Tài liệu ôn tập môn Toán Lớp 9

 MỤC LỤC
CHỦ ĐỀ 1: CÁC BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BỔ ĐỀ THƯỜNG GẶP ............................................3
 1. Tính chất của bất đẳng thức. ................................................................................................3
 2. Phương pháp biến đổi tương đương và những bổ đề thường gặp........................................3
 3. Bất đẳng thức cơ bản thường gặp. .......................................................................................8
 4. Một số bài tập tự luyện, củng cố kiến thức:.......................................................................16
CHỦ ĐỀ 2: PHƯƠNG PHÁP CHỌN ĐIỂM RƠI..........................................................................17
 1. Lý thuyết phương pháp chọn điểm rơi...............................................................................17
 2. Điểm rơi của biểu thức đối xứng và ác kỹ thuật liên quan. ...............................................17
 3. Điểm rơi của biểu thức không đối xứng và kỹ thuật liên quan..........................................29
 4. Điểm rơi đạt tại biên và các ví dụ minh hoạ. .....................................................................35
 5. Ứng dung nguyên lý Dirichlet chứng minh bất đẳng thức. ...............................................37
 6. Một số bài lập tự luyện củng cố kiến thức.........................................................................39
CHỦ ĐỀ 3 : PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN ........................................................................................42
 1. Giới thiệu phương pháp đổi biến. ......................................................................................42
 2. Phân loại các kiểu đổi biến : ..............................................................................................42
 3. Bất đẳng thức Schur và ứng dụng..........................................................................................52
 4. Một số bài tập tự luyện củng cố kiến thức.............................................................................55
CHỦ ĐỀ 4: PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH (UCT) ............................................................56
 1. Giới thiệu phương pháp hệ số bất định (UCT) ......................................................................56
 2. Các ví dụ minh họa. ...............................................................................................................56
 3. Kỹ thuật chuẩn hóa bất đẳng thức..........................................................................................61
 4. Một số bài tập tự luyện củng cố kiến thức.............................................................................64
CHỦ ĐỀ 5: CÁC PHƯƠNG PHÁP KHÁC CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC.................66
 1.Phương pháp đồng bậc chứng minh bất đẳng thức.................................................................66
 2. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Bunyakovsky...............................................................67
 3. Phương pháp miền giá trị.......................................................................................................71
 4. Phương pháp dồn biến ...........................................................................................................72
 5. Phương pháp phản chứng.......................................................................................................74
 6. Phương pháp làm trội.............................................................................................................75
 7. Một số bài tập tự luyện, củng cố kiến thức............................................................................75
CHỦ ĐỀ 6: CÁC BÀI BẤT ĐẲNG THỨC CHỌN LỌC..............................................................76
CHỦ ĐỀ 7: ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC.................................................................................86
 1 1. Ứng dụng vào dạng toán rút gọn biểu thức............................................................................86
 2. Ứng dụng vào dạng toán liên quan định lý Vi-et...................................................................89
 3.Ứng dụng vào giải phương trình vô tỉ và hệ phương trình vô tỉ. ............................................92
PHẦN B – GỢI Ý, ĐÁP ÁN..................................................................................................................95
 2 A- CÁC CHỦ ĐỀ DẲNG THỨC
 CHỦ ĐỀ 1: CÁC BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BỔ ĐỀ THƯỜNG GẶP
 1. Tính chất của bất đẳng thức.
 1.1. Tính chất bắc cầu.
 Với mọi số thực a,b,c:
 Nếu a > b và b > c thì a > c 
 Nếu a < b và b < c thì a < c.
 1.2. Tính chất liên hệ phép cộng và phép trừ.
 Với mọi số thực a,b,c :
 Nếu a > b thì a ± c > b ± c
 Nếu a < b thì a ± c < b ± c
 1.3 Tính chất liên hệ phép nhân và phép chia:
 Với mọi số thực a, b, c thỏa mãn a > b : 
 a b
 Nếu c > 0 thì ac > bc và > 
 c c
 Nếu c = 0 thì ac =bc
 a b
 Nếu c < 0 thì ac < bc và < 
 c c
 1 1
 Nếu a > b và ab > 0 thì < 
 a b
 1 1
 Nếu a > b và ab 
 a b
 Với mọi số thực a, b,c ,d thỏa mãn a > b và c > d.
 a b 0
 Nếu ac bd
 c d 0
 b a 0
 Nếu ac bd
 d c 0
 a b 0
 Nếu ad bc
 d c 0
 2. Phương pháp biến đổi tương đương và những bổ đề thường gặp.
 2.1. Phương pháp biến đổi tương đương.
 Phương pháp biến đổi tương đương là một trong những phương pháp thường được dùng để chứng minh 
bất đẳng thức.
 Muốn sử dụng thành thạo phương pháp biên đổi tương đương để chứng minh bất đẳng thức thì chúng ta 
cần ghi nhớ các khái niệm, định lý và tính chất về bất đẳng thức để sử dụng vào phép biến đổi tương đương.
 Để chứng minh bất đẳng thức A B thì chúng ta thường dùng phương pháp xét hiệu, cụ thể hơn chúng 
ta đi xét các bổ đề dưới đây:
 2.2 Các bổ đề thường gặp khi làm bất đẳng thức 
 Bổ đề 1.1 . Cho a,b là hai số thực .
 Chứng minh rằng : 4ab (a b)2 2( a2 +b2 )
 Chứng minh
 Thực hiện xét hiệu , ta được:
 3 (a b)2 4ab = a2 + 2ab + b2 4ab = a2 2ab + b2 = (a b)2 0 ( a,b)
 (a b)2 4ab
 Thực hiện xét hiệu, ta được :
 2( a2 +b2 ) (a b)2 = 2 a2 +2b2 a2 2ab b2 = (a b)2 0 ( a,b)
 2( a2 +b2 ) (a b)2
 Vậy 4ab (a b)2 2( a2 +b2 )
 Đẳng thức xảy ra khi : a = b
 2
 a2 b2 a b (a b)2
 Lời bình : Ta viết dưới dạng như : hoặc ab 
 2 2 4
 Bồ đề 1.2. Cho a,b,c là các số thực .
 Chứng minh rằng : 3 (ab + bc+ ca) (a b c)2 3( a2 b2 c2 )
 Chứng minh
 Thực hiện xét hiệu ta được:
 1 2
 (a b c)2 3 (ab + bc+ ca)= a b (b c)2 (c a)2 0 .
 2 
 (a b c)2 3 (ab + bc+ ca).
 Thực hiện xét hiệu ta được:
 3( a2 b2 c2 ) (a b c)2 = (a b)2 + (b c)2 + (c a)2 0 ,  a,b,c.
 3( a2 b2 c2 ) (a b c)2
 Vậy : 3(ab+bc+ca) (a b c)2 3( a2 b2 c2 )
 Đẳng thức xảy ra khi : a = b = c
 1
 Lời bình: Ta có thể viết dạng : ab + bc + ca (a b c)2 . 
 3
 1 1 4
 Bồ đề 1.3: Cho a, b > 0. Chứng minh rằng : + 
 a b a b
 Chứng minh
 Thực hiện xét hiệu , ta được:
 1 1 4 a b 4 (a b)2 4ab (a b)2
 + = = = 0 ,  a,b,>0
 a b a b ab a b a b a b
 Chứng minh
 Thực hiện xét hiệu ta được:
 2 1 2 2 2
 ( + + ) ―3( + + ) = 2 ( ― ) + ( ― ) + ( ― ) ≥ 0
=> ( + + )2 ≥ 3( + + )
 Thực hiện xét hiệu ta được:
3( 2 + 2 + 2) ― ( + + )2 = ( ― )2 + ( ― )2 + ( ― )2 ≥ 0
=> 3( 2 + 2 + 2) ≥ ( + + )2 
 Vậy: 3( + + ) ≤ ( + + )2 ≤ 3( 2 + 2 + 2)
 Đẳng thức xảy ra khi a=b=c;
 1 2
 Lời bình: Ta có thể viết dưới dạng: + + ≤ 3( + + )
 1 1 4
 Bổ đề 1.3: Cho a, b >0 chứng minh rằng: + ≥ 
 Chứng minh
 Thực hiện xét hiệu ta được: 
1 1 4 + 4 ( + )2 ― 4 ( ― )2
 + ― = ― = = ≥ 0 ∀ , > 0
 + + ( + ) ( + )
 4 1 1 4
=> + ≥ 
 + 
 Đẳng thức xảy ra khi = 
 1 1
 Lời bình: Ta có thể viết dưới dạng: ≤ 1 + 1
 4 
 1 1 1 9
 Bổ đề 1.4: Cho a,b,c > 0 chứng minh rằng: + + ≥ 
 Chứng minh
 Xét 푃 = ( + + ) 1 + 1 + 1 = + + + + + +3.
 2 2 2 ( )2 
 Xét hiệu + ―2 = = ≥ 0 => + ≥ 2, ∀ , > 0
 Tương tự: 
 + ≥ 2, + ≥ 2 ∀ , , > 0
 1 1 1 9
 Vậy: 푃 ≥ 2 + 2 + 2 + 3 = 9 => + + ≥ 
 Đẳng thức xảy ra khi = = ;
 1 1 1 1 1
 Lời bình: Ta có thể viết dưới dạng ≤ 9( + + ).
 1 1 1 1 1
 Mở rộng: ≤ 2 + + + ∀ 1, 2, 푛 > 0.
 1 2 푛 푛 1 2 푛
 Bổ đề 1.5. Cho , ≥ 0. Chứng minh rằng: ( + ) ≤ + ≤ 2( + )
 Chứng minh
 2 2
 + ― ( + ) = + + 2 ― ( + ) = 2 ≥ 0 ∀ , ≥ 0
 Đẳng thức xảy ra khi = 0;
 Xét hiệu: 
 2 2 2
 2( + ) ― + = 2( + ) ― + 2 + = ― 2 + = ― ≥ 0 
∀ , ≥ 0
 Đẳng thức xảy ra khi a = b;
 Vậy: ( + ) ≤ + ≤ 2( + ) ∀ , ≥ 0
 Lời bình: Hoàn toàn tương tự ta cũng có:
 + + ≤ + + ≤ 3( + + ) ∀ , , ≥ 0
 Bổ đề 1.6. Cho , ≥ 0. Chứng minh rằng: 3 + 3 ≥ ( + )
 Chứng minh
 Thực hiện xét hiệu ta được: 
 3 + 3 ― ( + ) = ( + )( 2 ― 2 + 2) = ( + )( ― )2 ≥ 0 ∀ , ≥ 0
 Đẳng thức xảy ra khi a=b;
 Vậy: 3 + 3 ≥ ( + ) ∀ , ≥ 0
 Lời bình: Tương tự ta cũng có được 4 + 4 ≥ ( 2 + 2) ∀ , ≥ 0
 Bổ đề 1.7. Cho , ≥ 0. Chứng minh rằng: + ≥ 2 
 Chứng minh
 Xét hiệu, ta được:
 2 2
 + ― 2 = ( )2 ― 2 + = ― ≥ 0 ∀ , ≥ 0.
 Đẳng thức xảy ra khi a = b;
 Bổ đề 1.8. Cho , , ≥ 0. Chứng minh rằng: + + ≥ 33 
 Chứng minh
 Ta đặt 3 = , 3 = , 3 = ( , , ) ≥ 0
 Ta cần chứng minh: 3 + 3 + 3 ≥ 3 ;
 Thật vậy, ta có:
 3 + 3 + 3 ≥ 3 ( + )3 + 3 ― 3 ( + + ) ≥ 0
  ( + + )[( + )2 ― ( + ) + 2 ―3 ] ≥ 0
 5  ( + + ) 2 + 2 + 2 ― ( + + ) ≥ 0
 1
  2 2 2
 2( + + ) ( ― ) + ( ― ) + ( ― ) ≥ 0, ∀ , , ≥ 0
 Đẳng thức xảy ra khi = = ℎ = = ;
 Ngoài ra, độc giả có thể tham khảo cách chứng minh khách như sau:
 Sử dụng bổ đề 1.7. ta có: 
 ( + ) + ( + 3 ) ≥ 2 +2 3 ≥ 44 3 = 43 
  + + ≥ 33 
 Đẳng thức xảy ra khi = = ;
 Bổ đề 1.9. Cho , , là các số thực dương, chứng minh rằng: 
( + + )( + + ) ≥ 9 
 Chứng minh
 Sử dụng bổ đề 1.8. ta có: 
 3
 + + ≥ 3 > 0 3
 2  ( + + )( + + ) ≥ 9 ( )3 = 9 .
 + + ≥ 3(3 ) > 0
 Vậy: ( + + )( + + ) ≥ 9 
 Đẳng thức xảy ra khi = = ;
 Bổ đề 1.10. Cho a.b,c là các số thực dương.
 8
 Chứng minh rằng: ( + )( + )( + ) ≥ 9( + + )( + + )
 Chứng minh:
 Ta có: a b b c c a (a2b a2c) (b2a b2c) (c2a c2b) 2abc.
 Ta có: a b c ab bc ca (a2b a2c) (b2a b2c) (c2a c2b) 3abc.
 (a b)(b c)(c a) (a b c)(ab bc ca) abc.
 Mặt khác, theo bổ đề 1.9 ta có: 
 a b c ab bc ca 9abc
 1
 abc a b c ab bc ca 
 9
 8
 Vậy: a b b c c a a b c ab bc ca 
 9
 Đẳng thức xảy ra khi: a=b=c
 Bổ đề 1.11. Cho a,b là các số thực không âm.
 a3 b3 a b
 Chứng minh rằng: ( )3
 2 2
 Chứng minh:
 Thực hiện xét hiệu, ta được.
 3 3
 a3 b3 a b 4(a3 b3 ) (a b)3 3 a b ab(a b) 
 ( )3 0
 2 2 8 8
 Vì theo bổ đề 1.6 ta có: a3+b3 ≥ ab(a+b)
 a3 b3 a b
 Vậy: ( )3
 2 2
 Đẳng thức đúng khi: a=b.
 1
 Lời bình: Ta có thể viết dạng : a3 b3 (a b)3
 4
 Bổ đề 1.12. Cho a,b là hai số thực dương.
 6 1 1 8
Chứng minh rằng: 
 a2 b2 (a b)2
 Chứng minh:
 1 1 2 8
Ta có: 
 a2 b2 ab (a b)2
 (a b)2 1 4 2 8
 vì: 0 ab 
 4 ab (a b)2 ab (a b)2
Đẳng thức xảy ra khi: a=b
 1 1 2
Bổ đề 1.13. Cho ab ≥ 1. Chứng minh rằng: 
 1 a2 1 b2 1 ab
 Chứng minh:
 1 1 2
Thực hiện xét hiệu, ta được: 
 1 a2 1 b2 1 ab
 1 1 1 1 a(b a) b(a b)
 ( ) ( ) 
 1 a2 1 ab 1 b2 1 ab (1 a2 )(1 ab) (1 b2 )(1 ab)
 2 2
 b(1 a ) a(1 b ) 2 (ab 1)
 (a b) 2 2 (a b) . 2 2
 (1 a )(1 b )(1 ab) (1 a )(1 b )(1 ab)
 1 1 2
Vậy với ab ≥1 thì 
 1 a2 1 b2 1 ab
 1 1 2
Lời bình: Với -1< ab ≤1 thì: 
 1 a2 1 b2 1 ab
Bổ đề 1.14. Cho a,b là hai sô thực dương.
 1 1 1
Chứng minh rằng: 
 (1 a)2 (1 b)2 1 ab
 Chứng minh:
Thực hiện phép biến đổi tương đương, ta có:
 (a 1)2 (b 1)2 1
 (ab a b 1)2 ab 1
 2 2 2
 (a 1) (b 1) (ab 1) (ab a b 1)
 (a2 b2 2a 2b 2)(ab 1) (ab a b)2 2(ab a b) 1
Mặt khác, ta lại có: 
 (a2 b2 2a 2b 2)(ab 1) (a3b ab3 2a2b 2ab2 2ab) (a2 b2 2a 2b 2).
Ta cũng có được: 
(ab+a+b)2+2(ab+a+b)+1= a2b2 + a2 + b2 +2a2b + 2ab2+ 4ab +2a +2b +1 
Thực hiện xét hiệu, ta được: 
 (a2 + b2 +2a+ 2b +2)(ab + 1) - [(ab+a+b)2+2(ab+a+b)+1]
 = a3b+ab3+1-2ab-a2b2 = ab(a2-2ab+b2)+(a2b2-2ab+1)
 = ab(a-b)2+(ab-1)2≥0, với mọi a,b>0.
Đẳng thức xảy ra khi: a=b=1
Lời bình: Ta có thể sử dụng bất đẳng thức Bunyakovsky để chứng minh
(độc giả tham khảo trong chủ đề số 5)
 7 3. Bất đẳng thức cơ bản thường gặp.
 3.1.Bất đẳng thức AM-GM (thường gọi là bất đẳng thức Cauchy).
 3.1.1. Dạng tổng quát (n số không âm)
 a a ... a
 Cho a a ,...a , 0,ta có 1 2 n n a ,a ,...a .
 1 2 n n 1 2 n
 Đẳng thức xảy ra khi: a1 a2 ... an ,
 3.1.2.Dạng cụ thể (2 số, 3 số không âm).
 a b
 Cho a,b≥0 ta có: ab . 
 2
 Đẳng xảy ra khi: a=b
 a b c
 Cho a,b,c ≥0 ta có: 3 abc.
 3
 Đẳng thức xảy ra khi: a= b = c
 (Cách chứng minh bất đẳng thức trên, độc giả xem lại bổ đề 1.7 và 1.8)
 3.1.3. Các ví dụ minh họa
 Ví dụ 1.1. Cho a,b,c là các số thực.
 Chứng minh rằng: (a2+b2)(b2+c2)(c2+a2)≥8a2b2c2
 Chứng minh: 
 a2 b2 2ab
 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
 Sai lầm hay gặp: b c 2bc (a b )(b c )(c a ) 8a b ac (sai)
 2 2
 c a 2ca
 Bổ đề 1.10. Cho a.b,c là các số thực dương.
 8
 Chứng minh rằng: ( + )( + )( + ) ≥ 9( + + )( + + )
 Chứng minh:
 Ta có: a b b c c a (a2b a2c) (b2a b2c) (c2a c2b) 2abc.
 Ta có: a b c ab bc ca (a2b a2c) (b2a b2c) (c2a c2b) 3abc.
 (a b)(b c)(c a) (a b c)(ab bc ca) abc.
 Mặt khác, theo bổ đề 1.9 ta có: 
 a b c ab bc ca 9abc
 1
 abc a b c ab bc ca 
 9
 8
 Vậy: a b b c c a a b c ab bc ca 
 9
 Đẳng thức xảy ra khi: a=b=c
 Bổ đề 1.11. Cho a,b là các số thực không âm.
 a3 b3 a b
 Chứng minh rằng: ( )3
 2 2
 Chứng minh:
 Thực hiện xét hiệu, ta được.
 3 3
 a3 b3 a b 4(a3 b3 ) (a b)3 3 a b ab(a b) 
 ( )3 0
 2 2 8 8
 Vì theo bổ đề 1.6 ta có: a3+b3 ≥ ab(a+b)
 8 a3 b3 a b
Vậy: ( )3
 2 2
Đẳng thức đúng khi: a=b.
 1
Lời bình: Ta có thể viết dạng : a3 b3 (a b)3
 4
Bổ đề 1.12. Cho a,b là hai số thực dương.
 1 1 8
Chứng minh rằng: 
 a2 b2 (a b)2
 Chứng minh:
 1 1 2 8
Ta có: 
 a2 b2 ab (a b)2
 (a b)2 1 4 2 8
 vì: 0 ab 
 4 ab (a b)2 ab (a b)2
Đẳng thức xảy ra khi: a=b
 1 1 2
Bổ đề 1.13. Cho ab ≥ 1. Chứng minh rằng: 
 1 a2 1 b2 1 ab
 Chứng minh:
 1 1 2
Thực hiện xét hiệu, ta được: 
 1 a2 1 b2 1 ab
 1 1 1 1 a(b a) b(a b)
 ( ) ( ) 
 1 a2 1 ab 1 b2 1 ab (1 a2 )(1 ab) (1 b2 )(1 ab)
 2 2
 b(1 a ) a(1 b ) 2 (ab 1)
 (a b) 2 2 (a b) . 2 2
 (1 a )(1 b )(1 ab) (1 a )(1 b )(1 ab)
 1 1 2
Vậy với ab ≥1 thì 
 1 a2 1 b2 1 ab
 1 1 2
Lời bình: Với -1<ab≤1 thì: 
 1 a2 1 b2 1 ab
Bổ đề 1.14. Cho a,b là hai sô thực dương.
 1 1 1
Chứng minh rằng: 
 (1 a)2 (1 b)2 1 ab
 Chứng minh:
Thực hiện phép biến đổi tương đương, ta có:
 (a 1)2 (b 1)2 1
 (ab a b 1)2 ab 1
 2 2 2
 (a 1) (b 1) (ab 1) (ab a b 1)
 (a2 b2 2a 2b 2)(ab 1) (ab a b)2 2(ab a b) 1
Mặt khác, ta lại có: 
 (a2 b2 2a 2b 2)(ab 1) (a3b ab3 2a2b 2ab2 2ab) (a2 b2 2a 2b 2).
Ta cũng có được: 
(ab+a+b)2+2(ab+a+b)+1= a2b2 + a2 + b2 +2a2b + 2ab2+ 4ab +2a +2b +1 
Thực hiện xét hiệu, ta được: 
 (a2 + b2 +2a+ 2b +2)(ab + 1) - [(ab+a+b)2+2(ab+a+b)+1]
 9 = a3b+ab3+1-2ab-a2b2 = ab(a2-2ab+b2)+(a2b2-2ab+1)
 = ab(a-b)2+(ab-1)2≥0, với mọi a,b>0.
Đẳng thức xảy ra khi: a=b=1
Lời bình: Ta có thể sử dụng bất đẳng thức Bunyakovsky để chứng minh
(độc giả tham khảo trong chủ đề số 5)
Ví dụ 1.2. Cho a,b,c là các số thực dương.
 1 1 1 
 Chứng minh rằng: a b c 9 .
 a b c 
 Chứng minh: 
Sử dụng bất đẳng thức AM- GM cho 3 số thực dương ta có:
 a b c 33 abc 0
 1 1 1 
 1 1 1 1 1 1 3 a b c 9 .
 33 . . 0 a b c 
 a b c a b c 3 abc
Đẳng thức xảy ra khi: a=b=c.
3.2. Bất đẳng thức Cauchy- Schwarz (thường được gọi là bất đẳng thức Bunyakovcsky).
3.2.1. Dạng tổng quát.
 Cho hai dãy số thực a1,a2 ,...,an và b1,b2 ,...,bn ta luôn có:
 2 2 2 2 2 2 2
 a1 a2 ... an b1 b2 ... bn a1b1 a2b2 ... anbn 
 a a a
Đẳng thức xảy ra khi: 1 2 ... n 
 b1 b2 bn
 Quy ước: Nếu b1 0 thì a1 0 tương tự với b2 ,b3 ,...,bn
3.2.2. Dạng cụ thể:
3.2.2.1. Dạng 1:
Cho a,b,c,d R, ta có: a2 b2 c2 d 2 ac bd 2 .
 a b
Đẳng thức xảy ra khi: .
 c d
3.2.2.2. Dạng 2:
 Cho a,b,c,x,y,z R, ta có: a2 b2 c2 x2 y2 z2 ax by cz 2
 a b c
Đẳng thức xảy ra khi: 
 x y z
Độc giả cần chú ý: a2 b2 c2 d 2 ac bd ac bd. 
 Chứng minh:
Dạng 1: Biến đổi tương đương ta được:
 10