4 27 7 3 5 3 12 3 0.
 2
 3. C 3 2 4 2 3 1 2 2 12 2 6 3 1 4 2 8 12 2 6 27 12 2 21.
 4. D 2 5 125 80 605 2 5 5 5 4 5 11 5 4 5. 
 Bài 3. So sánh các số sau:
 1. 6 và 41 . 3. 3 5 và 5 3 . 
 2. 2 27 và 147 . 4. 2 2 1 và 2 . 
 4 Dự án tài tập toán 9. Chương 1. Căn bậc hai - căn bậc ba
 Lời giải
 1. Ta có 6 36 . Mà 36 41 nên 6 41 . 
 2. Ta có 2 27 108 . Mà 108 147 nên 2 27 147 . 
 3. Ta có 3 5 45 và 5 3 75 . Mà 45 75 nên 3 5 5 3 3 5 5 3
 4. Ta có 2 2 1 8 1 và 2 3 1 9 1. Mà 8 9 nên 2 2 1 2 . 
 Bài 4. Tìm số thực x thỏa mãn: 
 1. 2x2 9 2. 4. 3x 4 12 . 
 2. x2 1 2 0 . 5. x 7 x 7 2 . 
 3. 3x 1 4 . 6. 9 x 1 19 2 . 
 Lời giải
 1. Điều kiện xác định 2x2 9 0 (vô lí). 
 Vậy không tồn tại x thỏa mãn đề bài. 
 2. Điều kiện xác định x2 1 0 (luôn đúng). 
 Ta có 
 2 2 2
 x 1 2 0 x 1 2 (vô lí vì x 1 0 với mọi x ). 
 Vậy không tồn tại x thỏa mãn đề bài. 
 1
 3. Điều kiện xác định 3x 1 0 x .
 3
 17
 Ta có 3x 1 4 3x 1 16 x (thỏa mãn điều kiện). 
 3
 17
 Vậy x 
 3
 4
 4. Điều kiện xác định 3x 4 0 x .
 3
 140
 Ta có 3x 4 12 3x 4 144 x (thỏa mãn điều kiện). 
 3
 140
 Vậy x . 
 3
 x 0 x 0
 5. Điều kiện xác định x 49
 x 7 x 7 0 x 49 0
 Ta có x 7 x 7 2 x 49 4 x 53 (thỏa mãn điều kiện). 
 Vậy x 53. 
 6. Điều kiện xác định 9 x 1 0 x 1.
 Ta có 9 x 1 19 2 9 x 1 21 9 x 1 441 x 1 49 x 50
 (thỏa mãn điều kiện). 
 Vậy x 50 .
 Bài 5. (*) Chứng minh rằng 2 là một số vô tỉ. 
 Lời giải
 m m
 Giả sử 2 là số hữu tỉ. Suy ra 2 , trong đó m,n N * và phân số là phân số tối giản. 
 n n
 2
 m m 2 2
 Khi đó 2 2 m 2n 1 
 n n 
 5 Dự án tài tập toán 9. Chương 1. Căn bậc hai - căn bậc ba
 2 2 * 2 2
 Do 2n 2 nên m 2 m2 m 2m1, m1 N m 4m1 . 
 2 2 2 2 2
 Thay vào 1 suy ra 2n 4m1 n 2m1 2 n 2 n2 . 
 m
 Do đó m,n cùng chia hết cho 2 nên phân số không tối giản, điều này mâu thuẫn với giả sử 
 n
 ở trên.
 Vậy 2 là số vô tỉ. 
 Bài 6. (*) Chứng minh rằng 5 là một số vô tỉ. 
 Lời giải
 m m
 Giả sử 5 là số hữu tỉ. Suy ra 5 , trong đó m,n N * và phân số là phân số tối giản. 
 n n
 2
 m m 2 2
 Khi đó 5 5 m 5n 1 
 n n 
 2 2 * 2 2
 Do 5n 5 nên m 5 m5 m 5m1, m1 N m 25m1 . 
 2 2 2 2 2
 Thay vào 1 suy ra 5n 25m1 n 5m1 5 n 5 n5. 
 m
 Do đó m,n cùng chia hết cho 5 nên phân số không tối giản, điều này mâu thuẫn với giả sử 
 n
 ở trên.Vậy 5 là số vô tỉ. 
 Bài 2 Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức A2 A
 Tóm tắt lý thuyết
 2 A neáu A 0
 1. Ta có A A 
 A neáu A<0
 2 2
 Chú ý 6. Cần phân biệt A2 với A . Khi viết A2 thì A có thể là số âm. Khi viết A thì 
 A phải là số không âm. 
 2. Điều kiện xác định (hay có nghĩa) của A là A 0 . 
 3. Cách giải các bất phương trình dạng x a và x a với a 0 như sau
 x a a x a.
 x a
 x a .
 x a
 Các dạng toán
 Dạng 4. Tìm điều kiện để A xác định 
 Phương pháp giải 6
 * A có nghĩa khi A 0 . 
 1
 * có nghĩa khi A 0 . 
 A
 Kiến thức bổ sung: Chú ý rằng với a là số dương ta luôn có:
 x2 a2 a x a.
 2 2 x a
 x a 
 x a Dự án tài tập toán 9. Chương 1. Căn bậc hai - căn bậc ba
 BÀI TẬP MẪU 
 BÀI TẬP MẪU 
  Ví dụ 1. Tìm x để căn thức 5 2x có nghĩa. 
 Lời giải
 5
 5 2x có nghĩa khi 5 2x 0 2x 5 x .
 2
 1
  Ví dụ 2. Tìm x để căn thức có nghĩa. 
 x2 4x 4
 Lời giải
 1 1 2
 có nghĩa có nghĩa x 2 0 x 2.
 x2 4x 4 x 2 2
  Ví dụ 3. Với giá trị nào của x thì biểu thức 25 x2 có nghĩa? 
 Lời giải
 25 x2 có nghĩa 25 x2 0 x2 25 x2 25 x 5 5 x 5.
 1
  Ví dụ 4. Tìm các giá trị của x để biểu thức có nghĩa. 
 x2 100
 Lời giải
 1 2 2 x 10
 2 có nghĩa x 100 0 x 100 x 10 . 
 x 100 x 10
  Ví dụ 5. Có bao nhiêu giá trị nguyên của x để biểu thức M x 4 2 x có nghĩa? 
 Lời giải
 x 4 0 x 4
 M có nghĩa khi 
 2 x 0 x 2
Vì x ¢ nên x 4; 3; 2; 1;0;1;2.
Vậy có 7 giá trị nguyên của x để biểu thức M có nghĩa. 
 7 Dự án tài tập toán 9. Chương 1. Căn bậc hai - căn bậc ba
 2
 Dạng 5. Rút gọn biểu thức dạng A
 Đưa biểu thức dưới căn về dạng bình phương. 
 A2 A .
 ! Điều kiện xác định của A là A 0 . 
 BÀI TẬP MẪU 
 BÀI TẬP MẪU 
  Ví dụ 1. Rút gọn các biểu thức sau
 1. 13 4 3 2 7 4 3 . 2. 10 2 · 3 5 .
 Lời giải
 2 2
1. 13 4 3 2 7 4 3 1 2 3 2 2 3 1 2 3 2 2 3 5.
 2
2. 10 2 · 3 5 5 1 · 6 2 5 5 1 · 5 1 5 1 5 1 4. 
  Ví dụ 2. Rút gọn các biểu thức sau
 a b 2 ab 2 x2 2x 1
 1. với a b 0. 2.  với 0 x 1.
 a b x 1 4x2
  Lời giải
 a b 2 ab ( a b)2 a b 1
1. .
 a b a b ( a b)( a b) a b
 2 x2 2x 1 2 (x 1)2 2 | x 1|
2.  .
 x 1 4x2 x 1 (2x)2 x 1 2 | x |
 2 | x 1| 1
Do 0 x 1 nên | x 1| 1 x;| x | x . Suy ra .
 x 1 2 | x | x
  Ví dụ 3. Rút gọn các biểu thức sau:
 x4 2x2 1
 1. x4 4x2 4 x2 . 2. với x 1.
 x 1
  Lời giải
 2
1. x4 4x2 4 x2 x2 2 x2 x2 2 x2 .
Trường hợp 1: x 2 hoặc x 2 ta có: x2 2 x2 x2 2 x2 2 
Trường hợp 2: 2 x 2 ta có: x2 2 x2 2 x2 2x2 2 
 8 Dự án tài tập toán 9. Chương 1. Căn bậc hai - căn bậc ba
 2
 2 2
 x4 2x2 1 x 1 x 1 x2 1 (x 1)(x 1)
2. Vì x 1 nên x 1.
 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
 Luyện tập
 Bài 1. Với giá trị nào của x thì các căn thức sau có nghĩa
1. 3x . 2. 2x 4 3. 7 6x 4. 3x 2 
  Lời giải
1. 3x có nghĩa 3x 0 x 0.
2. 2x 4 có nghĩa 2x 4 0 2x 4 x 2 .
 7
3. 7 6x có nghĩa 7 6x 0 6x 7 x .
 6
 2
4. 3x 2 có nghĩa 3x 2 0 3x 2 x . 
 3
 Bài 2. Với giá trị nào của x thì các căn thức sau có nghĩa
 x x 1 2
1. x 2 . 2. x 2 . 3. 4. .
 x 2 x 2 3 2x x 1
  Lời giải
 x x 2 0 x 2
1. x 2 có nghĩa x 2.
 x 2 x 2 0 x 2
 x x 2 0 x 2
2. x 2 có nghĩa x 2 .
 x 2 x 2 0 x 2
 1
 1 0 3
3. có nghĩa 3 2x 3 2x 0 x .
 3 2x 2
 3 2x 0
 2
 2 0
4. có nghĩa x 1 x 1 0 x 1.
 x 1
 x 1 0
 Bài 3. (*) Với giá trị nào của x thì các căn thức sau có nghĩa
 4x2 2 3x
1. 2. .
 3x 1 4x2
  Lời giải
 x R
 2 
 x 0 1
 2 x 1
 2 4x 3x 1 0 
 4x 0 3 x 
1. có nghĩa 3x 1 3
 3x 1 x2 0 x 0 
 3x 1 0 x 0
 3x 1 0 1
 x 
 3
 9 Dự án tài tập toán 9. Chương 1. Căn bậc hai - căn bậc ba
 x 0
 2 3x 2 3x x 0 
2. 2 có nghĩa 2 0 2
 4x 4x 2 3x 0 x .
 3
 Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau
1. 11 6 2 11 6 2 .
2. (2 5)2 14 6 5
3. (2 7) 11 4 7
4. (3 2)2 6 4 2
 3 1
5. 9 3 8 5 2 6 2 3
 2
 2 3 2 3
6. 
 2 2 3 2 2 3
  Lời giải
1. 11 6 2 11 6 2 (3 2)2 (3 2)2 3 2 3 2 2 2 .
 2
2. 2 5 14 6 5 5 2 (3 5)2 5 2 3 5 1.
3. 2 7 11 4 7 (2 7) ( 7 2)2 ( 7 2)( 7 2) 7 4 3 .
 2
4. 3 2 6 4 2 3 2 (2 2)2 3 2 2 2 5.
 3 1
5. 9 3 8 5 2 6 2 3
 2
 6 2 8 4 3
 6 3 2 6 3 3 2 2 3 2 
 2 2
 6 2 ( 6 2)2
 ( 6 3)2 ( 3 2)2 
 2 2
 6 2 6 2
 6 3 3 2 
 2 2
= 0.
 2 3 2 3 2 2 6 2 2 6
6. 
 2 2 3 2 2 3 2 4 2 3 2 4 2 3
 2 2 6 2 2 6 (2 2 6)(3 3) (2 2 6)(3 3)
 3 2 .
 3 3 3 3 (3 3)(3 3) 
 Bài 5. Cho các biểu thức:
 A 20a 92 a4 16a2 64
 B a4 20a3 100a2
1. Rút gọn A. 
2. Tìm a để A B 0.
  Lời giải
 10