Đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia Lớp 12 năm 2011 môn Toán học - Ngày 1 (Có đáp án)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
ĐỀ THI CHÍNH THỨC 
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA 
LỚP 12 THPT NĂM 2011 
Môn: TOÁN 
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) 
Ngày thi thứ nhất: 11/01/2011 
Bài 1 (5,0 điểm). Cho số nguyên dương n. Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, 
ta có bất đẳng thức: 
2 11( 1) 1
21
nn n
n
x x x
x
++ + +⎛ ⎞≤ ⎜ ⎟+ ⎝ ⎠ . 
Hỏi đẳng thức xảy ra khi nào? 
Bài 2 (5,0 điểm). Cho dãy số thực (xn) xác định bởi 
1 1x = và 
1
2
1
2 .
( 1)
n
n
i
n
ix xn
−
=
= − ∑ với mọi n ≥ 2. 
Với mỗi số nguyên dương n, đặt yn = xn + 1 – xn. 
Chứng minh rằng dãy số (yn) có giới hạn hữu hạn khi n → + ∞. 
Bài 3 (5,0 điểm). Trong mặt phẳng, cho đường tròn (O) đường kính AB. Xét một 
điểm P di động trên tiếp tuyến tại B của (O) sao cho P không trùng với B. Đường 
thẳng PA cắt (O) tại điểm thứ hai C. Gọi D là điểm đối xứng với C qua O. Đường 
thẳng PD cắt (O) tại điểm thứ hai E. 
 1/ Chứng minh rằng các đường thẳng AE, BC và PO cùng đi qua một điểm.