Đề cương ôn tập môn Đại số Lớp 9 - Chương IV - Bài 3: Hệ thức vi-ét và ứng dụng

 BÀI 3. HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Hệ thức Vi-ét
 2
Cho phương trình bậc hai ax +bx + c = 0 (a 0). Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình 
thì:
 b
 S x x 
 1 2 a
 . 
 c
 P x .x 
 1 2 a
2. Ứng dụng của hệ thức Vi-ét
a) Xét phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).
- Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x1 = 1, nghiệm còn lại là 
 c
 x . 
 2 a
 c
- Nếu a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x = -1, nghiệm còn lại là x . 
 1 2 a
b) Tìm hai số biết tổng và tích của chúng: Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số 
đó là hai nghiệm của phương trình:
 X2 - SX + P = 0.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Không giải phương trình, tính giá trị của biêu thức đối xứng giữa các nghiệm
Phương pháp giải: Ta thực hiện theo các bước sau:
 a 0
Bước 1. Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm: . Từ đó áp dụng hệ thức Vi-ét ta 
 0
có:
 b c
 S x x và P x .x .
 1 2 a 1 2 a
Bước 2. Biến đổi biểu thức đối xứng giữa các nghiệm của đề bài theo tổng x1 + x2 và tích x1x2 
sau đó áp dụng Bước 1.
1.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên Chú ý: Một số biểu thức đối xứng giữa các nghiệm thường gặp là:
 2 2 2 2
 A x1 x2 (x1 x2 ) 2x1x2 S 2P; 
 3 3 3 3
 B x1 x2 (x1 x2 ) 3x1x2 (x1 x2 ) S 3PS; 
 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2
 C x1 x2 (x1 x2 ) 2x1 x2 (S 2P) 2P ;
 2 2
 D x1 x2 (x1 x2 ) 4x1x2 S 4P. 
 2
1A. Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình x - 5x + 3 = 0. Không giải phương trình, hãy tính 
giá trị của các biểu thức:
 2 2 3 3
a) A x1 x2 ; b) B x1 x2 ; 
 2
1B. Cho phưoug trình: -3x - 5x-2 = 0. Với x1,x2 là nghiệm của phương trình, không giải 
phương trình, hãy tính:
 1 1 1 1
a) M x1 x2 ; b) N ; 
 x1 x2 x1 3 x2 3
 x1 3 x2 3 x1 x2
c) P 2 2 ; d) Q . 
 x1 x2 x2 2 x1 2
2A. Cho phương trình x2 - 2(m - 2)x + 2m -5 = 0 (ra là tham số).
a) Tìm điều kiện của ra để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,x2.
b) Với ra tìm được ở trên, tìm biểu thức liên hệ giữa x1,x2 không phụ thuộc vào ra.
2B. Cho phương trình x2 +(m + 2)x + 2m = 0. Với giá trị nào của tham số m thì phương trình 
có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2 ? Khi đó, hãy tìm biểu thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ 
thuộc vào ra.
Dạng 2. Giải phương trình bằng cách nhấm nghiệm
Phương pháp giải: Sử dụng ứng dụng của hệ thức Vi-ét.
3A. Xét tổng a + b + c hoặc a - b + c rồi tính nhẩm các nghiệm của các phương trình sau: 
a) 15x2 -17x + 2 = 0;
b) 1230x2 - 4x - 1234 = 0;
c) (2 - 3 )x2 + 2 3 x - (2 + 3 ) = 0;
d) 5x2 - (2 - 5 )x - 2 = 0.
2.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên 3B. Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
a) 7x2 -9x + 2 = 0; b) 23x2 -9x-32 = 0;
c) 1975x2 + 4x - 1979 = 0; d) 31, 1x2 - 50,9x + 19,8 = 0.
4A. Cho phương trình (ra - 2)x2 - (2m + 5)x + ra + 7 = 0 với tham số ra.
a) Chứng minh phương trình luôn có một nghiệm không phụ thuộc vào tham số m.
b) Tìm các nghiệm của phương trình đã cho theo tham số ra.
4B. Cho phương trình (2m - 1)x2 + (m - 3)x – 6m - 2 = 0.
a) Chứng minh phương trình đã cho luôn có nghiệm x = -2.
b) Tìm các nghiệm của phương trình đã cho theo tham số ra.
5A. Cho phương trình mx2 -3(m + l)x + m2 - 13m - 4 = 0 (ra là tham số). Tìm các giá trị của ra 
để phương trình có một nghiệm là x = -2. Tìm nghiệm còn lại.
5B. Tìm giá trị của tham số ra để phương trình x2 +3mx - 108 = 0 (ra là tham số) có một 
nghiệm là 6. Tìm nghiệm còn lại.
Dạng 3. Tìm hai số khi biết tổng và tích
Phương pháp giải: Để tìm hai số x, y khi biết tổng S = x + y và tích P = x.y, ta làm như sau:
 2
Bước 1. Giải phương trình X -SX+P = 0 để tìm các nghiệm X 1,X2.
Bước 2. Khi đó các số x, y cần tìm là x = X1,y = X2 hoặc x = X2, y = X1.
6A. Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:
a) u + v = 15,uv = 36; b) u2 + v2 = 13,uv = 6.
6B. Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:
a) u + v = 4,uv = 7; b) u + v = -12,uv - 20.
7A. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là 2 + 3 và 2 - 3 .
7B. Tìm phương trình bậc hai biết nó nhận 7 và -11 là nghiệm.
8A. Cho phương trình x2 + 5x - 3m = 0 (m là tham số).
a) Tìm tham số m để phương trình có hai nghiệm là x1 và x2.
3.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên b) Với điều kiện m tìm được ở câu a), hãy lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm là 
 2 2
 2 và 2 .
 x1 x2
8B. Cho phương trình 3x2 +5x - m = 0. Với giá trị nào của tham số m, phương trình có hai 
 x1 x2
nghiệm là x1 và x2 ? Khi đó, hãy viết phương trình bậc hai có hai nghiệm là và . 
 x2 1 x1 1
Dạng 4. Phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử
 2
Phương pháp giải: Nếu tam thức bậc hai ax + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x1; x2 thì tam 
thức được phân tích thành nhân tử: 
 2
 ax + bx + c - a(x – x1 )(x – x2).
9A. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x2 - 7x + 6; b) 30x2 - 4x - 34;
c) x - 5 x + 6; d) 2x - 5 x + 3.
9B. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 4x2 - 5x +1; b) 21x2 - 5x - 26;
c)4x - 7 x +3; d) 12x- 5 x -7.
Dạng 5. Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai 
Phương pháp giải: Xét phương trình ax2 +bx + c - 0 ( a ≠0). Khi đó: 1. Phương trình có hai 
nghiệm trái dấu p < 0.
 0
2. Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu . 
 P 0
 0
3. Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt P 0.
 S 0
 0
4. Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt P 0.
 S 0
4.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên 5. Phương trình có hai nghiệm trái dâ'u mà nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm 
 P 0
dương .
 S 0
Chú ý: Phương trình có hai nghiệm phân biệt ∆ > 0; Phương trình có hai nghiệm ∆ > 0.
10A. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình:
a) x2 -2(m – 1)x + ra +1 = 0 có hai nghiệm phân biệt trái dấu;
b) x2 - 8x + 2m + 6 = 0 có hai nghiệm phân biệt;
c) x2 - 2(m - 3)x + 8 – 4m = 0 có hai nghiệm phân biệt âm;
d) x2 - 6x + 2m + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dương;
e) x2 - 2(m- 1)x - 3 - ra = 0 có đúng một nghiệm dương.
1OB. Tìm các giá trị của tham số ra để phương trình:
a) 2xz - 3(m + 1)x + m2 - ra - 2 = 0 có hai nghiệm trái dấu;
b) 3mx2 + 2(2m +l)x + m = 0 có hai nghiệm âm;
c) x2 + mx+m - 1 = 0 có hai nghiệm lớn hơn m;
d) mx2 - 2(m - 2)x+ 3(ra - 2)= 0 có hai nghiệm cùng dâu.
Dạng 6. Xác định điều kiện của tham số để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn hệ 
thức cho trước
Phương pháp giải: Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1. Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm ∆ ≥ 0.
Bước 2. Từ hệ thức đã cho và hệ thức Vi-ét, tìm được điều kiện của tham số.
Bước 3. Kiểm tra điều kiện của tham số xem có thỏa mãn điều kiện ở Bước 1 hay không rồi 
kết luận.
11A. Cho phương trình x2 - 5x + m + 4 = 0. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình có 
2 nghiệm phân biệt x1, x2 thòa mãn:
a) |x1| + |x2| = 4; b)3x1 + 4x2=6;
 x1 x2 2 
c) 3; = -3; d) x1(1 - 3x ) + x (1 - 3x1) = m - 23.
 x2 x1
5.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên 11B. Cho phuơng trình x2 -mx-m-1 = 0 (m là tham số). Tìm các giá trị của tham số m để 
phương trình:
a) Có một nghiệm bằng 5. Tìm nghiệm còn lại.
b) Có hai nghiệm âm phân biệt;
c) Có hai nghiệm trái dấu, trong đó nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương;
d) Có hai nghiệm cùng dấu;
 3 3
e) Có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn: x1 x2 1; 
g) Có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn: |x1 -x,| ≥ 3.
III. BÀI TẬP VỂ NHÀ
 2 
12. Cho phương trình: -3x + x + l = 0. Với x1, x2 là nghiệm của phương trình, không giải 
phương trình, hãy tính:
 2 2 2 2 2 2
a) A x1 x2 ; b) B ;
 x1 x2 x1 3 x2 3
 2x1 5 2x2 5 x1 1 x2 1
c) B ; d) D 4 4 .
 x1 x2 x1 x2
13. Tính nhẩm các nghiệm của các phương trình:
a) 16x - 17x + l = 0; c) 2x2 - 40x + 38 = 0;
b) 2x2 - 4x - 6 = 0; d) 1230x2 -5x - 1235 = 0.
14. Tìm hai số u, v biết rằng:
a) u + v = -8, uv = -105; b) u + v = 9, uv = -90.
15. Cho phương trình x2+ (4m + 1)x + 2(m - 4) = 0. Tìm giá trị của tham số ra để phương 
trình có hai nghiệm x1, x2 và:
a) Thoả mãn điều kiện x2 - x1 =17;
 2
b) Biểu thức A = (x1 - x2 ) có giá trị nhỏ nhất;
c) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ vào ra.
16. Cho phương trình bậc hai: (m + 2)x2 - 2(m + 1)x + m - 4 = 0. Tìm các giá trị của tham số ra 
để phương trình:
6.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên a) Có 2 nghiệm trái dấu;
b) Có 2 nghiệm dương phân biệt;
c) Có 2 nghiệm trái dấu trong đó nghiệm dương nhỏ hơn giá trị tuyệt đối của nghiệm âm;
d) Có 2 nghiệm x1,x2 thỏa mãn: 3(x 1 +x 2) = 5x1,x2.
17. Cho phương trình: x2 - (2m + l)x + m2 + m - 6 = 0 (ra là tham số).
a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Tìm các giá trị của tham số ra để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt.
c) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 
 2 2
 x1 x2 .
d) Tìm các giá trị của ra để phương trình có 2 nghiệm x 1 ,x 2 thỏa mãn:
 3 3
 x1 x2 19. 
18. Cho phương trình: x2 – 2 (m - 2)x + 2m - 5 = 0 (ra là tham số).
a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi ra.
b) Gọi x 1 , x 2 là 2 nghiệm của phương trình. Tìm ra để x 1 ,x 2 thỏa mãn: x 1 (1 – x 2 ) + x2 (1 – 
x1) < 4.
 BÀI 3. HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
1A. Ta có 13 0 PT đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2
 x1 x2 5
Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có 
 x1.x2 3
 2 2 2 2
a) Ta có A x1 x2 (x1 x2 ) 2x1x2 5 2.3 19 
 3 3 3
b) Ta có C x1 x2 (x1 x2 ) 3x1x2 (x1 x2 ) 80
 1 1 x4 x4 (x2 x2 )2 2(x x )2 343
c) Ta có D 1 2 1 2 1 2 
 x4 x4 4 (x x )4 81
 1 2 x1.x2 1 2
 2
d) Ta có E x1 x2 x1 x2 4x1x2 13 
1B. Tương tự 1A
7.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên 25 13
a) Ta có M b) Ta có N 
 6 14
 49 17
c) Ta có P d) Ta có Q 
 4 12
2A. a) Ta có ' (m 3)2 0, m 
 Phương trình có hai nghiệm x1, x2 với mọi m
 x1 x2 2m 4
b) Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có 
 x1.x1 2m 5
Biểu thức liên hệ giữa x1 , x2 không phụ thuộc vào m là: x1 + x2 x1x2 1
2B. Tương tự 2A
Phương trình có hai nghiệm x1x2 với mọi m
Biểu thức liên hệ giữa x1 , x2 không phụ thuộc vào m là: 2 x1 x2 x1x2 4 
 2
3A. a) Ta có a b c 15 17 2 0 x 1, x 
 1 2 15
 1234
b) Ta có a b c 0 x 1, x 
 1 2 1230
c) Ta có a b c 0 x1 1, x2 7 4 3
 2
d) Ta có a b c 0 x 1, x 
 1 2 5
3B.Tương tự 3A
 2 32
a) Ta có x 1, x b) Ta có x 1, x 
 1 2 7 1 2 23
 1979 198
c) Ta có x 1, x d) Ta có x 1, x 
 1 2 1975 1 2 311
4A. a) Ta thấy a b c (m 2) ( 2m 5) m 7 0 Phương trình luôn có nghiệm x = 1 
không phụ thuộc vào m.
b) Với m = 2: Phương trình chỉ có nghiệm x = 1.
 m 7
Với m 2 : Phương trình có hai nghiệm x = 1 và x 
 m 2
8.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên 2
4B. a) Thay x = -2 vào phương trình đã cho, ta có 2m 1 2 m 3 2 6m 2 0 
(luôn đúng) ĐPCM.
 1
b) Với m : Phương trình chỉ có nghiệm x = -2.
 2
 1 3m 1
Với m : Phương trình có hai nghiệm x 2; 
 2 2m 1
5A. Thay x = -2 vào phương trình ta tìm được m = 1 hoặc m = 2
 2 x 8
* Với m = 1, ta có: x 6x 16 0 
 x 2
 13
 x 
* Với m = 2, ta có: 2x2 9x 26 0 2 
 x 2
5B. Tương tự 5A. Tính được m = 4; x2 = -18.
6A. a) Ta có u,v là hai nghiệm của phương trình sau
 2 X 12
 X 15X 36 0 (u,v) 12;3 , 3;12  
 X 3
 2 2 2 u v 5
b) Ta có u v u v 2uv 13 2.6 25 
 u v 5
* Với u v 5 ta có u,v là hai nghiệm của phương trình sau: 
 2 X 2
 X 5X 6 0 
 X 3
Vậy u,v 2;3 , 3;2 , 2; 3 , 3; 2  
6B. Tương tự 6A
a) Không tồn tại u,v thỏa mãn vì 42 - 4.7 = -12 < 0.
b) Tìm được u,v 2; 10 , 10; 2  
7A. Ta có 2 3 2 3 4 và 2 3 2 3 1 
Do đó 2 3 và 2 3 là nghiệm của phương trình sau: X2 - 4X + 1 = 0
9.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên 7B. Tương tự 7A. Tìm được phương trình X2 + 4X -77 = 0.
 25
8A. a) Ta có 25 12m 0 . Tìm được m 
 12
 2 2
 2 2 2 x1 x2 50 12m
b) Ta có S 
 x2 x2 2 9m2
 1 2 x1x2 
 2 2 4 9 25 2 2
Và P . . Với ĐK 0 m thì ta có và là hai nghiệm của 
 x2 x2 2 9m2 12 x2 x2
 1 2 x1x2 1 2
 50 12 4
phương trình bậc hai X 2 X 0 ha :9m2 X 2 2(6m 25)X 4 0. 
 9m2 9m2
8B. Tương tự 8A
 25 10 6m m
Điều kiện m . Phương trình tìm được là X 2 X 0 (Điều kiện: 
 12 3m 6 m 2
 25
 2 m )
 12
9A. a) Ta có x2 - 7x + 6 = (x - 1) (x - 6)
 17 
b) Ta có 30x2 - 4x - 34 = 30 x 1 x 
 15 
c) Ta có x 5 x 6 x 2 x 3 
 3 
d) Ta có 2x 5 x 3 2 x 1 x 
 2 
9B. Tương tự 9A
 2 1 
a) Ta có 4x 5x 1 4 x 1 x 
 4 
 2 26 
b) Ta có 21x 5x 26 21 x 1 x 
 21 
 3 
c) Ta có 4x 7 x 3 4 x 1 x 
 4 
 7 
d) Ta có 12x 5 x 7 12 x 1 x 
 12 
10A. a) Phương trình có 2 nghiệm trái dấu ac 0 m 1 
10.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên