Đề cương ôn tập môn Hình học Lớp 9 - Chương III - Bài 3: Góc nội tiếp

 BÀI 3. GÓC NỘI TIẾP
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa
Góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn gọi là góc 
nội tiếp.
Lưu ý: Cung nằm bên trong góc nội tiếp được gọi là cung bị chắn.
2. Định lý
Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.
3. Hệ quả
Trong một đường tròn:
a) Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.
b) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.
c) Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 90°) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn 
một cung.
d) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Chứng minh hai góc bằng nhau, đoạn thẳng bằng nhau, tam giác đồng dạng
Phương pháp giải: Dùng Hệ quả trong phần Tóm tắt lý thuyết để chứng minh hai góc bằng 
nhau, hai đoạn thẳng bằng nhau.
1A. Cho đường tròn (O) và điểm I không nằm trên (O). Qua điểm I kẻ hai dây cung AB và 
CD (A nằm giữa I và B, C nằm giữa I và D).
a) So sánh các cặp góc ·ACI và ·ABD ; C· AI và C· DB .
b) Chứng minh các tam giác IAC và IDB đồng dạng.
c) Chứng minh IA.IB = IC.ID.
1B. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Lấy M là điểm tuỳ ý trên nửa đường tròn (M 
khác A và B). Kẻ MH vuông góc với AB (H AB). Trên cùng nửa mặt phang bờ AB chứa 
nửa đường tròn (O) vẽ hai nửa đường tròn tâm O1, đường kính AH và tâm O2, đường kính 
BH. Đoạn MA và MB cắt hai nửa đường tròn (O1) và (O2) lần lượt tại P và Q. Chứng minh:
1.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên a) MH = PQ;
b) Các tam giác MPQ và MBA đồng dạng;
c) PQ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O1) và (O2).
2A. Cho đường tròn (O) có các dây cung AB, BC, CA. Gọi M là điểm chính giữa của cung 
nhỏ AB. Vẽ dây MN song song với BC và gọi s là giao điểm của MN và AC. Chứng minh 
SM = SC và SN = SA.
2B. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH và nội tiếp đường tròn tâm O, đường 
kính AM.
a) Tính ·ACM. 
b) Chứng minh B· AH O· CA .
c) Gọi N là giao điểm AH với (O). Tứ giác BCMN là hình gì? Vì sao? 
Dạng 2. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc, ba điểm thẳng hàng
3A. Cho đường tròn (O) và hai dây MA, MB vuông góc với nhau. Gọi I, K lần lượt là điểm 
chính giữa của các cung nhỏ MA và MB.
a) Chứng minh ba điểm A, O, B thẳng hàng.
b) Gọi P là giao điểm của AK và BI. Chứng minh P là tâm đưòng tròn nội tiếp tam giác 
MAS.
3B. Cho (O), đường kính AB, điểm D thuộc đường tròn. Gọi E là điểm đối xứng với A qua 
D.
a) Tam giác ABE là tam giác gì?
b) Gọi K là giao điểm của EB với (O). Chứng minh OD  AK.
4A. Cho đường tròn (O), đường kính AB và S là một điểm nằm bên ngoài đường tròn. SA 
và SB lần lượt cắt đường tròn tại M, N. Gọi P là giao điểm của BM và AN. Chứng minh SP 
 AB.
4B. Cho tam giác ABC nội tiếp đưòng tròn (O), hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Vẽ 
đường kính AF.
a) Tứ giác BFCH là hình gì?
b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ba điểm H, M, F thẳng hàng.
2.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên 1
c) Chứng minh OM = AH.
 2
III. BÀI TẬP VỂ NHÀ
5. Cho đường tròn (O) và hai dây song song AB, CD. Trên cung nhỏ AB lấy điểm M tùy ý. 
Chứng minh ·AMC B· MD..
6. Cho đường tròn (O) và hai dây cung AB, AC bằng nhau. Qua A vẽ một cát tuyến cắt dây 
BC ở D và cắt (O) ở E. Chứng minh AB2 = AD.AE.
7. Cho tam giác ABC có đường cao AH và nội tiếp đường tròn (O), đường kính AD. Chứng 
minh: AB.AC = AH.AD.
8. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R), đường cao AH, biết AB = 8cm, AC = 15 cm, 
AH = 5cm. Tính bán kính của đưòng tròn (O).
9. Cho tam giác ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Vẽ đường kính MN  BC (điểm M 
thuộc cung BC không chứa A). Chứng minh các tia AM, AN lần lượt là các tia phân giác các 
góc trong và các góc ngoài tại đỉnh A của tam giác ABC.
10. Cho nửa (O) đường kính AB = 2R và điểm C nằm ngoài nửa đường tròn và cùng phía 
với nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB và chứa nửa đường tròn. CA cắt nửa đường 
tròn ở M, CB cắt nửa đường tròn ở N. Gọi H là giao điểm của AN và BM.
a) Chứng minh CH  AB.
b) Gọi I là trung điểm của CH. Chứng minh MI là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O).
11. Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Vẽ các đường kính AC và AD của 
hai đường tròn. Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hàng.
12. Cho đường tròn tâm O đường kính AB và một điểm C chạy trên một nửa đường tròn. 
Vẽ đường tròn (7) tiếp xúc với (O) tại C và tiếp xúc với đường kính AB tại D.
a) Nêu cách vẽ đường tròn (I) nói trên.
b) Đường tròn (I) cắt cắt CA, CB lần lượt tại các điểm thứ hai là M, N. Chứng minh M, I, N 
thẳng hàng.
c) Chứng minh đường thẳng CD đi qua điểm chính giữa nửa đường tròn (O) không chứa 
C.
 BÀI 3. GÓC NỘI TIẾP
3.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên 1A. a) HS tự chứng minh.
b) IAC : IDB (g.g)
c) Sử dụng kết quả câu b).
1B. a) MPHQ là hình chữ nhật MH = PQ
b) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông chứng 
minh được MP.MA MQ.MB MPQ : MBA 
 · · · ·
c) PMH MBH PQH O2QB PQ là tiếp tuyến của 
(O2).
Tương tự PQ cũng là tiếp tuyến.
2A. Do sđ M»B = sđ M» A = sđ N»C 
 N· AS ·ANS 
 SA SN SM SC 
2B. a) Ta có ·ACM 900 (góc nội tiếp)
b) ta có ABH : AMC (g.g) 
 B· AH O· AC,O· CA O· AC 
 B· AH O· CA 
c) ·ANM 900
 MNBC là hình thang
 BC / /MN sđ B»N = sđC¼M 
 C· BN B· CM nên BCMN là hình thang cân.
3A. a) Chú ý:
 M , A, B (O) và ·AMB 900 ĐPCM.
b) Gợi ý: Chứng minh AK và BI lần lượt là phân giác 
trong góc A, B của tam giác MAB.
3B. a) Chứng minh được BAE cân tại B.
4.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên b) Chứng minh được DO//BE (tính chất đường trung 
bình)
Mà AK  BE (·AKB 900 ) AK  DO 
4A. Gợi ý: Chứng minh P là trực tâm tam giác SAB.
4B. a) Chứng minh được BFCH là hình bình hành.
b) Sử dụng kết quả câu a), suy ra HF đi qua M.
c) Chú ý: OM là đường trung bình của AHF 
ĐPCM.
5. Do AB//CD sđ »AC = sđ B»D ĐPCM.
6. Chứng minh được: ABD đồng dạng AEB (g-g) 
ĐPCM.
7.Gợi ý: Xét các tam giác đồng dạng để chứng minh
8. Gợi ý: Sử dụng kết quả Bài 7.
 AO = 12cm.
9. Chứng minh được B¼M M¼ C AM là phân giác 
trong.
Mặt khác: M· AN 900 
 AN là phân giác ngoài.
10. a) HS tự chứng minh
b) Gọi CH  AB K 
Chứng minh được MIC cân tại I.
 I·CM I·MC 
Tương tự O· MA O· AM 
Chứng minh được I·MO 900 
 ĐPCM.
11. ·ABD ·ABC 1800 
5.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên C, B, D thẳng hàng.
12. a) Vẽ tiếp tuyến tại C cắt đường AB ở P. Phân giác 
 C· PB cắt OC ở I. Vẽ đường tròn tâm I bán kính IC, đó 
là đường tròn cần tìm.
b) Do ·ACB 900 nên M· CN 900
 MN là đường kính của (I) ĐPCM.
c) Chứng minh được MN//AB nên ID  MN 
 M¼D N»D hay CD là tia phân giác ·ACB ĐPCM.
6.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên