Đề cương ôn tập Toán Lớp 9 - Chủ đề 1: Rút gọn biểu thức
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Đề cương ôn tập Toán Lớp 9 - Chủ đề 1: Rút gọn biểu thức", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.
Tóm tắt nội dung tài liệu: Đề cương ôn tập Toán Lớp 9 - Chủ đề 1: Rút gọn biểu thức

Nhóm file Word toán THCS CHỦ ĐỀ 1 – RÚT GỌN BIỂU THỨC DẠNG 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC: ...............................................................................................................1 DẠNG 2: CHO GIÁ TRỊ CỦA X . TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC....................................................3 DẠNG 3: ĐƯA VỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ................................................................................................4 DẠNG 4: ĐƯA VỀ GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH.....................................................................................11 DẠNG 6: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC ................................17 DẠNG 7: TÌM X ĐỂ P NHẬN GIÁ TRỊ LÀ SỐ NGUYÊN ......................................................................25 DẠNG 8: TÌ THAM SỐ ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH P m CÓ NGHIỆM ....................................................29 HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHỦ ĐỀ................................................................................31 DẠNG 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC: Bước 1 Đặt điều kiện xác định của biểu thức: 1 x 0 x 0 • (a 0) : Điều kiện xác định là 2 x a x a x a 1 • (a 0): Điều kiện là x 0 x a • Gặp phép chia phân thức thì đổi thành phép nhân sẽ xuất hiện thêm mẫu mới nên dạng này ta thường làm bước đặt điều kiện sau. Bước 2 Phân tích mẫu thành tích, quy đồng mẫu chung. Bước 3 Gộp tử, rút gọn và kết luận. x 2 x 3x 9 Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức A x 3 x 3 x 9 Lời giải Điều kiện: x 0,x 9 x 2 x 3x 9 Có A x 3 x 3 ( x 3)( x 3) x( x 3) 2 x( x 3) 3x 9 ( x 3)( x 3) ( x 3)( x 3) ( x 3)( x 3) x 3 x 2x 6 x 3x 9 3( x 3) 3 ( x 3)( x 3) ( x 3)( x 3) x 3 3 Vậy A với điều kiện x 0,x 9 x 3 x 1 2 9 x 3 Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức A x 2 x 3 x x 6 Lời giải Có x x 6 x 3 x 2 x 6 x( x 3) 2( x 3) ( x 2)( x 3) Điều kiện: x 0,x 4 1 Nhóm file Word toán THCS x 1 2 9 x 3 Có A x 2 x 3 ( x 2)( x 3) ( x 1)( x 3) 2( x 2) 9 x 3 ( x 2)( x 3) ( x 2)( x 3) ( x 2)( x 3) x 4 x 3 2 x 4 9 x 3 x 3 x 2 ( x 2)( x 3) ( x 2)( x 3) ( x 1)( x 2) x 1 ( x 2)( x 3) x 3 x 1 Vậy: A với điều kiện x 0,x 4 x 3 x 2 x 1 1 P 1: Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức x x 1 x x 1 x 1 Lời giải x 2 x 1 1 P 1: Có ( x 1)(x x 1) x x 1 x 1 x 2 ( x 1)( x 1) x x 1 1: ( x 1)(x x 1) ( x 1)(x x 1) ( x 1)(x x 1) x 2 x 1 x x 1 x x 1: 1: ( x 1)(x x 1) ( x 1)(x x 1) ( x 1)(x x 1) x x 1 1 . Điều kiện x 0,x 1. x( x 1) x x x 1 Vậy P với điều kiện x 0,x 1. x Chú ý: Câu này có phép chia phân thức nên đoạn cuối xuất hiện thêm x ở mẫu, do đó ta làm bước đặt điều kiện sau. a 3 a 2 a a 1 1 Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức P : ( a 2)( a 1) a 1 a 1 a 1 Lời giải ( a 1)( a 2) a a a 1 a 1 P : Có ( a 2)( a 1) ( a 1)( a 1) ( a 1)( a 1) ( a 1)( a 1) a 1 a a a 1 a 1 : a 1 ( a 1)( a 1) ( a 1)( a 1) ( a 1)2 a a 2 a : ( a 1)( a 1) ( a 1)( a 1) ( a 1)( a 1) a 2 a 1 a a ( a 1)( a 1) a 1 ( a 1)( a 1) 2 a 2 a Điều kiện a 0,a 1 a 1 Vậy P với điều kiện a 0,a 1. 2 a 2 Nhóm file Word toán THCS DẠNG 2: CHO GIÁ TRỊ CỦA X . TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC Bước 1 Đặt điều kiện và chỉ ra giá trị đã cho của x thoả mãn điều kiện. Bước 2 Tính x rồi thay giá trị của x, x vào biểu thức đã rút gọn. Bước 3 Tính kết quả của biểu thức bằng cách trục hết căn thức ở mẫu và kết luận. x 1 Ví dụ 1: Tính giá trị của biểu thức P khi: x 2 a) x 36 b) x 6 2 5 2 2 3 c) x d) x 2 3 2 6 28 21 4 4 e) x 2 7 f) x 3 7 2 3 3 2 3 2 3 27 3 1 g) x h) x 7 x 10 0 18 Lời giải Điều kiện x 0,x 4 a)Có x 36 thoả mãn điều kiện. 6 1 7 Khi đó x 6 thay vào P ta được P . 6 2 4 7 Vậy P khi x 36 . 4 b)Có x 6 2 5 ( 5 1)2 thoả mãn điều kiện Khi đó x 5 1 5 1(do 5 1) 5 1 1 5 5 3 5 Thay vào P ta được P 5 1 2 5 3 4 5 3 5 Vậy P khi x 6 2 5 . 4 2 2(2 3) 4 2 3 c)Có x ( 3 1)2 thoả mãn điều kiện. 2 3 (2 3)(2 3) 4 3 Khi đó x 3 1 3 1(do 3 1). 3 1 1 3 1 3 Thay vào P ta được P 3 1 2 3 3 2 1 3 2 Vậy P khi x 2 2 3 2 2 3 4 2 3 3 1 d)Có x thoả mãn điều kiện 2 4 2 3 1 3 1 Khi đó x (do 3 1) 2 2 3 Nhóm file Word toán THCS 3 1 1 3 1 4 3 3 Thay vào P , ta được P 2 3 1 3 5 11 2 2 4 3 3 2 3 Vậy P khi x . 11 2 7 4 3 6 28 21 6 3 7 e) Có x 2 7 2 7 3 7 2 3 3 7 3 7 2 3 18 6 7 3 7 9( Thỏa mãn điều kiện) x 3. 9 7 3 1 Thay vào P , ta được: P 4. 3 2 6 28 21 Vậy P 4 khi x 2 7 . 3 7 2 3 4 4 4 3 2 4 3 2 16 f) Có x 16 thỏa mãn điều kiện. 3 2 3 2 3 2 3 2 3 4 4 1 5 Khi đó x 4 thay vào P , ta được P . 4 2 2 5 4 4 Vậy P khi x . 2 3 2 3 2 3 27 3 1 3 1 2 1 g) Có x thỏa mãn điều kiện. 18 18 18 9 1 1 1 4 Khi đó x , thay vào P , ta được P 3 . 1 3 2 5 3 4 3 27 3 1 Vậy P khi x . 5 18 h) Có x 7 x 10 0 x 2 x 5 x 10 0 x 2 x 5 0 x 2, x 5 x 4 (loại), x 25(thỏa mãn). 5 1 6 Khi đó x 5, thay vào P ta được P 2. 5 2 3 Vậy P 2 khi x thỏa mãn x 7 x 10 0. DẠNG 3: ĐƯA VỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Bước 1: Đặt điều kiện để biểu thức xác định. Bước 2: Quy đồng mẫu chung Bước 3: Bỏ mẫu, giải x, đối chiếu điều kiện và kết luận. 4 Nhóm file Word toán THCS Đưa về phương trình tích x x 1 13 Ví dụ 1. Cho biểu thức P . Tìm x để P . x 3 Lời giải Điều kiện: x 0 . 13 x x 1 13 3 x x 1 13 x Có P 3 x 3 3 x 3 x 3x 3 x 3 13 x 3x 10 x 3 0 3x 9 x x 3 0 3 x x 3 x 3 0 x 3 3 x 1 0 x 3 x 9 1 1 (thỏa mãn điều kiện). x x 3 9 1 13 Vậy x 9, x thì P . 9 3 3 x Ví dụ 2. Cho biểu thức M = . Tìm x để M = . x 2 8 Lời giải Điều kiện: x 0, x 4 . x 3 x 24 x x 2 Có M 8 x 2 8 8 x 2 8 x 2 2 24 x 2 x x 2 x 1 25 x 1 25 x 1 5 x 4 (loại), x 6 x 36 (thỏa mãn điều kiện). x Vậy x 36 thì M . 8 5 Nhóm file Word toán THCS Phương trình có chứa trị tuyệt đối • f (x) a (với a 0 và a là số cụ thể) thì giải luôn hai trường hợp f (x) a. • f (x) g(x) (với g(x)là một biểu thức chứa x ): Cách 1: Xét 2 trường hợp để phá trị tuyệt đối: Trường hợp 1: Xét f (x) 0 thì f (x) f (x) nên ta được f (x) g(x). Giải và đối chiếu điều kiện f (x) 0 . Trường hợp 2: Xét f (x) 0 thì f (x) f (x) nên ta được f (x) g(x). Giải và đối chiếu điều kiện f (x) 0 . Cách 2: Đặt điều kiện g(x) 0 và giải hai trường hợp f (x) g(x) . x 2 1 Ví dụ 1. Cho 2 biểu thức A và B . Tìm x để A B. x 4 . x 5 x 5 Lời giải Điều kiện: x 0, x 25. x 2 x 4 Có A B. x 4 x 4 x 2. x 5 x 5 Cách 1: Ta xét hai trường hợp: Trường hợp 1: Xét x 4 0 x 4 thì x 4 x 4 nên ta được: x 4 x 2 x x 6 0 x 3 x 2 0 x 9 (thỏa mãn). Trường hợp 2: Xét x 4 0 x 4 thì x 4 x 4nên ta được: x 4 x 2 x x 2 0 x 1 x 2 0 x 1(thỏa mãn). Cách 2: Vì x 2 0 với mọi x 0, x 25 nên x 4 x 2 . x 3 x 2 0 x 4 x 2 x x 6 0 x 9 (thỏa mãn). x 4 x 2 x x 2 0 x 1 x 2 0 x 1 Cách 3: Nhận xét x 4 x 2 x 2 x 2 x 2 nên x 4 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 1 x 3 x 9 x 2 1 (thỏa mãn). x 1 x 1 Vậy x 9, x 1thì A B. x 4 . x 3 1 Ví dụ 2. Cho 2 biểu thức A và B . Tìm x để A B. x 3 x 1 x 1 Lời giải Điều kiện: x 0, x 1. 6 Nhóm file Word toán THCS x 3 x 3 Có A B. x 3 x 3 x 3 . x 1 x 1 Cách 1: Ta xét 2 trường hợp: Trường hợp 1: Xét x 3 0 x 3 x 9 thì x 3 x 3 nên ta được x 3 x 3 x x 0 x x 1 0 x 0, x 1(loại). Trường hợp 2: Xét x 3 0 x 3 x 9 thì x 3 x 3 nên ta được x 3 x 3 x x 6 0 x 2 x 3 0 x 2 x 4 (thỏa mãn). Vậy x 4 thì A B. x 3 . Cách 2: Điều kiện: x 3 0 x 3. Khi đó x 3 x 3 x x 1 0 x 3 x 3 x x 0 x 0, x 1 x 3 x 3 x x 6 0 x 2 x 3 0 x 4 Kết hợp các điều kiện được x 4. Đưa về bình phương dạng m2 + n2 = 0 (hoặc m2 + n = 0) Bước 1 Đặt điều kiện để biểu thức xác định và đưa phương trình về dạng m2 n2 0 (hoặc m2 n 0) Bước 2: Lập luận m2 0,n2 0(hoặc n 0 ) nên m2 n2 0 (hoặc m2 n 0 ). Bước 3: Khẳng định m2 n2 0 (hoặc m2 n 0) chỉ xảy ra khi đồng thời m 0 n 0 Bước 4: Giải ra x , đối chiếu điều kiện và kết luận. 2 x 1 Ví dụ 1. Cho biểu thức P . Tìm x để P. x 6 x 3 x 4 . x Lời giải Điều kiện: x 4. 2 x 1 Có P. x 6 x 3 x 4 . x 6 x 3 x 4 x x 2 x 1 6 x 3 x 4 x 4 x 4 x 4 0 2 x 2 x 4 0. 2 2 Vì x 2 0, x 4 0 nên x 2 x 4 0. 2 x 2 0 Do đó x 2 x 4 0 chỉ xảy ra khi x 4 (thỏa mãn). x 4 0 Vậy x 4 thì P. x 6 x 3 x 4. x 3 Ví dụ 2. Cho biểu thức P . Tìm x để P. x x 1 2 3x 2 x 2 . x 7 Nhóm file Word toán THCS Lời giải Điều kiện: x 2. x 3 Có P. x x 1 2 3x 2 x 2 . x x 1 2 3x 2 x 2 x x 3 x 1 2 3x 2 x 2 x 3 2 3x x 1 2 x 2 0 x 2 3x 3 x 2 2 x 2 1 0 2 2 x 3 x 2 1 0. 2 2 2 2 Vì x 3 0, x 2 1 0 nên x 3 x 2 1 0. 2 2 Do đó x 3 x 2 1 0 chỉ xảy ra khi x 3 x 3(thỏa mãn điều kiện). x 2 1 Vậy x 3thì P. x x 1 2 3x 2 x 2. x 1 Ví dụ 3. Cho biểu thức A . Tìm x để 81x2 18x A 9 x 4. x Lời giải Điều kiện: x 0. x 1 Có 81x2 18x A 9 x 4 81x2 18x 9 x 4 x x 1 81x2 18x 1 9 x 5 x 2 x 1 9x 5 x 9x 1 x x x 2 9x 6 x 1 9x 1 0 x 2 3 x 1 2 9x 1 0. x 2 2 3 x 1 3 x 1 2 2 Vì 9x 1 0, 0 nên 9x 1 0. x x 2 3 x 1 2 9x 1 0 1 Do đó 9x 1 0 chỉ xảy ra khi x (thỏa mãn điều kiện). x 3 x 1 0 9 1 Vậy x thì 81x2 18x A 9 x 4. 9 Đánh giá vế này một số, vế kia số đó Bước 1: Đưa một vế về bình phương và sử dụng A2 m 0; A2 m 0 m. Bước 2: Đánh giá vế còn lại dựa vào bất đẳng thức quen thuộc như: 8 Nhóm file Word toán THCS a b • Bất đẳng thức Cosi: a b 2 ab hay ab a 0,b 0. 2 Dấu “=” xảy ra khi a b. 2 • Bất đẳng thức Bunhia: a.x b.y a2 b2 x2 y2 a, b, x, y. x y Dấu “=” xảy ra khi . a b • a b a b a 0, b 0. Dấu “=” xảy ra khi a 0 hoặc b 0 . Bước 3: Khẳng định phương trình chỉ xảy ra khi các dấu “=” ở bước 1 và bước 2 đồng thời xảy ra. 4 Ví dụ 1. Cho biểu thức A và B x x x . Tìm x để x2 6 A.B x 1 3 x . x 1 Lời giải Điều kiện: 1 x 3. Có x2 6 A.B x 1 3 x 4 x2 6 .x x 1 x 1 3 x x 1 x2 4x 6 x 1 3 x (*) * Có VT (*) x2 4x 4 2 x 2 2 2 2. * Chứng minh VP(*) 2 : Cách 1: (Dùng bất đăng thức Cosi) 2 Xét VP * x 1 2 x 1 3 x 3 x 2 2 x 1 3 x x 1 3 x 2 2. 4 VP * 2. 2 Cách 2: (Dùng bất đẳng thức Bunhia cốpxki) 2 2 2 2 Xét VP * 1. x 1 1. 3 x 1 1 x 1 3 x 4 VP * 2. Như vậy VT(*) 2, VP * 2 nên (*) chỉ xảy ra khi x 2 0 x 2 (thỏa mãn). x 1 3 x Vậy x 2 thì x2 6 A.B x 1 3 x . x Ví dụ 2. Cho biểu thức A . Tìm x để A.( x 2) 5 x x 4 x 16 9 x. x 2 Lời giải Điều kiện: 0 x 9, x 4. Có A.( x 2) 5 x x 4 x 16 9 x x .( x 2) 5 x x 4 x 16 9 x x 2 x 6 x 4 x 16 9 x (*) 2 Có VT(*) x 6 x 9 5 x 3 5 5. Ta sẽ chứng minh VP * 5 Cách 1: (Chỉ ra VP(*)2 25) 9 Nhóm file Word toán THCS 2 Xét VP(*) x 16 2 x 16 9 x 9 x = 25 2 x 16 9 x 25 VP(*) 5. Cách 2: (Sử dụng a b a b a 0, b 0 ) Có VP(*) x 16 9 x x 16 9 x 25 5 VP(*) 5. Như vậy VT(*) 5, VP(*) 5 nên (*) chỉ xảy ra khi x 3 0 Do đó (*) chỉ xảy ra khi x 9 (thỏa mãn điều kiện). x 16 9 x 0 Vậy x 9 thì A.( x 2) 5 x x 4 x 16 9 x. 10
File đính kèm:
de_cuong_on_tap_mon_toan_lop_9_chu_de_1_rut_gon_bieu_thuc.docx