Đề cương ôn tập Toán Lớp 9 - Chủ đề 2: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

 Nhóm file Word toán THCS
 CHỦ ĐỀ 2 – HỆ PHƯƠNG TRÌNH
I.HỆ KHÔNG CHỨA THAM SỐ ...................................................................................................................1
 DẠNG 1: HỆ ĐA THỨC BẬC NHẤT ĐỐI VỚI X VÀ Y .............................................................................1
 DẠNG 2: HỆ CHỨA PHÂN THỨC.................................................................................................................2
 DẠNG 3: HỆ CHỨA CĂN ................................................................................................................................4
 DẠNG 4: HỆ THỨC CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI .............................................................................................6
II. HỆ CHỨA THAM SỐ......................................................................................................................................9
HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHỦ ĐỀ .....................................................................................12
 I. HỆ KHÔNG CHỨA THAM SỐ .................................................................................................................12
 II. HỆ CHỨA THAM SỐ................................................................................................................................12
 I.HỆ KHÔNG CHỨA THAM SỐ
DẠNG 1: HỆ ĐA THỨC BẬC NHẤT ĐỐI VỚI X VÀ Y
 ax by c
 Cách giải Rút gọn về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn dạng: 
 a ' x b' y c '
 x 4 y 4 xy 216
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình: 
 x 2 y 5 xy 50
 Lời giải
 x 4 y 4 xy 216 xy 4x 4y 16 xy 216
 Có 
 x 2 y 5 xy 50 xy 5x 2y 10 xy 50
 4x 4y 200 2x 2y 100 7x 140 x 20
 5x 2y 40 5x 2y 40 x y 50 y 30
 Vậy: x ; y = 20 ; 30 
 2(x 1) 3(x y) 15
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình: 
 4(x 1) (x 2y) 0
 Lời giải
 2 x 1 3 x y 15 2x 2 3x 3y 15
 Ta có: 
 4 x 1 x 2y 0 4x 4 x 2y 0
 5x 3y 13 10x 6y 26 19x 38 x 2
 3x 2y 4 9x 6y 12 3x 2y 4 y 1
 Vậy: x; y 2; 1 
 3 x 1 2 x 2y 4
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình: 3 
 4 x 1 x 2y 9
 Lời giải
 1 Nhóm file Word toán THCS
Cách 1: (Giải trực tiếp)
 3 x 1 2 x 2y 4 3x 3 2x 4y 4
Ta có: 
 4 x 1 x 2y 9 4x 4 x 2y 9
 5x 4y 1 5x 4y 1 11x 11 x 1
 3x 2y 5 6x 4y 10 5x 4y 1 y 1
Vậy: x; y 1; 1 
Cách 2: Đặt ẩn phụ
 a x 1 3a 2b 4 3a 2b 4 11a 22 a 2
Đặt: 3 : 
 b x 2 y 4a b 9 8a 2b 18 3a 2b 4 b 1
 x 1 2 x 1
 x 2y 1 y 1
Vậy: x ; y 1 ;-1 .
DẠNG 2: HỆ CHỨA PHÂN THỨC
Bước 1: Đặt điều kiện cho hệ phương trình.
Bước 2: Giải bằng cách đặt ẩn phụ hoặc quy đồng giải trực tiếp.
 2 1
 2
 x 1 y 2
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình: 
 8 3
 1
 x 1 y 2
 Lời giải
Điều kiện: x 1, y 2 
Cách 1: Đặt ẩn phụ
 1 1
Đặt a ,b hệ phương trình trở thành
 x 1 y 2
 1
 2a b 2 6a 3b 6 14a 7 a 
 2 
 8a 3b 1 8a 3b 1 2a b 2
 b 1
 1 1
 x 1 2 x 1 2 x 3
Suy ra ( thoả mãn điều kiện)
 1 y 2 1 y 1
 1 
 y 2
Vậy: x ; y 3 ; 1 
Cách 2: (Giải trực tiếp)
 2 1 6 3 14
 2 6 7
 x 1 y 2 x 1 y 2 x 1
Có 
 8 3 8 3 8 3
 1 1 1
 x 1 y 2 x 1 y 2 x 1 y 2
 2 Nhóm file Word toán THCS
 x 1 2
 x 3
 3 (thỏa mãn điều kiện)
 3 y 1
 y 2
Vậy (x;y) = (3; – 1)
 1
 3(y 1) 5
 x y
Ví dụ 2 Giải hệ phương trình 
 2
 5(y 1) 1
 x y
 Lời giải
Điều kiện: x + y ≠ 0
Cách 1: (Đặt ẩn phụ)
 1
Đặt a; y 1 b hệ đã cho trở thành
 x y
 a 3b 5 2a 6b 10 11b 11 b 1
 2a 5b 1 2a 5b 1 2a 5b 1 a 2
 1 y 0
 2 
Suy ra x y 1 (thỏa mãn điều kiện)
 x 
 y 1 1 2
 1
Vậy (x ; y) = ( ; 0) 
 2
Cách 2: (Giải trực tiếp)
 1 2
 3(y 1) 5 6(y 1) 10 11(y 1) 11
 x y x y 
Có 2
 2 2 5(y 1) 1
 5(y 1) 1 5(y 1) 1 x y
 x y x y
 1 y 0
 2 
 x y 1 (thỏa mãn điều kiện)
 x 
 y 1 1 2
 1
Vậy (x ; y) = ( ; 0) 
 2
 1 2
 3 (1)
 x 1 y 2
Ví dụ 3 Giải hệ phương trình 
 3x 4y
 2 (2)
 x 1 y 2
 Lời giải
Điều kiện: x ≠ – 1; y ≠ – 2 
Trước hết ta khử x , trên tử trong phương trình (2) của hệ
 3 Nhóm file Word toán THCS
 1 2 1 2
 3 3
 x 1 y 2 x 1 y 2
Có 
 3x 4y 3x+3 3 4y 8 8
 2 2
 x 1 y 2 x 1 y 2
 1 2 1 2
 3 3
 x 1 y 2 x 1 y 2
 3 8 3 8
 3 4 2 5
 x 1 y 2 x 1 y 2
Cách 1: (Đặt ẩn phụ)
 1 1
Đặt a; b hệ đã cho trở thành
 x 1 y 2
 a 2b 3 4a 8b 12 7a 7 a 1
 3a +8b 5 3a +8b 5 3a +8b 5 b 1
 1
 1
 x 1 x 2
Suy ra (thỏa mãn điều kiện)
 1 y 1
 1 
 y 2
Vậy (x ; y) = (– 2 ; – 1) 
Cách 2: (Giải trực tiếp)
 1 2 4 8 7
 3 12 7
 x 1 y 2 x 1 y 2 x 1
Có 
 3 8 3 8 3 8
 5 5 5
 x 1 y 2 x 1 y 2 x 1 y 2
 1
 1
 x 1 x 2
 (thỏa mãn điều kiện)
 1 y 1
 1 
 y 2
Vậy (x ; y) = (– 2 ; – 1) 
DẠNG 3: HỆ CHỨA CĂN
Bước 1: Đặt điều kiện xác định của hệ
Bước 2: Giải bằng cách đặt hai ẩn phụ cho gọn hoặc giải trực tiếp
 2 x 1 3 y 2 8
Ví dụ 1 Giải hệ phương trình 
 3 x 1 2 y 2 1
 Lời giải
Điều kiện: x ≥ – 1 ; y ≥ 2
Cách 1: (Đặt ẩn phụ)
Đặt x 1 a; y 2 b (điều kiện a ≥ 0 ; b ≥ 0 )hệ đã cho trở thành
 4 Nhóm file Word toán THCS
 2a 3b 8 4a 6b 16 13a 13 a 1
 (TM)
 3a 2b 1 9a 6b 3 3a 2b 1 b 2
 x 1 1 x 1 1 x 0
Suy ra (thỏa mãn điều kiện)
 y 2 2 y 2 4 y 6
Vậy (x ; y) = (0; 6) 
Cách 2: (Giải trực tiếp)
 2 x 1 3 y 2 8 4 x 1 6 y 2 16
Có 
 3 x 1 2 y 2 1 9 x 1 6 y 2 3
 13 x 1 13 x 1 1 x 0
 (thỏa mãn điều kiện)
 3 x 1 2 y 2 1 y 2 2 y 6
Vậy (x ; y) = (0; 6) 
 1
 3 y 1 2
 3x 4
Ví dụ 2 Giải hệ phương trình 
 3
 5 y 1 4
 3x 4
 Lời giải
 4
Điều kiện: x ; y 1
 3
Cách 1: (Đặt ẩn phụ)
 1
Đặt a; y 1 b điều kiện b ≥ 0 hệ đã cho trở thành
 3x 4
 1
 b (TM)
 a 3b 2 3a 9b 6 4b 2 2
 3a+5b 4 3a+5b 4 3a+5b 4 1
 a 
 2
 1 1
 x 2
 3x 4 2 3
Suy ra 3 (thỏa mãn điều kiện). Vậy (x ; y) = (2; )
 1 y 4
 y 1 4
 2
Cách 2: (Giải trực tiếp)
 1 3
 3 y 1 2 9 y 1 6 4 y 1 2
 3x 4 3x 4 
Có 
 3 3 3
 5 y 1 4 5 y 1 4 5 y 1 4
 3x 4 3x 4 3x 4
 5 Nhóm file Word toán THCS
 1
 y 1 x 2
 2 3
 3 (thỏa mãn điều kiện). Vậy (x ; y) = (2; ) 
 1 1 y 4
 4
 3x 4 2
 4 21 1
 2x y x y 2
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình 
 3 7 x y
 1
 2x y x y
 Lời giải
Điều kiện: 2x y 0, x y 0. 
Trước hết ta khử x, y ở trên tử trong phương trình sau của hệ:
 4 21 1 4 21 1
 2x y x y 2 2x y x y 2
Hệ 
 3 7 3 7
 1 1 2
 2x y x y 2x y x y
Cách 1 (Đặt ẩn phụ)
 a 7
Đặt a , b (điều kiện: a 0, b 0 ), hệ trở thành
 2x y x y
 1
 1 1 13 a 
 4a 3b 4a 3b 13a 2
 2 2 2 (thỏa mãn).
 1
 3a b 2 9a 3b 6 9a 3b 6 b 
 2
 1 1
 2x y 2 2x y 4 x 6
Suy ra (thỏa mãn điều kiện).
 7 1 x y 14 y 8
 x y 2
Vậy x; y 6; 8 .
Cách 2 (Giải trực tiếp)
 4 21 1 4 21 1 13 13
 2x y x y 2 2x y x y 2 2x y 2
Có 
 3 7 9 21 9 21
 2 6 6
 2x y x y 2x y x y 2x y x y
 1 1
 2x y 2 2x y 4 x 6
 (thỏa mãn điều kiện).
 7 1 x y 14 y 8
 x y 2
Vậy x; y 6; 8 .
 6 Nhóm file Word toán THCS
DẠNG 4: HỆ THỨC CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI
Bước 1 Đặt điều kiện xác định của hệ.
Bước 2 Giải bằng cách đặt hai ẩn phụ cho gọn hoặc giải trực tiếp.
 x 2 4 y 1 5
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình 
 3 x 2 2 y 1 1
 Lời giải
Điều kiện: y 1. 
Cách 1 (Đặt ẩn phụ)
Đặt a x 2 , b y 1 (điều kiện: a 0, b 0 ), hệ đã cho trở thành
 a 4b 5 a 4b 5 7a 7 a 1
 (thỏa mãn điều kiện)
 3a 2b 1 6a 4b 2 a 4b 5 b 1
 x 2 1 x 2 1 x 1 x 3
Suy ra , (thỏa mãn điều kiện)
 y 1 1 y 1 1 y 2 y 2
 x 1 x 3
Vậy , 
 y 2 y 2
Cách 2 (Giải trực tiếp)
 x 2 4 y 1 5 x 2 4 y 1 5 7 x 2 7
Có 
 3 x 2 2 y 1 1 6 x 2 4 y 1 2 3 x 2 2 y 1 1
 x 2 1 x 2 1 x 1 x 3 x 1 x 3
 , (thỏa mãn điều kiện). Vậy , 
 y 1 1 y 1 1 y 2 y 2 y 2 y 2
 8 1
 5
 x 3 2y 1
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình 
 4 1
 3
 x 3 1 2y
 Lời giải
 8 1
 5
 1 x 3 2y 1
Điều kiện: x 0, x 9, y . Do 1 2y 2y 1 nên hệ 
 2 4 1
 3
 x 3 2y 1
Cách 1 (Đặt ẩn phụ)
 4 1
Đặt a , b (điều kiện: a 0, b 0 ), hệ đã cho trở thành
 x 3 2y 1
 2a b 5 a 2
 (thỏa mãn điều kiện).
 a b 3 b 1
 7 Nhóm file Word toán THCS
 1 1
 x 3 2 x 3 2 x 5 x 25 x 25
Suy ra ; (thỏa mãn điều kiện).
 1 y 1 y 0
 1 2y 1 1 2y 1 1 
 2y 1
Cách 2 (Giải trực tiếp)
 8 1 1 1
 5 
 x 3 2y 1 x 3 2 x 25 x 25
Có ; (thỏa mãn điều kiện).
 4 1 1 y 1 y 0
 3 1 
 x 3 1 2y 2y 1
 x 25 x 25
Vậy ; 
 y 1 y 0
 x 2 2 y 3 9
 Ví dụ 3. Giải hệ phương trình 
 x y 3 1
 Lời giải
Điều kiện: y 3. 
Cách 1 (Đặt ẩn phụ)
 x 2 2 y 3 9 x 2 2 y 3 9
Có 
 x y 3 1 x 2 y 3 3
Đặt a x 2; b y 3 (điều kiện: b 0 ), hệ trở thành
 a 2b 9 a 2b 9
 a 2a 15.
 a b 3 2a 2b 6
Trường hợp 1: Xét a 0 thì a 2a 15 a 2a 15 a 15 (loại).
Trường hợp 2: Xét a 0 thì a 2a 15 a 2a 15 a 5 (thỏa mãn).
Suy ra x 2 5 x 3. 
Thay x 3 vào x y 3 1 ta được 3 y 3 1 y 1 (thỏa mãn).
Vậy x; y 3;1 . 
Cách 2 (Giải trực tiếp)
 x 2 2 y 3 9 x 2 2 y 3 9
Có x 2 2x 11.
 x y 3 1 2x 2 y 3 2
Trường hợp 1: Xét x 2 0 x 2 thì
 x 2 2x 11 x 2 2x 11 x 13 (loại)
Trường hợp 2: Xét x 2 0 x 2 thì
 x 2 2x 11 x 2 2x 11 x 3 (thỏa mãn).
Vậy x; y 3;1 .
 8 Nhóm file Word toán THCS
II. HỆ CHỨA THAM SỐ
 ax by c
Bài toán thường gặp: Cho hệ chứa tham số m.
 a ' x b' y c '
Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất x; y thỏa mãn điều kiện cho trước
Bước 1 Dùng phương pháp thế, cộng, trừ để đưa hệ đã cho về phương trình bậc nhất một ẩn Ax B. 
Bước 2: Lập luận: Hệ có nghiệm duy nhất khi phương trình Ax = B có nghiệm duy nhất A ≠ 0
Bước 3: Giải nghiệm (x; y) theo m và xử lý điều kiện của bài toán.
Chú ý:
 A = 0
 * Hệ vô nghiệm khi phương trình Ax = B vô nghiệm 
 B 0
 A = 0
 * Hệ vô số nghiệm khi phương trình Ax = B vô số nghiệm 
 B = 0
 ax + by = c
 * Đối với hệ: khi a’ , b’ , c’ ≠ 0 thì ta có các điều kiện sau:
 a'x + b'y = c'
 a b
 +) Hệ có nghiệm duy nhất khi 
 a' b'
 a b c
 +) Hệ vô nghiệm = 
 a' b' c'
 a b c
 +) Hệ vô số nghiệm = 
 a' b' c'
 2x + y = 8
Ví dụ 1. Cho hệ phương trình: với m là tham số.
 4x + my = 2m + 18
1. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) và tìm nghiệm duy nhất đó.
2. Với (x; y) là nghiệm duy nhất ở trên, hãy tìm m để:
 a) 2x – 3y > 0.
 b) Cả x và y là các số nguyên.
 c) Biểu thức S = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất.
 d) Biểu thức T = xy đạt giá trị lớn nhất.
 Lời giải
1. Từ 2x + y = 8 y = 8 – 2x, thay vào 4x + my = 2m + 18 ta được
 4x + m(8 – 2x) = 2m + 18 (4 – 2m)x = 18 – 6m (*)
Hệ có nghiệm duy nhất (x; y) khi phương trình (*) có nghiệm duy nhất 4 – 2m ≠ 0 m ≠ 2.
 18 6m 3m 9 3m 9 2m 2
Khi đó x y 8 2x 8 2. 
 4 2m m 2 m 2 m 2
 3m 9 2m 2 
Vậy m 2 thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất là x; y ; .
 m 2 m 2 
 6m 18 6m 6 24
2. a) Có 2x 3y 0 0 0 
 m 2 m 2 m 2
 m 2 0 (do 24 0 ) m 2 (thỏa mãn).
Vậy m 2 thì 2x 3y 0 .
 9 Nhóm file Word toán THCS
 3m 9 3m 6 3 3
 x 3 
 m 2 m 2 m 2
b) Có 
 2m 2 2m 4 6 6
 y 2 
 m 2 m 2 m 2
 3m 2
Do đó cả x, y Z m 2 UC 3;6 1; 3 
 6m 2
 m 3;1;5; 1 (thỏa mãn m 2 )
Vậy m 3;1;5; 1 thì cả x và y là các số nguyên.
 2 2
 2 2 3 6 
c) S x y 3 2 
 m 2 m 2 
 3 2 2
Đặt a , thì S 3 a 2 2a 5a2 2a 13 
 m 2
 2
 2 2 13 1 64 64
 5 a a 5 a .
 5 5 5 5 5
 64 1 3 1
Vậy MinS khi a m 13 (thỏa mãn m 2 ).
 5 5 m 2 5
 3 6 
d) Có T xy 3 2 
 m 2 m 2 
 3 2
Đặt a , ta được T 3 a 2 2a 2a2 4a 6 2 a 1 8 8.
 m 2
 3
Vậy MaxT=8 khi a 1 1 m 5 (thỏa mãn m 2 ).
 m 2
 mx 2y 2m 1
Ví dụ 2. Cho hệ phương trình với m là tham số.
 2x my 9 3m
1. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất x; y và tìm nghiệm duy nhất đó.
2. Với x; y là nghiệm duy nhất ở trên:
a) Tìm một hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m .
b) Tìm m nguyên để cả x và y là các số nguyên.
c) Tìm m để biểu thức S x2 y2 đạt giá trị nhỏ nhất.
d) Tìm m để biểu thức T xy đạt giá trị lớn nhất.
 Lời giải
 mx 2m 1
1. Từ mx 2y 2m 1 y , thay vào 2x my 9 3m ta được
 2
 mx 2m 1
2x m. 9 3m 4 m2 x 18 5m 2m2 (*) 
 2
Hệ có nghiệm duy nhất x; y khi phương trình * có nghiệm duy nhất
 4 m2 0 m 2.
 18 5m 2m2 2m2 5m 18 m 2 2m 9 2m 9
Khi đó x 
 4 m2 m2 4 m 2 m 2 m 2
 10