Đề cương ôn tập môn Hình học Lớp 9 - Chương II - Bài 2: Đường kính và dây của đường tròn

 BÀI 2. ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CỦA ĐƯỜNG TRÒN
 I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. So sánh độ dài của đường kính và dây
Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính.
2. Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây
 - Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của 
 dây ấy.
 - Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm 
 thì vuông góc vói dây ấy.
3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
 - Trong một đường tròn:
+ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
+ Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
 - Trong hai dây của một đường tròn:
+ Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.
+ Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Tính độ dài đoạn thẳng
Phương pháp giải: Sử dụng các kiến thức sau đây:
1. Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của 
dây ây.
2. Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì 
vuông góc vói dây ây.
3. Dùng định lý Py tago, hệ thức lượng trong tam giác vuông.
1A. Cho đường tròn tâm O, hai dây AB và CD vuông góc với nhau ở M. 
Biết AB = 18 cm, CD = 14 cm, MC =4 cm. Hãy tính khoảng cách từ tâm O đến mỗi dây AB và CD.
1B. Cho đường tròn tâm O bán kính 3 cm và hai dây AB và AC. 
Cho biết AB = 5 cm, AC = 2cm, hãy tính khoảng cách từ O đến mỗi dây. 
2A. Cho đường tròn (O;R) có hai dây AB, CD bằng nhau và vuông góc với nhau tại I. Giả sử IA = 
2 cm,IB = 4 cm. Tính khoảng cách từ tâm O đến mỗi dây.
2B. Cho đường tròn (O) và dây CD. Từ O kẻ tia vuông góc với CD tại M, cắt (O) tại H. Tính bán 
kính R của (O) biết CD = 16 cm và MH = 4cm.
 1.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên 3A. Cho đường tròn tâm O, đường kính AB; dây CD cắt AB tại M.
 Biết MC = 4 cm, MD = 12 cm và B· MD 30. Hãy tính:
 a)Khoảng cách từ O đến CD;
 b)Bán kính của (O).
3B. Cho đường tròn (O; 5 cm). Dây AB và CD song song, có độ dài lần lượt là 8 cm và 6 cm. 
Tính khoảng cách giữa hai dây.
Dạng 2. Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau 
Phương pháp giải: Sử dụng các kiến thức sau đây:
 - Trong một đường tròn:
+ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
+ Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
 - Trong hai dây của một đường tròn:
+ Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.
+ Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.
 - Dùng phương pháp chứng minh hai tam giác bằng nhau.
 - Dùng quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác, quan hệ cạnh huyền và cạnh góc 
 vuông...
4A. Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB và một dây cung CD. Kẻ AE và BF vuông góc với 
CD lần lượt tại E và F. Chứng minh:
 a) CE = DF; b) E và F đều ở ngoài (O).
4B. Cho đường tròn (O), đường kính AB. Kẻ hai dây AC và BD song song.
 Chứng minh AC = BD.
5A. Cho tam giác ABC nhọn và có các đường cao BD, CE. Chứng minh:
 a) Các điểm B, D, C, E cùng thuộc một đường tròn;
 b) BC>DE.
5B. Cho đường tròn (O) có dây cung AB và CD với AB > CD. Giao điểm K của các đường thẳng 
AB và CD nằm ngoài (O). Vẽ đường tròn (O; OK), đường tròn này cắt KA và KC lần lượt tại M 
và N. Chứng minh KM < KN.
III. BÀI TẬP VỂ NHÀ
 6. Cho đường tròn (O) bán kính OA = 11 cm. Điểm M thuộc bán kính AO và cách O 
 2.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên khoảng 7 cm. Qua M kẻ dây CD có độ dài 18 cm. Tính độ dài các đoạn thẳng MC và 
 MD.
 7. Cho đường tròn (O) đường kính AB = 13 cm, dây CD có độ dài 12 cm vuông góc với AB 
 tại H.
 a) Tính độ dài các đoạn thẳng HA, HB.
 b)Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của H trên AC, BC. Tính diện tích tứ giác CMHN.
8. Cho đường tròn (O) có các dây AB = 24 cm, AC = 20 cm, góc B· AC 90 và O nằm trong góc
B· AC . Gọi M là trung điếm của AC. Khoảng cách từ M đến AB bằng 8 cm.
 a) Chứng minh tam giác ABC cân.
 b) Tính bán kính của (O).
 9. Cho tam giác ABC có trực tâm H và nội tiếp đường tròn (O) đường kính AD.
 a) Chứng minh BHCD là hình bình hành.
 b) Kẻ đường kính OI vuông góc BC tại I. Chứng minh Ị, H, D thẳng hàng.
 c) Chứng minh AH = 2OI.
 10. Cho đường tròn (O) có AB là đường kính. Vẽ hai dây AD và BC song song nhau. 
 Chứng minh:
 a) AC = BD; b) CD là đường kính của (O).
 11. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và dây CD. Độ dài dây CD không đổi. 
 Chứng minh trung điểm I của CD thuộc một đường tròn cố định.
 12. Cho tam giác ABC (AB < AC) có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại trực tâm H. Lấy I 
 là trung điểm của BC.
 a) Gọi K là điểm đối xứng của H qua I. Chứng minh tứ giác BHCK là hình bình hành.
 b) Xác định tâm O của đường tròn qua các điểm A, B, K, C.
 c) Chứng minh OI và AH song song.
 d) Chứng minh BE.BA + CD.CA = BC2.
 13. Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O). Điểm M di động thuộc cung BC 
 không chứa A. Gọi D, E lần lượt là các điểm đối xứng với M qua AB, AC. Tìm vị trí của 
 M để độ dài đoạn thẳng DE lớn nhất.
 14. Cho điểm A nằm trên đường tròn (O) có CB là đường kính và AB < AC. Vẽ dây AD 
 vuông góc với BC tại H. Chúng minh:
 3.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên a) Tam giác ABC vuông tại A
 b) H là trưng điểm AD, AC = CD và BC là tia phân giác góc ABD;
 A· BC A· DC
 BÀI 2. ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CỦA ĐƯỜNG TRÒN
1A. a) gọi H và K lần lượt là hình chiếu của O trên AB và CD
Tính được OH = MK = 3cm
OD= OB = 3 10 cm
Từ đó tính được OK = 41 cm
1B. Gọi OH,OK Lần lượt là khoảng cách từ O đến 
AB,AC.
 41
Tính được OH cm và OH = 2 2 cm
 2
2A. a) Gọi OH,OK là khoảng cách từ O đến mỗi dây. 
Ta có: OH = OK = 1cm
b) Tính được R = 10 cm 
2B. Đặt OH = xcm
Ta có OM = x - 4 cm
Áp đụng định lý Pytago ta tìm được x= 10cm
3A. a) Gọi OH là khoảng cách từ O đến
 CD MH = 4cm 
 4 3
Tính được OH cm 
 3
 4.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên 4 39
b) Tính được OD cm 
 3
3B . Gọi HK là đường thẳng qua O và 
vuông góc với AB và CD, 
H AB,K CD Ta có
OK=3cm, OK=4cm
 HK=7cm hoặc HK=1cm 
4A. a) Gọi I là Trung điểm CD
 IC=ID
Xét hình thang AEFB , I là trung điểm EF IE=IF
Từ đó suy ra CE=DF
b) Ta có E· AB và F· BA bù nhau nên có một góc
 tù và một góc nhọn 
Giả sử E· AB 900 EAO có OE > AO =R E ở ngoài đường tròn mà OE=OF nên F cũng 
ở ngoài đường tròn 
4B. Đường thẳng qua O và vuông góc với AC và BD lần lượt tại H và K ( 
H AC,K BD )
Ta có AOH BOK(g.c.g) AK BK AC BD 
5A. a) B,C,D,E cùng thuộc đường tròn đường
 kính BC
b) BC là đường kính, ED dây không qua tâm
 ĐPCM
5B. Tương tự 5A
6 . Kẻ OE  CD,E CD Ta có
 5.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên CO=11cm, CE= 9cm, OE=2 10 cm
OM=7cm ME=3cm
 MC=6cm, MD=12cm; hoặc MD= 6cm, MC= 12cm
7. a) Tính được HA=4cm; HB=9cm
b) Tính được HA=4cm; HB=9cm
 12 13 18 13
c) Tính được HM cm và HN cm 
 13 13
 216 2
Từ đó tính được S cm 
 CMHN 13
8. a) Vẽ MH  AB tại H; CH  AB tại K 
 MH là đường trung bình của 
 CAK AM 10cm 
 1
AH = 6cm AK = 12cm AK AB 
 2
Từ đó chứng minh được ABC cân tại C
b) Ta có CK = 2MH = 16cm và đặt OC = x OK = 16 – x .
Từ đó tính được CO = 12,5cm
9. a) Ta có BD PCH vì cùng vuông
Góc với AB; BH PCD vì cùng vuông
Góc với AC
b) Ta có I là trung điểm của BC I là trung điểm HD
c) Ta có OI là đường trung bình AHD AH 2OI 
10. Học sinh tự CM
 6.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên 11. Ta có I thuộc đường tròn tâm O bán kính 
 CD2 1
R OA2 4OA2 CD2 
 4 2
12. a) BHCK có I là trung điểm hai đường chéo 
b) Ta có ABK, ACK vuông tại B và C nên 
A,B,K,C nằm trên đường tròn đường kính AK.
c) Ta có OI là đường trung bình của AHK OI PAH 
d) Gọi AH cắt BC tại M. Ta có BE.BA = BM.BC
và CA.CD = CM.BC ĐPCM
13. Kẻ
AH  DE t¹i H
Tõ D· AE 2B· AC
 D· AH B· AC
Từ DE=2DH; AD=AM=AE
Suy ra DH=AD.sin D· AH
Từ đó DEmax AM 2R 
14. a) Vì OA=OB=OC 
 ABC vuông tại A
b) HS tự chứng minh
c) Chứng minh
A· BC C· BD
MµC· DH C· BD A· BC C· DH
 7.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên 8.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên