Đề cương ôn tập Toán Lớp 9 - Chủ đề 6: Đường tròn

 Nhóm file Word toán THCS
Contents
DẠNG 1: KẾT NỐI CÁC GÓC BẰNG NHAU THÔNG QUA TỨ GIÁC NỘI TIẾP...................................................1
 DẠNG 2: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG...............................................................................................10
DẠNG 3: TIẾP TUYẾN...................................................................................................................................................12
DẠNG 4: CHỨNG MINH ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG TRÒN, CHỨNG MINH ĐƯỜNG KÍNH.................................16
DẠNG 5: SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ TA- LÉT VÀ ĐỊNH LÝ TA- LÉT ĐẢO .....................................................................20
DẠNG 6: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT PHÂN GIÁC............................................................................................................26
DẠNG 1: KẾT NỐI CÁC GÓC BẰNG NHAU THÔNG QUA TỨ GIÁC NỘI TIẾP
Ví dụ 1. Từ điểm A ở ngoài đường tròn O vẽ hai tiếp tuyến AB, AC đến O (với B, C là hai tiếp điểm). Gọi 
E là giao điểm của OA và BC. Gọi I là trung điểm của BE.Đường thẳng qua I và vuông góc với OI cắt các 
tia AB, AC theo thứ tự tại D, F . Chứng minh ODF cân tại O và F là trung điểm của AC.
 Hướng dẫn
 D
 B
 I
 E
 A O
 F
 C
* Chứng minh ODF cân tại O
Bước 1 Chứng minh tứ giác OIBD nội tiếp, suy ra O· DI O· BI (cùng nhìn OI ).
Bước 2 Chứng minh tứ giác OIFC nội tiếp, suy ra O· FI O· CI (cùng nhìn OI ).
Bước 3 Chứng minh OBC cân tại O, suy ra O· BI O· CI (tính chất tam giác cân).
Từ đó, ta được O· DI O· FI nên ODF cân tại O
* Chứng minh F là trung điểm AC
 1 Nhóm file Word toán THCS
Bước 1 Chứng minh tứ giác BDEF là hình bình hành bằng cách chỉ ra I là trung điểm cả BE và DF , suy ra 
EF // BD hay EF // AB.
Bước 2 Xét ABC chỉ ra E là trung điểm của BC và kết hợp EF // AB, suy ra F là trung điểm của AC (Tính 
chất đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh và song song với cạnh thứ 2 thì đi qua trung điểm của cạnh thứ 
ba).
Ví dụ 2. Cho đường tròn O . Lấy điểm A nằm ngoài đường tròn O , đường thẳng AO cắt O tại hai điểm B 
và C với AB AC . Qua A vẽ đường thẳng không đi qua O cắt O tại hai điểm D và E với AD AE . Đường 
thẳng vuông góc với AB tại A cắt đường thẳng CE tại F. Gọi M là giao điểm thứ hai của đường thẳng FB với 
 O . Tứ giác AMDF là hình gì? Vì sao?
 Hướng dẫn
 µ µ »
Bước 1 Xét O có M1 E1 (cùng chắn BD ).
 
Bước 2 Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp, suy ra F1 Eµ 1 (cùng nhìn AB). 
  
Từ đó, ta được Mµ 1 F1 , mà Mµ 1 và F1 là hai góc so le trong nên AF // DM, do đó tứ giác AMDF là hình thang.
Ví dụ 3. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn O đường kính AD (B thuộc cung nhỏ AC). Gọi giao điểm hai 
đường chéo AC và BD là H. Kẻ HK vuông góc với AD tại K. Tia BK cắt O tại điểm thứ hai là F. Gọi P và Q 
lần lượt là hình chiếu vuông góc của F trên các đường thẳng AB, BD. Chứng minh CF // HK và PQ đi qua trung 
điểm của CF. 
 Hướng dẫn
 2 Nhóm file Word toán THCS
* Chứng minh CF // HK
Bước 1 Chứng minh tứ giác ABHK nội tiếp, suy ra Aµ 1 Kµ 1 (cùng nhìn BH).
 µ 
Bước 2 Xét O có A1 F1 (cùng chắn cung BC).
  
Từ đó, ta được F1 Kµ 1, mà F1, Kµ 1 là hai góc đồng vị nên CF // HK .
* Chứng minh PQ đi qua trung điểm CF 
Bước 1 Chứng minh tứ giác BPFQ là hình chữ nhật.
 µ µ
Suy ra Q1 B2 và PQ đi qua trung điểm của BF.
Bước 2 Chứng minh D là điểm chính giữa của cung CF, suy ra Bµ 1 Bµ 2. 
 µ µ µ µ
Từ đó, ta được Q1 B1 , mà Q1, B1 là hai góc so le trong nên PQ // BC.
Bước 3 Xét FBC có PQ đi qua trung điểm của BF và PQ // BC nên PQ đi qua trung điểm của CF (tính chất 
đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ 
ba). 
Ví dụ 4. Cho ba điểm A, B, C cố định và thẳng hàng theo thứ tự đó. Vẽ đường tròn O bất kì đi qua B và C sao 
cho BC không phải là đường kính của O . Từ A kẻ các tiếp tuyến AE và AF đến O với E và F là các tiếp 
điểm. Gọi I là trung điểm của BC. Gọi D là giao điểm thứ hai của đường thẳng FI và O . Chứng minh ED // AC 
và AH.AI AB.AC. 
Hướng dẫn
 3 Nhóm file Word toán THCS
* Chứng minh ED // AC 
Bước 1 Chứng minh tứ giác AOIF nội tiếp, suy ra A· IF A· OF (cùng nhìn AF).
Bước 2 Chứng minh A· OF E· DF (cùng bằng nửa E· OF ). 
Từ đó, ta được A· IF E· DF, mà A· IF, E· DF là hai góc đồng vị nên ED // AC.
* Chứng minh AH.AI AB.AC
Bước 1 Chứng minh AFB∽ ACF (g.g), suy ra AB.AC AF2. 
Bước 2 Chứng minh AFH ∽ AIF (g.g), suy ra AH.AI AF2. 
Từ đó, ta được AH.AI AB.AC.
Ví dụ 5. Cho đường tròn O và dây cung BC cố định khác đường kính. Gọi A là điểm bất kì trên cung nhỏ BC 
(A khác B, C và AB AC ). Kẻ đường kính AK của đường tròn O . Gọi D là chân đường vuông góc kẻ từ A 
đến BC và E là chân đường vuông góc kẻ từ B đến AK. Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh DE  AC và 
 IDE ∽ OAB. 
Hướng dẫn
* Chứng minh DE  AC
Bước 1 Chứng minh tứ giác ABDE nội tiếp, suy ra K· ED A· BC (tính chất góc ngoài bằng góc đối).
Bước 2 Xét O có A· BC A· KC (cùng chắn cung AC). 
 4 Nhóm file Word toán THCS
Từ đó, ta được K· ED A· KC, mà K· ED, A· KC là hai góc so le trong nên DE // KC. 
Bước 3 Chứng minh KC  AC, suy ra DE  AC (Từ vuông góc đến song song).
* Chứng minh IDE ∽ OAB.
Bước 1 Từ tứ giác ABDE nội tiếp, suy ra I·DE O· AB (góc ngoài bằng góc đối). 
Bước 2 Chứng minh tứ giác OBEI nội tiếp, suy ra D· IE A· OB (cùng nhìn BE).
Từ đó, ta được IDE ∽ OAB (g.g) .
Ví dụ 6. Cho đường tròn O và một điểm A nằm ngoài đường tròn O . Kẻ tiếp tuyến AB và đường kính BC 
của đường tròn O (với B là tiếp điểm). Trên đoạn thẳng CO lấy điểm I ( I khác C, I khác O ). Đường thẳng 
AI cắt đường tròn O tại hai điểm D và E (với D nằm giữa A và E ). Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng 
DE. Đường thẳng d đi qua điểm E và song song với AO, d cắt BC tại K. Chứng minh HK // CD .
Hướng dẫn
 B
 O
 A
 D I
 H
 K E
 C
Bước 1 Chứng minh tứ giác ABOH nội tiếp, suy ra O· AH O· BH (cùng nhìn OH )
Bước 2 Từ KE // AO, suy ra O· AH H· EK (hai góc so le trong).
Từ đó, ta được O· BH H· EK, do đó tứ giác BHKE nội tiếp, suy ra E· HK E· BK (cùng nhìn EK ).
Bước 3 Xét O có E· BK E· DC (cùng chắn cung EC ).
Từ đó, suy ra E· HK E· DC, mà E· HK, E· DC là hai góc đồng vị nên HK // CD.
Ví dụ 7. Từ điểm A nằm ngoài đường tròn O; R , kẻ hai tiếp tuyến AB và AC đến đường tròn O (với B 
và C là hai tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC của O lấy điểm M khác B và C. Gọi I, H, K lần lượt là hình 
chiếu vuông góc của M trên BC, AC, AB. Gọi P là giao điểm của BM và IK, Q là giao điểm của CM và 
IH. Chứng minh MI 2 MH.MK và PQ  MI. 
Hướng dẫn
 5 Nhóm file Word toán THCS
 B
 2
 K 1
 1 P
 1
 A 1 O
 M 2 I
 1 Q
 H 2 1
 C
* Chứng minh MI 2 MH.MK
 µ ¶
Bước 1 Chứng minh tứ giác MIBK nội tiếp, suy ra I1 B2 (cùng nhìn KM ).
 ¶ µ
Bước 2 Xét O có B2 C1 (cùng bằng nửa số đo cung BM).
 µ ¶
Bước 3 Chứng minh tứ giác MICH nội tiếp, suy ra C1 H1 (cùng nhìn MI ). 
 µ ¶ µ ¶
Từ đó, ta được I1 H1 và tương tự I2 K1.
 MI MK
Do đó IKM ∽ HIM (g.g) nên hay MI 2 MH.MK. 
 MH MI
* Chứng minh PQ  MI
 µ µ µ µ
Bước 1 Chỉ ra I1 C1, I2 B1, suy ra 
· · · µ µ · µ µ
PMQ PIQ PMQ I1 I2 PMQ C1 B1 180 (tổng ba góc trong MBC ).
 µ µ
Do đó tứ giác PMQI nội tiếp, suy ra P1 I2 (cùng nhìn MQ ). 
 µ µ µ µ µ µ
Bước 2 Kết hợp P1 I2 , I2 B1 (cmt) ta được P1 B1. 
 µ µ
Mà P1, B1 là hai góc đồng vị nên PQ // BC. 
Lại có MI  BC (gt) nên PQ  MI. 
Ví dụ 8. Từ điểm M nằm ngoài đường tròn O , vẽ tiếp tuyến MA đến O (với A là tiếp điểm) và vẽ cát 
tuyến MBC sao cho MB MC và tia MC nằm giữa hai tia MA, MO. Gọi H là hình chiếu vuông góc của 
điểm A trên đường thẳng OM. Chứng minh tứ giác BCOH nội tiếp và HA là tia phân giác của B· HC. 
Hướng dẫn
 6 Nhóm file Word toán THCS
 A
 C
 B
 M
 H O
* Chứng minh tứ giác BCOH nội tiếp
Bước 1 Chứng minh MB.MC MA2 , MH.MO MA2 MB.MC MH.MO. 
 MB MH
Bước 2 Từ MB.MC MH.MO, ta lập được tỉ số . 
 MO MC
Suy ra MBH ∽ MOC (c.g.c) nên M· HB M· CO (hai góc tương ứng).
Do đó tứ giác BCOH nội tiếp (Dấu hiệu góc ngoài bằng góc đối).
* Chứng minh HA là tia phân giác của B· HC 
Bước 1 Từ tứ giác BCOH nội tiếp, suy ra O· HC O· BC (cùng nhìn OC ).
Bước 2 Chỉ ra OBC cân tại O , suy ra O· BC O· CB. 
Mà O· CB M· HB (cmt) nên M· HB O· HC. 
Bước 3 Từ M· HB O· HC, A· HB 90 M· HB, A· HC 90 O· HC, suy ra A· HB A· HC 
Vậy HA là tia phân giác của B· HC
Ví dụ 9. Cho ABC nhọn ( AB AC) nội tiếp đường tròn O . Kẻ AH  BC tại H. Gọi E và F lần lượt là 
hình chiếu vuông góc của H trên AB và AC. Đường thẳng EF cắt đường thẳng BC tạiK và cắt O tại M, N. 
Chứng minh KH 2 KB.KC. và A là điểm chính giữa của M¼ N, từ đó chứng minh A là tâm đường tròn ngoại 
tiếp HMN. 
Hướng dẫn
 7 Nhóm file Word toán THCS
 A
 x
 F N
 E
 M O
 K C
 B H
* Chứng minh KH 2 KB.KC
Bước 1 Chứng minh tứ giác AEHF ￿nội tiếp, suy ra ·AHE A· FE, A· EF ·AHF. 
Bước 2 Từ ·AHE A· FE (cmt), K· HE 90 ·AHE, K· FH 90 A· FE, suy ra K· HE K· FH nên 
 KHE ∽ KFH (g.g) KE.KF KH 2 . 
Bước 3 Từ A· EF ·AHF (cmt), K· EB A· EF, K· CF ·AHF 90 C· HF, suy ra K· EB K· CF nên 
 KEB ∽ KCF (g.g) KE.KF KB.KC. 
Vậy KH 2 KB.KC
* Chứng minh A là điểm chính giữa của M¼ N
Bước 1 Kẻ tiếp tuyến Ax của O tại A thì OA  Ax (tính chất tiếp tuyến).
Bước 2 Chứng minh MN // Ax như sau:
+) Xét O có x· AB A· CB (cùng bằng nửa số đo A»B). 
+) Vì A· EF A· CB (cmt) nên x· AB A· EF, mà x· AB, ·AEF là hai góc so le trong nên MN // Ax, do đóOA  MN, 
suy ra OA đi qua điểm chính giữa của M¼ N. 
Vậy A là điểm chính giữa của M¼ N.
* Chứng minh A là tâm đường tròn ngoại tiếp HMN. 
Bước 1 Từ A¼M »AN, suy ra AM AN (liên hệ giữa cung và dây cung).
Bước 2 Chứng minh AN AH như sau:
 1 1
+) Xét O có A¼M=A»N, A· NF= sđA¼M, A· CN= sđA»N, suy ra A· NF=A· CN.
 2 2
Do đó ANF ” ACN g.g AF.AC=AN2. 
+) Xét AHD vuông tại H, đường cao HF nên AF.AC=AH2 (hệ thức lượng). 
Từ đó, ta được AM = AN = AH nên A là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔHMN. 
 8 Nhóm file Word toán THCS
Ví dụ 10. Cho ΔABC nhọn AB<AC có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi O là đường tròn 
ngoại tiếp tứ giác CDHE. Trên cung nhỏ EC của O , lấy điểm I sao cho IC > IE. Gọi N là giao điểm của DI với 
CE. Gọi M là giao điểm của EF với IC. Chứng minh MN //AB. 
Hướng dẫn
 A
 M
 E
 I
 F
 N
 H
 O
 B D C
Bước 1 Chứng minh tứ giác MENI nội tiếp như sau:
+) Xét O có D· IC=D· HC (cùng chắn C»D ) .
Mà D· IC=A· HF(đối đỉnh) nên D· IC=A· HF.
+) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp, suy ra A· HF A· EF (cùng nhìn AF).
Mà A· EF=M· EN (đối đỉnh) nên D· IC=M· EN ,suy ra tứ giác MENI nội tiếp. 
Bước 2 Chứng minh E· MN=E· FA như sau:
+) Tứ giác MENI nội tiếp, suy ra E· MN=E· IN (cùng nhìn EN)
+) Xét O có E· IN=E· CD (cùng chắn E»D )
+) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp E· FA=E· CD (góc ngoài bằng góc đối).
Từ đó suy ra E· FA=E· MN , mà E· FA,E· MN là hai góc so le trong nên MN //AB.
 9 Nhóm file Word toán THCS
DẠNG 2: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG
Cách 1 ( Cách song song) chứng minh hai trong ba đường thẳng AB, AC, BC cùng song song với một đường 
thẳng thì A, B, C thẳng hàng.
Cách 2 (Cách vuông góc) Chứng minh hai trong ba đường thẳng AB, AC, BC cùng vuông góc với một đường 
thẳng thì A, B, C thẳng hàng.
Cách 3 (Cách góc bẹt) chứng minh A· BC=1800 thì A, B, C thẳng hàng.
Ví dụ 1. Cho đường tròn O;R đường kính AB cố định. Dây CD di động vuông góc với AB tại H nằm giữa A 
và O. Lấy điểm F thuộc cung nhỏ AC. Giả sử BF cắt CD tại E, AF cắt tia DC tại I. Đường tròn ngoại tiếp IEF 
cắt AE tại M. Chứng minh M thuộc đường tròn O;R .
Hướng dẫn
 I
 C M
 F
 j
 E
 A B
 H O
 D
Bước 1 Chứng minh IM  AM.
+) Chỉ ra IEF vuông tại F thì IE là đường kính của đường tròn ngoại tiếp IEF. 
+) Suy ra I·ME 900 IM  EM hay IM  AM. 
Bước 2 Chứng minh IB  AM.
+) Chỉ ra IH, BF là hai đường cao của IAB và IHBF= E nên E là trực tâm của IAB
+) Suy ra IB  AE hay IB  AM nên I, M, B thẳng hàng.
 Mà IM  AM nên BM  AM hay A· MB 900 , do đó M thuộc O .
 10