Đề cương ôn tập Toán Lớp 9 - Chủ đề 1: Rút gọn biểu thức

 Nhóm file Word toán THCS
 CHỦ ĐỀ 1 – RÚT GỌN BIỂU THỨC
DẠNG 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC: ...............................................................................................................1
DẠNG 2: CHO GIÁ TRỊ CỦA X . TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC....................................................3
DẠNG 3: ĐƯA VỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ................................................................................................4
DẠNG 4: ĐƯA VỀ GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH.....................................................................................11
DẠNG 6: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC ................................17
DẠNG 7: TÌM X ĐỂ P NHẬN GIÁ TRỊ LÀ SỐ NGUYÊN ......................................................................25
DẠNG 8: TÌ THAM SỐ ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH P m CÓ NGHIỆM ....................................................29
HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHỦ ĐỀ................................................................................31
DẠNG 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC:
Bước 1 Đặt điều kiện xác định của biểu thức:
 1 x 0 x 0
 • (a 0) : Điều kiện xác định là 
 2
 x a x a x a
 1
 • (a 0): Điều kiện là x 0
 x a
 • Gặp phép chia phân thức thì đổi thành phép nhân sẽ xuất hiện thêm mẫu mới nên dạng này ta thường 
 làm bước đặt điều kiện sau.
Bước 2 Phân tích mẫu thành tích, quy đồng mẫu chung.
Bước 3 Gộp tử, rút gọn và kết luận.
 x 2 x 3x 9
Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức A 
 x 3 x 3 x 9
 Lời giải
Điều kiện: x 0,x 9
 x 2 x 3x 9
Có A 
 x 3 x 3 ( x 3)( x 3)
 x( x 3) 2 x( x 3) 3x 9
 ( x 3)( x 3) ( x 3)( x 3) ( x 3)( x 3)
 x 3 x 2x 6 x 3x 9 3( x 3) 3
 ( x 3)( x 3) ( x 3)( x 3) x 3
 3
Vậy A với điều kiện x 0,x 9
 x 3
 x 1 2 9 x 3
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức A 
 x 2 x 3 x x 6
 Lời giải
Có x x 6 x 3 x 2 x 6 x( x 3) 2( x 3) ( x 2)( x 3)
Điều kiện: x 0,x 4
 1 Nhóm file Word toán THCS
 x 1 2 9 x 3
Có A 
 x 2 x 3 ( x 2)( x 3)
 ( x 1)( x 3) 2( x 2) 9 x 3
 ( x 2)( x 3) ( x 2)( x 3) ( x 2)( x 3)
 x 4 x 3 2 x 4 9 x 3 x 3 x 2
 ( x 2)( x 3) ( x 2)( x 3)
 ( x 1)( x 2) x 1
 ( x 2)( x 3) x 3
 x 1
Vậy: A với điều kiện x 0,x 4
 x 3
 x 2 x 1 1 
 P 1: 
 Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức 
 x x 1 x x 1 x 1 
 Lời giải
 x 2 x 1 1 
 P 1: 
Có 
 ( x 1)(x x 1) x x 1 x 1 
 x 2 ( x 1)( x 1) x x 1 
 1: 
 ( x 1)(x x 1) ( x 1)(x x 1) ( x 1)(x x 1) 
 x 2 x 1 x x 1 x x
 1: 1:
 ( x 1)(x x 1) ( x 1)(x x 1)
 ( x 1)(x x 1) x x 1
 1 . Điều kiện x 0,x 1.
 x( x 1) x
 x x 1
Vậy P với điều kiện x 0,x 1.
 x
Chú ý: Câu này có phép chia phân thức nên đoạn cuối xuất hiện thêm x ở mẫu, do đó ta làm bước đặt điều 
kiện sau.
 a 3 a 2 a a 1 1 
 Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức P : 
 ( a 2)( a 1) a 1 a 1 a 1 
 Lời giải
 ( a 1)( a 2) a a a 1 a 1 
 P : 
Có 
 ( a 2)( a 1) ( a 1)( a 1) ( a 1)( a 1) ( a 1)( a 1) 
 a 1 a a a 1 a 1
 :
 a 1 ( a 1)( a 1) ( a 1)( a 1)
 ( a 1)2 a a 2 a
 :
 ( a 1)( a 1) ( a 1)( a 1) ( a 1)( a 1)
 a 2 a 1 a a ( a 1)( a 1) a 1
  
 ( a 1)( a 1) 2 a 2 a
Điều kiện a 0,a 1
 a 1
Vậy P với điều kiện a 0,a 1.
 2 a
 2 Nhóm file Word toán THCS
DẠNG 2: CHO GIÁ TRỊ CỦA X . TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC
Bước 1 Đặt điều kiện và chỉ ra giá trị đã cho của x thoả mãn điều kiện.
Bước 2 Tính x rồi thay giá trị của x, x vào biểu thức đã rút gọn.
Bước 3 Tính kết quả của biểu thức bằng cách trục hết căn thức ở mẫu và kết luận.
 x 1
Ví dụ 1: Tính giá trị của biểu thức P khi:
 x 2
a) x 36 b) x 6 2 5 
 2 2 3
c) x d) x 
 2 3 2
 6 28 21 4 4
e) x 2 7 f) x 
 3 7 2 3 3 2 3 2
 3 27 3 1
g) x h) x 7 x 10 0 
 18
 Lời giải
Điều kiện x 0,x 4
a)Có x 36 thoả mãn điều kiện.
 6 1 7
Khi đó x 6 thay vào P ta được P .
 6 2 4
 7
Vậy P khi x 36 .
 4
b)Có x 6 2 5 ( 5 1)2 thoả mãn điều kiện
Khi đó x 5 1 5 1(do 5 1)
 5 1 1 5 5 3 5
Thay vào P ta được P 
 5 1 2 5 3 4
 5 3 5
Vậy P khi x 6 2 5 .
 4
 2 2(2 3) 4 2 3
c)Có x ( 3 1)2 thoả mãn điều kiện.
 2 3 (2 3)(2 3) 4 3
Khi đó x 3 1 3 1(do 3 1).
 3 1 1 3 1 3
Thay vào P ta được P 
 3 1 2 3 3 2
 1 3 2
Vậy P khi x 
 2 2 3
 2
 2 3 4 2 3 3 1 
d)Có x thoả mãn điều kiện
 2 4 2 
 3 1 3 1
Khi đó x (do 3 1)
 2 2
 3 Nhóm file Word toán THCS
 3 1
 1 3 1 4 3 3
Thay vào P , ta được P 2 
 3 1 3 5 11
 2
 2
 4 3 3 2 3
Vậy P khi x .
 11 2
 7 4 3
 6 28 21 6 3 7 
e) Có x 2 7 2 7 
 3 7 2 3 3 7 3 7 2 3
 18 6 7
 3 7 9( Thỏa mãn điều kiện) x 3.
 9 7
 3 1
Thay vào P , ta được: P 4.
 3 2
 6 28 21
Vậy P 4 khi x 2 7 .
 3 7 2 3
 4 4 4 3 2 4 3 2 16
f) Có x 16 thỏa mãn điều kiện.
 3 2 3 2 3 2 3 2 3 4
 4 1 5
Khi đó x 4 thay vào P , ta được P .
 4 2 2
 5 4 4
Vậy P khi x .
 2 3 2 3 2
 3 27 3 1 3 1 2 1
g) Có x thỏa mãn điều kiện.
 18 18 18 9
 1
 1
 1 4
Khi đó x , thay vào P , ta được P 3 .
 1
 3 2 5
 3
 4 3 27 3 1
Vậy P khi x .
 5 18
h) Có x 7 x 10 0 x 2 x 5 x 10 0 x 2 x 5 0
 x 2, x 5 x 4 (loại), x 25(thỏa mãn).
 5 1 6
Khi đó x 5, thay vào P ta được P 2.
 5 2 3
Vậy P 2 khi x thỏa mãn x 7 x 10 0.
DẠNG 3: ĐƯA VỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Bước 1: Đặt điều kiện để biểu thức xác định.
Bước 2: Quy đồng mẫu chung
Bước 3: Bỏ mẫu, giải x, đối chiếu điều kiện và kết luận.
 4 Nhóm file Word toán THCS
Đưa về phương trình tích
 x x 1 13
Ví dụ 1. Cho biểu thức P . Tìm x để P .
 x 3
 Lời giải
Điều kiện: x 0 .
 13 x x 1 13 3 x x 1 13 x
Có P 
 3 x 3 3 x 3 x
 3x 3 x 3 13 x 3x 10 x 3 0 3x 9 x x 3 0
 3 x x 3 x 3 0 x 3 3 x 1 0
 x 3 x 9
 1 1 (thỏa mãn điều kiện).
 x x 
 3 9
 1 13
Vậy x 9, x thì P .
 9 3
 3 x
Ví dụ 2. Cho biểu thức M = . Tìm x để M = .
 x 2 8
 Lời giải
Điều kiện: x 0, x 4 .
 x 3 x 24 x x 2 
Có M 
 8 x 2 8 8 x 2 8 x 2 
 2
 24 x 2 x x 2 x 1 25 x 1 25
 x 1 5 x 4 (loại), x 6 x 36 (thỏa mãn điều kiện).
 x
Vậy x 36 thì M .
 8
 5 Nhóm file Word toán THCS
Phương trình có chứa trị tuyệt đối
• f (x) a (với a 0 và a là số cụ thể) thì giải luôn hai trường hợp f (x) a.
• f (x) g(x) (với g(x)là một biểu thức chứa x ):
Cách 1: Xét 2 trường hợp để phá trị tuyệt đối:
Trường hợp 1: Xét f (x) 0 thì f (x) f (x) nên ta được f (x) g(x).
Giải và đối chiếu điều kiện f (x) 0 .
Trường hợp 2: Xét f (x) 0 thì f (x) f (x) nên ta được f (x) g(x).
Giải và đối chiếu điều kiện f (x) 0 .
Cách 2: Đặt điều kiện g(x) 0 và giải hai trường hợp f (x) g(x) .
 x 2 1
Ví dụ 1. Cho 2 biểu thức A và B . Tìm x để A B. x 4 .
 x 5 x 5
 Lời giải
Điều kiện: x 0, x 25.
 x 2 x 4
Có A B. x 4 x 4 x 2.
 x 5 x 5
Cách 1: Ta xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Xét x 4 0 x 4 thì x 4 x 4 nên ta được:
 x 4 x 2 x x 6 0 x 3 x 2 0 x 9 (thỏa mãn).
Trường hợp 2: Xét x 4 0 x 4 thì x 4 x 4nên ta được:
 x 4 x 2 x x 2 0 x 1 x 2 0 x 1(thỏa mãn).
Cách 2: Vì x 2 0 với mọi x 0, x 25 nên x 4 x 2 .
 x 3 x 2 0
 x 4 x 2 x x 6 0 x 9
 (thỏa mãn).
 x 4 x 2 x x 2 0 x 1 x 2 0 x 1
Cách 3: Nhận xét x 4 x 2 x 2 x 2 x 2 
nên x 4 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 1
 x 3 x 9
 x 2 1 (thỏa mãn).
 x 1 x 1
Vậy x 9, x 1thì A B. x 4 .
 x 3 1
Ví dụ 2. Cho 2 biểu thức A và B . Tìm x để A B. x 3
 x 1 x 1
 Lời giải
Điều kiện: x 0, x 1.
 6 Nhóm file Word toán THCS
 x 3 x 3
Có A B. x 3 x 3 x 3 .
 x 1 x 1
Cách 1: Ta xét 2 trường hợp:
Trường hợp 1: Xét x 3 0 x 3 x 9 thì x 3 x 3 nên ta được
 x 3 x 3 x x 0 x x 1 0 x 0, x 1(loại).
Trường hợp 2: Xét x 3 0 x 3 x 9 thì x 3 x 3
nên ta được x 3 x 3 x x 6 0 x 2 x 3 0
 x 2 x 4 (thỏa mãn).
Vậy x 4 thì A B. x 3 .
Cách 2: Điều kiện: x 3 0 x 3. Khi đó x 3 x 3
 x x 1 0
 x 3 x 3 x x 0 x 0, x 1
 x 3 x 3 x x 6 0 x 2 x 3 0 x 4
Kết hợp các điều kiện được x 4.
Đưa về bình phương dạng m2 + n2 = 0 (hoặc m2 + n = 0)
Bước 1 Đặt điều kiện để biểu thức xác định và đưa phương trình về dạng 
 m2 n2 0 (hoặc m2 n 0)
Bước 2: Lập luận m2 0,n2 0(hoặc n 0 ) nên
 m2 n2 0 (hoặc m2 n 0 ).
Bước 3: Khẳng định m2 n2 0 (hoặc m2 n 0) chỉ xảy ra khi đồng thời
 m 0
 n 0
Bước 4: Giải ra x , đối chiếu điều kiện và kết luận.
 2
 x 1 
Ví dụ 1. Cho biểu thức P . Tìm x để P. x 6 x 3 x 4 .
 x
 Lời giải
Điều kiện: x 4.
 2
 x 1 
Có P. x 6 x 3 x 4 . x 6 x 3 x 4
 x
 x 2 x 1 6 x 3 x 4 x 4 x 4 x 4 0
 2
 x 2 x 4 0.
 2 2
Vì x 2 0, x 4 0 nên x 2 x 4 0.
 2 x 2 0
Do đó x 2 x 4 0 chỉ xảy ra khi x 4 (thỏa mãn).
 x 4 0
Vậy x 4 thì P. x 6 x 3 x 4.
 x 3
Ví dụ 2. Cho biểu thức P . Tìm x để P. x x 1 2 3x 2 x 2 .
 x
 7 Nhóm file Word toán THCS
 Lời giải
Điều kiện: x 2.
 x 3
Có P. x x 1 2 3x 2 x 2 . x x 1 2 3x 2 x 2 
 x
 x 3 x 1 2 3x 2 x 2 x 3 2 3x x 1 2 x 2 0
 x 2 3x 3 x 2 2 x 2 1 0
 2 2
 x 3 x 2 1 0.
 2 2 2 2
Vì x 3 0, x 2 1 0 nên x 3 x 2 1 0.
 2 2
Do đó x 3 x 2 1 0 chỉ xảy ra khi
 x 3
 x 3(thỏa mãn điều kiện).
 x 2 1
Vậy x 3thì P. x x 1 2 3x 2 x 2.
 x 1
Ví dụ 3. Cho biểu thức A . Tìm x để 81x2 18x A 9 x 4.
 x
 Lời giải
Điều kiện: x 0.
 x 1
Có 81x2 18x A 9 x 4 81x2 18x 9 x 4
 x
 x 1
 81x2 18x 1 9 x 5
 x
 2 x 1 9x 5 x
 9x 1 
 x x x
 2 9x 6 x 1
 9x 1 0
 x
 2
 3 x 1
 2 
 9x 1 0.
 x
 2 2
 3 x 1 3 x 1
 2 2 
Vì 9x 1 0, 0 nên 9x 1 0.
 x x
 2
 3 x 1
 2 9x 1 0 1
Do đó 9x 1 0 chỉ xảy ra khi x (thỏa mãn điều kiện).
 x 3 x 1 0 9
 1
Vậy x thì 81x2 18x A 9 x 4.
 9
Đánh giá vế này một số, vế kia số đó
Bước 1: Đưa một vế về bình phương và sử dụng
 A2 m 0; A2 m 0 m.
Bước 2: Đánh giá vế còn lại dựa vào bất đẳng thức quen thuộc như:
 8 Nhóm file Word toán THCS
 a b
• Bất đẳng thức Cosi: a b 2 ab hay ab  a 0,b 0.
 2
 Dấu “=” xảy ra khi a b.
 2
• Bất đẳng thức Bunhia: a.x b.y a2 b2 x2 y2  a, b, x, y.
 x y
 Dấu “=” xảy ra khi .
 a b
• a b a b  a 0, b 0. 
 Dấu “=” xảy ra khi a 0 hoặc b 0 .
Bước 3: Khẳng định phương trình chỉ xảy ra khi các dấu “=” ở bước 1 và bước 2 đồng thời xảy ra.
 4
Ví dụ 1. Cho biểu thức A và B x x x . Tìm x để x2 6 A.B x 1 3 x .
 x 1
 Lời giải
Điều kiện: 1 x 3.
Có x2 6 A.B x 1 3 x
 4
 x2 6 .x x 1 x 1 3 x
 x 1
 x2 4x 6 x 1 3 x (*)
* Có VT (*) x2 4x 4 2 x 2 2 2 2.
* Chứng minh VP(*) 2 :
Cách 1: (Dùng bất đăng thức Cosi)
 2
Xét VP * x 1 2 x 1 3 x 3 x 2 2 x 1 3 x 
 x 1 3 x 
 2 2. 4 VP * 2.
 2
Cách 2: (Dùng bất đẳng thức Bunhia cốpxki)
 2
 2 2 2
Xét VP * 1. x 1 1. 3 x 1 1 x 1 3 x 4 VP * 2.
Như vậy VT(*) 2, VP * 2 nên (*) chỉ xảy ra khi
 x 2 0 
 x 2 (thỏa mãn).
 x 1 3 x
Vậy x 2 thì x2 6 A.B x 1 3 x .
 x
Ví dụ 2. Cho biểu thức A . Tìm x để A.( x 2) 5 x x 4 x 16 9 x.
 x 2
 Lời giải
Điều kiện: 0 x 9, x 4.
Có A.( x 2) 5 x x 4 x 16 9 x
 x
 .( x 2) 5 x x 4 x 16 9 x
 x 2
 x 6 x 4 x 16 9 x (*)
 2
Có VT(*) x 6 x 9 5 x 3 5 5.
Ta sẽ chứng minh VP * 5
Cách 1: (Chỉ ra VP(*)2 25)
 9 Nhóm file Word toán THCS
 2
Xét VP(*) x 16 2 x 16 9 x 9 x
 = 25 2 x 16 9 x 25 VP(*) 5.
Cách 2: (Sử dụng a b a b  a 0, b 0 )
Có VP(*) x 16 9 x x 16 9 x 25 5 VP(*) 5.
Như vậy VT(*) 5, VP(*) 5 nên (*) chỉ xảy ra khi
 x 3 0
Do đó (*) chỉ xảy ra khi x 9 (thỏa mãn điều kiện).
 x 16 9 x 0
Vậy x 9 thì A.( x 2) 5 x x 4 x 16 9 x.
 10