Đề cương ôn tập môn Đại số Lớp 9 - Chương IV - Bài 5: Giải bài toán bằng cách lập phương trình

 BÀI 5. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình:
Bước 1. Lập phương trình
- Chọn ẩn số và đặt điều kiện cho ẩn số.
- Biểu diễn các dữ kiện chưa biết qua ẩn số.
- Lập phương trình biểu thị tương quan giữa ẩn số và các dữ kiện đã biết.
Bước 2. Giải phương trình
Bước 3. Đôi chiếu nghiệm của phương trình với điều kiện của ẩn số (nếu có) và với đề bài 
để đưa ra kết luận.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN 
Dạng 1. Bài toán về năng suất lao động
Phương pháp giải: Năng suất được tính bằng ti số giữa Khối lượng công việc và Thời gian 
hoàn thành.
1A. Một phân xưởng theo kế hoạch phải dệt 3000 tấm thảm. Trong 8 ngày đầu họ đã thực 
hiện được đúng kế hoạch, nhũng ngày còn lại họ đã dệt vượt mức mỗi ngày 10 tấm, nên đã 
hoàn thành kế hoạch trước 2 ngày. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày phân xưởng phải dệt bao 
nhiêu tấm?
1B. Tháng đầu hai tô sản xuất làm được 720 dụng cụ. Sang tháng 2 tổ 1 làm vượt mức 12%, 
tổ 2 vượt mức 15% nên cả hai tổ đã làm được 819 dụng cụ. Hỏi trong tháng đầu mỗi tổ làm 
được bao nhiêu dụng cụ?
Dạng 2. Toán về công việc làm chung, làm riêng .
Phương pháp giải: Ta chú ý rằng:
- Thường coi khối lượng công việc là 1 đơn vị.
- Năng suất 1 + Năng suất 2 = Tổng năng suất.
2A. Hai tổ sản xuất cùng làm chung một công việc thì hoàn thành trong 2 giờ. Hỏi nếu làm 
riêng một mình thì mỗi tổ cần bao nhiêu thời gian mới hoàn thành công việc, biết khi làm 
riêng tổ 1 hoàn thành sớm hơn tổ 2 là 3 giờ?
1.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên 2B. Hai nguời cùng làm chung một công việc trong 24 giờ thì xong. Năng suất người thự 
nhất bằng năng suất người thứ hai. Hỏi nếu mỗi người làm công việc đó một mình thì 
hoàn thành sau bao lâu?
3A. Hai công nhân nếu làm chung thì trong 12 giờ sẽ hoàn thành công việc. Họ làm chung 
trong 4 giờ thì người thứ nhất chuyên đi làm việc khác, người thứ hai làm nốt công việc 
còn lại trong 10 giờ thì xong. Hỏi người thứ hai làm một mình bao lâu thì hoàn thành công 
việc?
3B. Hai người cùng làm chung một công việc thì 15 giờ sẽ xong. Hai người làm được 8 giờ 
thì người thứ nhât được điều đi làm công việc khác, người thứ hai tiếp tục làm việc trong 
21 giờ nữa thì xong công việc. Hỏi nếu làm một mình thì môi người phải làm trong bao lâu 
mói xong công việc?
Dạng 3. Toán về quan hệ các số
4A. Tìm hai số dương biết rằng hai lần số lớn lớn hơn ba lần số bé là 9 và hiệu các bình 
phương của chúng bằng 119.
4B. Tìm 2 số biết tổng của chúng là 17 và tổng lập phương của chúng bằng 1241.
Dạng 4. Toán có nội dung hình học
5A. Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 280m. Người ta làm một lối đi xung quanh 
vườn (thuộc đất của vườn) rộng 2ra, diện tích còn lại của khu vườn là 4256m2. Tính các 
kích thước của khu vườn.
5B. Một thửa ruộng hình chữ nhật, nếu tăng chiều dài thêm 2m và chiều rộng 3m thì diện 
tích tăng 100m2. Nếu cùng giảm chiều dài và chiều rộng 2m thì diện tích giảm 68m2. Tính 
diện tích thửa ruộng đó.
Dạng 5. Toán chuyển động 
Phương pháp giải: Chú ý rằng:
 Quãng đường = Vận tốc x Thời gian.
6A. Một người đi xe máy từ A đểh B với vận tốc 25km/h. Lúc về người đó đi với vận tốc 
30km/h nên thời gian về ít hơn thời gian đi là 20 phút. Tính quãng đường AB.
2.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên 6B. Lúc 6 giờ, một ôtô xuất phát từ A đến B với vận tốc trung bình 40km/h. Khi đến B, 
người lái xe làm nhiệm vụ giao nhận hàng trong 30 phút rổi cho xe quay trở về A với vận 
tốc trung bình 30km/h. Tính quãng đường AB biết rằng ôtô về đến A lúc 10 giờ cùng ngày.
7A. Hai xe máy khởi hành lúc 7 giờ sáng từ A để đến B. Xe máy thứ nhât chạy với vận tốc 
30km/h, xe máy thứ hai chạy với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe máy thứ nhất là 6km/h. 
Trên đường đi xe thứ hai dừng lại nghỉ 40 phút rồi lại tiếp tục chạy với vận tốc cũ. Tính 
chiều dài quãng đường AB, biết cả hai xe đến B cùng lúc.
7B. Hai người đi xe đạp cùng lúc, ngược chiều nhau từ hai địa điểm A và B cách nhau 
42km và gặp nhau sau 2 giờ. Tính vận tốc của mỗi người, biết rằng người đi từ A mỗi giờ 
đi nhanh hơn người đi từ B là 3km.
8A. Lúc 7 giờ sáng, một người đi xe đạp khởi hành từ A với vận tốc 10km/h. Sau đó lúc 8 
giờ 40 phút, một người khác đi xe máy từ A đuổi theo với vận tốíc 30km/h. Hỏi hai người 
gặp nhau lúc mây giờ?
8B. Một đoàn tàu hỏa từ Hà Nội đi Thành phố Hồ Chí Minh, 1 giờ 48 phút sau, một đoàn 
tàu khác khởi hành từ Nam Định cũng đi Thành phố Hồ Chí Minh với vận tốc nhỏ hơn 
vận tốc của đoàn tàu thứ nhất là 5km/h. Hai đoàn tàu gặp nhau (tại 1 ga nào đó) sau 4 giờ 
48 phút kể từ khi đoàn tàu thứ nhất khởi hành. Tính vận tốc của mỗi đoàn tàu, biết rằng 
Ga Nam Định nằm trên đường từ Hà Nội đi Thành phố Hồ Chí Minh và cách Ga Hà Nội 
87km.
Dạng 6. Toán về chuyên động trên dòng nước
Phương pháp giải: Ta có chú ý sau:
- Vận tốc tàu khi xuôi dòng = Vận tốc của tàu khi nước yên lặng 
+ Vận tốc dòng nước;
-+ Vận tốc tàu khi ngược dòng = Vận tốc của tàu khi nước yên lặng - Vận tốc dòng nước.
9A. Một canô tuần tra đi xuôi dòng từ A đến B hết 1 giờ 20 phút và ngược dòng tù B về A 
hết 2 giờ. Tính vận tốic riêng của canô, biết vận tốc dòng nước là 3km/h.
9B. Một canô chạy xuôi dòng từ A đến B rồi chạy ngược dòng từ B đến A hết tâ't cả 4 giờ. 
Tính vận tốíc canô khi nước yên lặng, biết rằng quãng sông AB dài 30km và vận tôc dòng 
nước là 4km/giờ. 
Dạng 7. Các dạng khác
3.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên 10A. Hai lớp 8A và 8B có tổng cộng 94 học sinh biết rằng 25% số học sinh 8A và 20% số 
học sinh 8B đạt loại giỏi. Tổng số học sinh giỏi của hai lớp là 21. Tính số học sinh của mỗi 
lớp?
10B. Tìm số học sinh của hai lớp 8A và 8B, biết rằng nếu chuyển 3 học sinh từ lớp 8A 
sang lớp 8B thì số học sinh hai lớp bằng nhau, nêu chuyển 5 học sinh từ lớp 8B sang lớp 8A 
 11
thì số học sinh 8B bằng số học sinh lớp 8A?
 19
III. BÀI TẬP VỀ NHÀ
 12
11. Hai người cùng làm chung một công việc trong giờ thì xong. Nếu mỗi người làm 
 5
một mình thì người thứ nhất hoàn thành công việc trong ít hơn người thứ hai là 2 giờ. Hỏi 
nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu thời gian để xong công việc?
12. Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được 600 tấn thóc. Năm nay, 
đơn vị thứ nhất làm vượt mức 10%, đơn vị thứ hai làm vượt mức 20% so với năm ngoái. 
Do đó, cả hai đơn vị thu hoạch được 685 tấn thóc. Hỏi năm ngoái, mỗi đơn vị đã thu hoạch 
được bao nhiêu tấn thóc?
13. Một tổ sản xuất phải làm được 600 sản phẩm trong một thời gian quy định với năng 
suất quy định. Sau khi làm xong 400 sản phẩm tổ sản xuất tăng năng suất lao động, mỗi 
ngày làm tăng thêm 10 sản phẩm so với quy định. Vì vậy mà công việc được hoàn thành 
sóm hơn quy định một ngày. Tính xem, theo quy định, mỗi ngày tổ sản xuất phải làm bao 
nhiêu sản phẩm. 
14. Một tam giác vuông có chu vi là 30cm, độ dài hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 7cm. 
Tính độ dài các cạnh của tam giác. 
15. Tìm tất cả các số tự nhiên có hai chữ số biết rằng tổng các chữ số của nó bằng 5 và tổng 
các bình phương hai chữ số của nó bằng 13. 16. Quãng đường một canô đi xuôi dòng trong 
4 giờ bằng 2,4 lần quãng đường một canô đi ngược dòng trong 2 giờ. Hỏi vận tốc canô khi 
xuôi dòng, biết rằng vận tốc canô khi nước yên tĩnh là 15km/h.
17. Một ôtô chuyển động đều với vận tốc đã định để đi hết quãng đường dài 120km trong 
một thời gian đã định. Đi được một nửa quãng đường xe nghỉ 3 phút nên để đến noi đúng 
giờ, xe phải tăng vận tốc thêm 2km/h trên nừa quãng đường còn lại. Tính thời gian xe lăn 
bánh trên đường.
18. Hai sân bay Hà Nội và Đà Nang cách nhau 600km. Một máy bay cánh quạt từ Đà Nang 
đi Hà Nội. Sau đó 10 phút, một máy bay phản lực từ Hà Nội bay tới Đà Nằng với vận tốc 
4.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên lớn hơn máy bay cánh quạt là 300km/h. Máy bay phản lực đến Đà Nang trước khi máy bay 
cánh quạt đến Hà Nội 10 phút. Tính vận tốc của mỗi máy bay.
19. Người ta trộn 8 gam chất lỏng này với 6 gam chất lòng khác có khối lượng riêng nhỏ 
hơn là 0,2g/cm3 để được một chất lỏng có khối lượng riêng là 0,7g/cm3. Tìm khối lượng 
riêng của mỗi chất lỏng.
 BÀI 5. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH
1A. Gọi số tấm thảm phân xưởng phải dệt trong một ngày theo kế hoạch là x (ĐK: x N * )
 3000 3000 8x
Theo bài ra ta có phương trình: 2 8 
 x x 10
Giải phương trình ta được x = 100 (TMĐK)
Kết luận
1B. Tương tự 1A, tháng đầu tổ 1 và tổ 2 lần lượt làm được 300 và 420 sản phẩm.
 1
2A. Gọi năng suất của tổ 1 là: x ( x > 0, phần công việc/giờ); Năng suất của tổ 2 là x 
 2
(phần công việc/giờ)
 1
Thời gian tổ 1 làm 1 mình xong công việc là: giờ;
 x
 1
Thời gian tổ 2 làm 1 mình xong công việc là; giờ;
 1
 x
 2
 1 1
Theo bài ra có phương trình: 3 .
 1
 x x
 2
 1
Giải phương trình ta được x 
 3
Vậy thời gian tổ 1, tổ 2 hoàn thành công việc 1 mình lần lượt là 3 giờ và 6 giờ.
2B. Người thứ nhất hoàn thành vông việc một mình trong 40 giờ.
Người thứ hai hoàn thành vông việc một mình trong 60 giờ.
3A. Người thứ hai làm một mình xong công việc trong 15 giờ.
3B. Nếu làm một mình, người thứ nhất làm xong công việc trong 22 giờ 30 phút, người thứ 
hai làm trong 45 giờ.
5.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên 2a 9
4A. Gọi số lớn là a; số bé là 
 3
 2
 2 2a 9 
Ta có phương trình: a 119 
 3 
Giải phương trình ta được a = 12.
Vậy số lớn là 12, số bé là 5
4B. Gọi số thứ nhất là a, số thứ hai là 17 - a.
 3
Theo đề bài ta có phương trình: a3 17 a 1241 
Giải phương trình ta có = 9 hoặc a = 8
Vậy số lớn là 9, số bé là 8.
5A. Chiều rộng khu vườn là 60m; Chiều dài khu vườn là 80m.
5B. Diện tích thửa ruộng là 308m2.
6A. Gọi thời gian người đó đi từ A đến B là t giờ.
 1
Vì thời gian về ít hơn thời gian đi là 20 phút nên thời gian về là t (giờ). Từ đó ta có 
 3
 1 
phương trình 25t 30 t 
 3 
Giải phương trình ta được t = 2 (giờ). Vậy quãng đường AB là 50km.
6B. Quãng đường AB là 60km
7A. Gọi quãng đường AB là x km ( x > 30)
 x x 2
Thời gian xe máy thứ nhất chạy là giờ, thời gian xe máy thứ hai chạy là (giờ).
 30 36 3
 x x 2
Theo đề bài ta có phương trình: 
 30 36 3
Giải phương trình ta được x = 120
Vậy quãng đường AB là 120km
7B. Vận tốc người đi từ A đến B là 12km/h và của người đi từ B đến A là 9km/h.
8A. Gọi thời điểm hai người gặp nhau là lúc x(giờ) (x > 0);
6.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên 26 
Theo bài ra ta có phương trình: 10 x 7 30 x ;
 3 
Giải phương trình ta được x = 9, 5; hay lúc 9 giờ 30 phút.
hai người gặp nhau lúc 9 giờ 30 phút.
8B. Đoàn tàu từ Hà Nội đi thành phố Hồ Chí Minh với vận tốc 40km/h; đoàn tàu từ Nam 
Định đi thành phố Hồ Chí Minh với vận tốc 35km/h.
9A. Gọi vận tốc riêng của canô là v (km/h). Theo đề bài ta có phương trình: 
 4
 v 3 2 v 3 
 3
Giải phương trình ta được v = 15 (km/h)
9B. Vận tốc canô khi nước yên lặng là 16km/h.
10A. Gọi số học sinh lớp 8A là x ( x> 21); Số học sinh lớp 8A là 94 - x. Theo đề bài ta có 
 25 20
phương trình: x 94 x 21 
 100 100
Giải phương trình ta có x = 44.
Vậy số học sinh lớp 8A là 44 em, 8B là 50 em.
10B. Số học sinh lớp 8A là 33 em, 8B là 27 em.
11. Người thứ nhất làm một mìnhtrong 4 giờ thì xong công việc;
Người thứ hai làm một mình trong 6 giờ thì xong công việc.
12. Đơn vị 1 thu hoạch được 350 tấn thóc; đơn vị 2 thu hoạch được 250 tấn thóc.
13. Theo quy định mỗi ngày tổ sản xuất phải làm 40 sản phẩm.
14. Độ dài các cạnh của tam giác vuông lần lượt là 5cm, 12cm và 13cm.
15. Đáp số: 23 và 32
 180
16. Vận tốc canoo khi xuôi dòng là km / h 
 11
17. Thời gian xe lăn bánh trên đường là 48 giờ.
18. Vận tốc của máy bay cánh quả là 600km/h; Vận tốc của maysbay phản lực là 900km/h.
19. Khối lượng riêng hai chất lần lượt là 0,8g/cm3; 0,6g/cm3.
7.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên 8.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên