Đề cương ôn tập môn Hình học Lớp 9 - Chương II - Bài 7: Vị trí tương đối của hai đường tròn

 BÀI 7. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Tính chất của đường nối tâm
- Đường nối tâm (đường thẳng đi qua tâm 2 đường tròn) là trục đối xứng của hình tạo bởi 
hai đường tròn.
Chú ý:
• Nêu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm.
- Nếu hai đường tròn cắt nhau thì đường nối tâm là đường trung trực của dây chung.
2. Liên hệ giữa vị trí của hai đường tròn với đoạn nối tâm d và các bán kính R và r
 Vị trí tương đối của hai đường tròn (O;R) và Số điểm Hệ thức giữa d và R, r
 (O’;r) vói R>r chung
 Hai đường tròn cắt nhau 2 R-r<d<R+r
 Hai đường tròn tiếp xúc nhau
 - Tiếp xúc ngoài 1 d = R + r,
 - Tiếp xúc trong d = R-r
 Hai đường tròn không giao nhau
 - Ở ngoài nhau d> R + r
 0
 - (O) đựng (O') d<R-r
 - (O) và (O') đổng tâm d = 0
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Các bài toán liên quan đến hai đường tròn tiếp xúc nhau 
Phương pháp giải: Áp dụng các kiến thức về vị trí tương đối của hai đường tròn liên quan 
đến trường hợp hai đường tròn tiếp xúc nhau
1A. Cho đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC 
với B (O), C (O’). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung ngoài BC ở 
I. ,
 a) Vẽ đường kính BOD và CO'E. Chứng mình các bộ ba điểm B,A, E và C, A, D thẳng 
 hàng.
 b) Chứng minh BAC và DAE có diện tích bằng nhau.
 c) Gọi K là trung điểm của DE. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp OKO' tiếp xúc 
 với BC.
1B. Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; r) tiếp xúc ngoài với nhau tại A. Vẽ tiếp tuyến 
chung ngoài BC với B (O), C (O'). Đường vuông góc với OO' kẻ từ A cắt BC ở M.
 a) Tính MA theo R và r.
1.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên b) Tính diện tích tứ giác BCO'O theo R và r.
 c) Tính diện tích BAC theo R và r.
 d) Gọi I là trung điểm của OO'. Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đường tròn (I; 
 IM).
Dạng 2. Các bài toán liên quan đến hai đường tròn cắt nhau 
Phương pháp: Áp dụng các kiến thức về vị trí tương đối của hai đường tròn liên quan đến 
trường họp hai đường tròn cắt nhau.
2A. Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B, trong đó OA là tiếp tuyến của 
đường tròn (O'). Tính độ dài dây cung AB biết OA = 20 cm và O'A = 15 cm.
2B. Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Một cát tuyến qua A cắt (O) ở M, 
cắt (O') ở N mà A ở giữa M và N. Từ A vẽ đường kính AOC và AO'D.
 a) Tứ giác CMND là hình gì?
 b) Gọi E là trung điểm OO'. Với MA = NA, chứng minh MN là tiếp tuyến của đường 
 tròn (E; EA).
3A. Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Gọi M là trung điểm của OO'. 
Đường thẳng qua A cắt các đường tròn (O) và (O’) lần lượt ở C và D.
 a) Khi CD  MA, chứng minh AC = AD.
 b) Khi CD đi qua A và không vuông góc với MA.
 i) Vẽ đường kính AE của (O), AE cắt (O’) ở H. Vẽ đường kính AF của (O'), AF cắt 
 (O) ở G. Chứng minh AB, EG, FH đồng quy.
 ii) Tìm vị trí của CD để đoạn CD có độ dài lớn nhất?
3B. Cho góc vuông xOy. Lấy các điểm I và K lần lượt trên các tia Ox và Oy. Đường tròn (I; 
OK) cắt tia Ox tại M (I nằm giữa O và M), đường tròn (K; OI) cắt tia Oy tại N (K nằm giữa 
O và N).
 a) Chứng minh (I) và (K) luôn cắt nhau.
 b)Tiếp tuyến tại M của (I), tiếp tuyến tại N của đường tròn (K) cắt nhau tại C. Chứng 
 minh tứ giác OMCN là hình vuông.
 c) Gọi A, B là các giao điểm của (I) và (K) trong đó B ở miền trong góc xOy. Chứng 
 minh ba điểm A, B, C thẳng hàng.
 d) Giả sử I và K thứ tự di động trên các tia Ox và Oy sao cho OI + OK = a không đổi. 
 Chứng minh đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định.
Dạng 3. Các bài toán liên quan đến hai đường tròn không cắt nhau
Phương pháp: Áp dụng các kiến thức về vị trí tương đối của hai đường tròn liên quan đến 
trường hợp hai đường tròn không cắt nhau.
2.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên 4A. Cho hai đường tròn đồng tâm O. Biết BC là đường kính của đường tròn lớn và có độ 
dài bằng 12 cm. Dây CD là tiếp tuyến của đường tròn nhỏ và 
 B· CD 30. Hãy tính bán kính của đường tròn nhỏ.
4B. Cho hai đường tròn đồng tâm O, có bán kính lần lượt là R và r. Dây MN của đường 
tròn lớn cắt đường tròn nhỏ tại A và B. Gọi BC là đường kính của đường tròn nhỏ. Tính giá 
trị của biểu thức (AC2 + AM2 + AN2) theo R và r.
5A. Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; r) ở ngoài nhau. Gọi MN là tiếp tuyến chung ngoài, 
EF là tiếp tuyến chung trong (M và E thuộc (O), N và F thuộc (O')). Tính bán kính của 
đường tròn (O) và (O') trong các trường họp sau:
 a) OO' = 10 cm, MN = 8cm và EF = 6 cm;
 b) OO' = 13 cm, MN = 12 cm và EF = 5 cm.
5B. Cho hai đường tròn (O; 6 cm) và (O'; 2 cm) nằm ngoài nhau. Gọi AB là tiếp tuyến chung 
ngoài, CD là tiếp tuyến chung trong CD của hai đường tròn (A và C thuộc (O); B và D 
thuộc (O’) ). Biết AB = 2CD, tính độ dài đoạn nối tâm OO'.
III. BÀI TẬP VỂ NHÀ
6. Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; R') tiếp xúc ngoài tại A. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài tiếp 
xúc (O) và (O') lần lượt ở B và C. Tiếp tuyến chung trong cắt BC ở I. Gọi E, F thứ tự là giao 
điểm của IO với AB và của IO' với AC.
 a) Chứng minh A, E, I, F cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm K của đường tròn 
 này.
 1
 b) Chứng minh IE.IO + IF.IO' = (AB2 + AC2).
 2
 c) Gọi P là trung điểm của OA. Chứng minh PE tiếp xúc với (K).
 d) Cho OO' cố định và có độ dài 2a. Tìm điều kiện của R và R' để diện tích tam giác 
 ABC lớn nhất.
7. Cho đường tròn (O; R) và một điểm A trên (O). Trên đoạn OA lấy
 1
điểm B sao cho OB = OA.
 3
 a) Chứng minh đường tròn đường kính AB tiếp xúc với (O).
 b) Đường tròn (O; R') với R R' cắt đường tròn đường kính AB tại C. Tia AC cắt hai 
 đường tròn đổng tâm tại D và E với D nằm giữa C và E. Chứng minh AC = CD = DE.
8. Cho đường tròn (O) đường kính AB và C là điểm nằm giữa A và O. Vẽ đường tròn (I) 
3.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên có đường kính CB.
 a) Xét vị trí tương đối của (O) và (I).
 b) Kẻ dây DE của (O) vuông góc với AC tại trung điểm H của AC. Tứ giác ADCE là 
 hình gì?
 c) Gọi K là giao điểm của đoạn thẳng DB và (I). Chứng minh ba điểm E, C, K thẳng 
 hàng.
 d) Chứng minh HK là tiếp tuyến của (1).
9. Cho hai đường tròn (O) và (O') ở ngoài nhau. Kẻ các tiếp tuyến chung ngoài AB và CD 
 (Ạ và C thuộc (O), B và D thuộc (O')). Tiếp tuyến chung trong MN cắt AB và CD theo 
 thứ tự là E và F (M thuộc (O), N thuộc (O')). Chứng minh:
a)AB = EF; b) EM = FN.
 BÀI 7. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN
1A. a) Chứng minh được 
 B· AC 900 kết hợp
 0
 B· AD C· AE 90 dpcm
b) Chứng minh BAD : EAC 
AD.AE=AB.AC(đpcm)
c) Chứng minh tứ giác OIO’K là hình chữ nhật 
Đường tròn ngoại tiếp OKO' chính là đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ,có đường 
kính là IK mà IK  BC tại I
1B. a) Tương tự 1A
 O· 'MO 900 . Áp dụng hệ thức lượng trong tam 
giác vuông tính được MA = Rr
b) Chứng minh SBCOO' (R r) Rr
c) Chứng minh được 
4.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên 2
 S BC 
 BAC : OMO' BAC 
 SOMO' OO' 
 S .BC 2 4Rr Rr
 S OMO' 
 BAC OO'2 R r
d) Tứ giác OBCO’ là hình thang vuông tại B vầ C có IM là đường trung bình 
 IM  BC M 
 1 1 1
2A. Gọi I là trung điểm AB. Chú ý 
 AI2 OA2 O'A2
Ta tính được AB=24cm
2B.a) Chú ý C· MA D· NA 900 
b) Vẽ OP  MA và O'Q  NA
Chú ý hình thang vuông OPQO’ có EA
 là đường trung bình
3A. Vẽ OP  CA ;O'Q  AD suy ra tứ 
giác OPQO’ là hình thang vuông tại P, Q
a) Kẻ OP;O'Q  CD do CD  MA
và M là trung điểm của OO’ AP=AQ 
 AC=AD
b) i) Chú ý EAF có AB, EG,FI là ba đường cao
ii) Sử dụng CD= 2PQ để lập luận, ta có 
kết luận: CD lớn nhất khi CD POO' 
3B. a) Chỉ ra OI OK IK OI OK (1) và (k) 
luôn cắt nhau
b) Do OI=NK, OK=IM OM=ON
5.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên Mặ khác OMCN là hình chữ nhật OMCN là hình vuông
c) Gọi L KB  MC, P IB  NC OKBI là 
Hình chữ nhật và BNMI là hình vuông
 BLC KOI
 L· BC O· KI B· IK
 mµ B· IK I·BA 900 
 L· BC I·BA 900
 cã L· BC L· BI I·BA 1800
d) Có OMCN là hình vuông cạnh a cố định 
 C cố định và AB luôn đi qua điểm C
4A. Ta có OD= OC. sinB· CD 
 bán kính của đường tròn nhỏ là 3 cm
4B. Kẻ OE  AB;OF  AC 
Đặt AC=a, AM=b, AN=c.
 2 2
 2 a c b 
 r 
 2 2 
 2 2
 2 a c b 
 R 
 2 2 
Ta chứng minh được
 a2 b2 c2 2(R2 r2 ) 
5A. a) 
6.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên KÎ O'H  OM; OK  O'F
cã OH=R-r; O'K =R+r
Mµ OH2 OO'2 MN2 36
 O'K 2 OO'2 EF2 64 
 OH 6 vµ O'K=8
 R=7cm vµ r=1cm
 17 7
b) R= cm vµ r= cm
 2 2
5B . 
KÎ O'H  OA;O'K  OC
TÝnh ®­îc OH=4,OK=8
§Æt CD=x AB=2x
OO'2 64 x2 vµ 
OO'2 16 4x2
 x 4 OO' 80cm
6. a) Chứng minh tứ giác AEIF là hình chữ 
nhật và K là trung điểm AI
 BC 2 BC 2
b) Có IE.IO=IB2 và IF.IO’= IC 2 
 4 4
 2(IE.IO IF.IO')=AB2 AC 2 
c) PK Là đường trung bình của OAI và là trung trực của EA
Ta có
 PEK PAK nªn P· EK P· AK
VËy P· EK 900 ®pcm
d) 
7.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên 2 2
 S ABC BC S IOO'.BC
 ABC : IOO' S ABC 2
 S IOO' OO' OO'
 1 IA2
 Mµ BC=2AI';OO'=2a;S .2a.IA a.IA S 
 OIO' 2 ABC a
 2
 2 R R' 2
 IA R.R' a IA 
 2 
Lớn nhất bằng a khi R=R’
7. a) Gọi I là trung điểm của AB, ta có: OI=OA-IA
b) Ta chứng minh được 
 IC PBD POE
 Mµ OB=BI=IA AC=CD=DE
8. a) (O) và (I) tiếp xúc trong với nhau
b) Tứ giác ADCE là hình thoi 
c) Có 
 CK  AB,AD  DB
 CK PAD mµ CE PAD
 B,K,D thẳng hàng
d)
 H· KD H· DK;I·KB I·BK
 H· KD I·KB H· DK I·BK 900 
 I·KH 900
9. a) Ta có AB = AE + BE = EM + EN
Và CD = FD + FC = NF + NE
 AB + CD = 2EF AB = EF
b) Ta có EM = AB – EB = EF – EN = NF
8.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên 9.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên