Đề cương ôn thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2020 (Chuyên đề 5) - Trường THPT chuyên Bảo Lộc

Tổ Toán Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia 2020 
Lưu hành nội bộ Trang 80 
CHUYÊN ĐỀ 5: ĐẠI SỐ TỔ HỢP, XÁC SUẤT 
1. Kiến thức cơ bản 
1.1. Đại số tổ hợp 
1.1.1. Quy tắc cộng: 
 Có n1 cách chọn đối tượng A1. 
 n2 cách chọn đối tượng A2. 
 A1 ∩ A2 = ∅ 
⇒ Có n1 + n2 cách chọn một trong các đối tượng A1, A2. 
1.1.2. Quy tắc nhân: 
Có n1 cách chọn đối tượng A1. Ứng với mỗi cách chọn A1, có n2 cách chọn đối tượng A2. 
⇒ Có n1.n2 cách chọn dãy đối tượng A1, A2. 
1.1.3. Hoán vị: 
− Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử gọi là một hoán vị của n phần tử. 
− Số hoán vị: Pn = n!. 
1.1.4. Chỉnh hợp: 
− Mỗi cách lấy ra k phần tử từ n phần tử (0 < k ≤ n) và sắp thứ tự của chúng gọi là một chỉnh 
hợp chập k của n phần tử. 
− Số các chỉnh hợp: 
!
( )!
k
n
n
A
n k
=
−
1.1.5. Tổ hợp: 
− Mỗi cách lấy ra k phần tử từ n phần tử (0 ≤ k ≤ n) gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. 
− Số các tổ hợp: 
!
!( )!
k
n
n
C
k n k
=
−
− Hai tính chất: k n kn nC C
−= , 11 1
k k k
n n nC... cách chọn ra 6 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh. 
Lời giải 
Tổng số cách chọn 6 học sinh trong 12 học sinh là 612C 
Số học sinh được chọn phải thuộc ít nhất 2 khối 
Số cách chọn chỉ có học sinh khối 12 và khối 11 là: 67C 
Số cách chọn chỉ có học sinh khối 11 và khối 10 là: 69C 
Số cách chọn chỉ có học sinh khối 12 và khối 10 là: 68C 
Tổ Toán Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia 2020 
Lưu hành nội bộ Trang 82 
Số cách chọn thoả mãn đề bài là: 6 6 6 612 7 9 8 805C C C C− − − = (cách) 
Ví dụ 4. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông ABCD lần lượt cho 1, 2, 3 và n điểm phân 
biệt khác A, B, C, D. Tìm n biết số tam giác có ba đỉnh lấy từ n + 6 điểm đã cho là 439. 
Lời giải 
 Nếu n ≤ 2 thì n + 6 ≤ 8. Do đó số tam giác có ba đỉnh được lấy từ n + 6 điểm đó không vượt 
qua 38 56 439C = < (loại). Vậy n ≥ 3 
 Vì mỗi tam giác được tạo thành ứng với 1 tổ hợp 3 chập n + 6 phần tử. Nhưng trên cạnh CD 
có 3 đỉnh, trên cạnh DA có n đỉnh nên số tam giác tạo thành là: 
( )( )( ) ( )( )3 3 3
6 3
4 5 6 2 1
1 439
6 6n n
n n n n n n
C C C+
+ + + − −
− − = − − = 
⇔ (n + 4)(n + 5)(n + 6) – (n – 2)(n – 1)n = 2540 
⇔ n2 + 4n – 140 = 0 
Từ đó tìm được n = 10. 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
1) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau mà mỗi số đều lớn hơn 2010. 
2) Cho hai đường thẳng song song d1 và d2. Trên đường thẳng d1 có 10 điểm phân biệt, trên đường 
thẳng d2 có n điểm phân biệt ( 2n ≥ ). Biết rằng có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm đã cho. Tìm n. 
3) Cho tập { }0;1;2;3;4;5A = , từ A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau, 
trong đó nhất thiết phải có chữ số 0 và 3.hoctoancapba.com 
2.2. Nhị thức Newton: 
Ví dụ 1. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức 
1
2.
n
x
x
 
+ 
 
, biết rằng 
2 1
1 4 6
n
n nA C n
−
+− = + 
Lời giải 
Giải phương trình 2 11 4 6
n
n nA C n
−
+− = + ; Điều kiện: n ≥ 2 ; n ∈ N. 
Phương trình tương đương với 
( 1)!
( 1) 4 6
2!( 1)!
n
n n n
n
+
− − =...iệu ôn thi THPT Quốc Gia 2020 
Lưu hành nội bộ Trang 84 
Vậy hệ số 6 6 6 6 6 66 14 12 10
1 3 9
2 2 2 41748.
16 8 16
a C C C= + + = 
Ví dụ 5 (ĐH). Tính giá trị biểu thức: 2 4 6 100100 100 100 1004 8 12 ... 200A C C C C= + + + + . 
Lời giải 
Ta có: ( )100 0 1 2 2 100 100100 100 100 1001 ...x C C x C x C x+ = + + + + (1) 
 ( )100 0 1 2 2 3 3 100 100100 100 100 100 1001 ...x C C x C x C x C x− = − + − + + (2) 
Lấy (1)+(2) ta được: ( ) ( )100 100 0 2 2 4 4 100 100100 100 100 1001 1 2 2 2 ... 2x x C C x C x C x+ + − = + + + + 
Lấy đạo hàm hai vế theo ẩn x ta được: ( ) ( )99 99 2 4 3 100 99100 100 100100 1 100 1 4 8 ... 200x x C x C x C x+ − − = + + + 
Thay x=1 vào => 99 2 4 100100 100 100100.2 4 8 ... 200A C C C= = + + + 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
1) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 
10
31 x
x
 
+ 
 
 với x > 0. 
2) Tính tổng: 
0 1 2 2012
2012 2012 2012 2012
1 2 3 2013
C C C C
T = + + + +⋯ 
3) Tính tổng 
0 1 2 2 3 3 2012 2012
2012 2012 2012 2012 20122 2 2 2...
1.2 2.3 3.4 4.5 2013.2014
C C C C C
S = − + − + + . 
2.3. Xác suất: 
Ví dụ 1. Một hộp chứa 4 quả cầu màu đỏ, 5 quả cầu màu xanh và 7 quả cầu màu vàng. Lấy ngẫu 
nhiên cùng lúc ra 4 quả cầu từ hộp đó. Tính xác suất sao cho 4 quả cầu được lấy ra có đúng một 
quả cầu màu đỏ và không quá hai quả cầu màu vàng. 
Lời giải 
Số phần tử của không gian mẫu là 416 1820CΩ = = . 
Gọi B là biến cố “ 4 quả lấy được có đúng một quả cầu màu đỏ và không quá hai quả màu vàng”. 
Ta xét ba khả năng sau: 
 - Số cách lấy 1 quả đỏ, 3 quả xanh là: 1 34 5C C 
 - Số cách lấy 1 quả đỏ, 2 quả xanh, 1 quả vàng là: 1 2 14 5 7C C C 
 - Số cách lấy 1 quả đỏ, 1 quả xanh, 2 quả vàng là: 1 1 24 5 7C C C hoctoancapba.com 
Khi đó 1 3 1 1 2 1 2 14 5 4 7 5 4 7 5 740B C C C C C C C CΩ = + + = . 
Xác suất của biến cố B là ( ) 740 37
1820 91
BP B
Ω
= = =
Ω
. 
Ví dụ 2. Chọn ngẫu nhiên 5 con bài trong bộ tú lơ khơ. Tính xác suất sao cho trong 5 quân bài đó có 
đúng 3 quân bài thuộc 1 bộ (ví dụ