Đề cương ôn tập môn Đại số Lớp 9 - Chương IV - Bài 2: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

 BÀI 2. CÔNG THỨC NGHIỆM 
 CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Phương trình bậc hai một ân
- Phương trình bậc hai một ẩn (hay còn gọi là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng:
 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
trong đó a, b, c là các so thực cho trước, x là ẩn số.
- Giải phương trình bậc hai một ẩn là đi tìm tập nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn đó.
2. thức nghiệm của phương trình bậc hai
Trường hợp 1. Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm.
Trường hợp 2. Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép:
 b
 x x .
 1 2 2a
Trường hợp 3. Nếu A > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
 b 
 x .
 1,2 2a
3. Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai
Xét phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) với b = 2b'. Gọi biệt thức A' = b'2 - ac.
Trường hợp 1. Nếu A' < 0 thì phương trình vô nghiệm.
Trường hợp 2. Nếu A' = 0 thì phương trình có nghiệm kép:
 b'
 x x .
 1 2 a
Trưòmg hợp 3. Nếu ∆' > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
 b' '
 x .
 1,2 a
Chú ý: Trong trường hợp hệ số b có dạng 2b' ta nên sử dụng để giải phương trình sẽ cho lời 
giải ngắn gọn hơn.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
1.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên Dạng 1. Không dùng công thức nghiệm, giải phương tri bậc hai một ẩn cho trước
Phương pháp giải: Ta có thế sử dụng một trong các cách sau:
Cách 1. Đưa phương trình đã cho về dạng tích.
Cách 2. Đưa phương trình đã cho về phương trình mà vế trái một bình phương còn vế phải 
là một hằng số.
1A. Giải các phương trình:
a) 5x2 -7x = 0; b)-3x 2 +9 = 0;
c) x2 -6x+ 5 = 0; d) 3x2 + 12x + 1 = 0.
1B. Giải các phương trình:
 3 7
a) 3x2 6x 0; b) x2 0; 
 5 2
c) x2 – x – 9 = 0; d) 3x2 + 6x + 5 = 0.
2A. Với giá trị nào của tham số m thì phương trình 4x2 + m2x + 4m = 0 có nghiệm x = 1 ?
2B. Cho phương trình 4mx2 - x - 10m2 = 0. Tìm các giá trị cua tham số m để phương trình có 
nghiệm x = 2.
Dạng 2. Giải phương trình bậc hai bằng cách sử dụng công thức nghiệm, công thức 
nghiệm thu gọn:
Phương pháp giải: Sử dụng công thức nghiệm, công thức nghiệm thu gọn của phương trình 
bậc hai để giải.
3A. Xác định hệ số a,b,c; Tính biệt thức ∆ (hoặc ∆' nếu b = 2b') rồi tìm nghiệm của các 
phương trình: 
a) 2x2 -3x-5 = 0; b) x2 - 6x + 8 = 0;
c) 9x2 - 12x + 4 = 0; d) -3x2 + 4x - 4 = 0.
3B. Xác định hệ số a,b,c; Tính biệt thức A ( hoặc A'nếu b = 2b') rồi tìm nghiệm của các 
phương trình:
a) x2 – x -11 = 0 b) x2 - 4x + 4 = 0; 
c) -5x2 – 4x + 1 = 0; d) -2x2 + x - 3 = 0
4A. Giải các phương trình sau:
2.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên a) x2 + 5x -1 = 0 b) 2x2 - 2 2x + 1 = 0; 
 2
c) 3x (1 3)x 1 0; d) -3x2 + 4 6x + 4 = 0.
4B. Giải các phương trình sau: 
a) 2x2 + 2 11x -7 = 0; b) 152x2 - 5x +1 = 0; 
c) x2 - (2 + 3 )x + 2 3 = 0; d) 3x2 - 2 3x + 1 = 0.
Dạng 3. Sử dụng công thức nghiệm, xác định sô nghiệm của phương trình dạng bậc hai
Phương pháp giải: Xét phương trình dạng bậc hai:
 ax2 + bx + c = 0.
 a 0
1. Phương trình có hai nghiệm kép .
 0
 a 0
2. Phương trình có hai nghiệm phân biệt .
 0
3. Phương trình có đúng một nghiệm a 0,b 0. 
 a 0,b 0,c 0
4. Phương trình vô nghiệm . 
 a 0, 0
Chú ý: Nếu b = 2b' ta có thể thay điều kiện của ∆ tương ứng bằng ∆’.
5A. Cho phương trình mx2 -2(m-1)x + m-3 = 0 (m là tham số).
Tìm các giá trị của m để phương trình:
a) Có hai nghiệm phân biệt; 
c) Vô nghiệm; b) Có nghiệm kép; 
e) Có nghiệm. d) Có đúng một nghiệm;
5B. Cho phương trình (m - 2)x2 - 2(m + 1)x + m = 0 (m là tham số).
Tìm các giá trị của ra để phương trình:
a) Có hai nghiệm phân biệt; b) Có nghiệm kép; 
c) Vô nghiệm; d) Có đúng một nghiệm;
e) Có nghiệm.
3.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên Dạng 4. Giải và biện luận phương trình dạng bậc hai
Phương pháp giải:
* Giải và biện luận phương trình dạng bậc hai theo tham số m là tìm tập nghiệm của phương 
trình tùy theo sự thay đổi của m.
* Xét phương trình dạng bậc hai
 ax2 + bx + c - 0 với ∆ = b2 -4ac (hoặc ∆' = b'2- ac).
- Nếu a = 0, ta đưa vể biện luận phương trình bậc nhât.
- Nêu a ≠ 0, ta biện luận phương trình bậc hai theo A.
6A. Giải và biện luận các phương trình sau: (ra là tham số).
a) x 2 + (1 -m)x- ra = 0; b) (m -3)x 2 - 2mx + m - 6 = 0.
6B. Giải và biện luận các phương trình sau: (ra là tham số).
a) mx2 + (2m - 1)x + ra + 2 = 0;
b) (m - 2)x2 - 2(m + 1)x + m = 0.
Dạng 5. Một sô bài toán liên quan đến tính có nghiệm củ phương trình bậc hai; Nghiệm 
chung của các phương trìnl dạng bậc hai; Hai phương trình dạng bậc hai tương đương
Phương pháp giải:
1. Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có nghiệm 
 A > 0 (hoặc ∆’ ≥ 0).
2. Muốn tìm điều kiện của tham số để hai phương trình dạng bậc hai ax2+bx + c = 0 và a'x2 
+b'x + c' = 0 có nghiệm chung, ta làm như sau:
Bước 1. Gọi x0 là nghiệm chung của hai phương trình. Thay x0 vào 2 phương trình để tìm 
được điều kiện của tham số.
Bước 2. Với giá trị của tham số vừa tìm được, thay trở lại để kiểm tra xem 2 phương trình 
có nghiệm chung hay không và kết luận.
3. Muốn tìm điều kiện của tham số để hai phương trình dạng bậc hai ax2 +bx + c = 0 và a'x2 
+b'x + c' = 0 tương đương, ta xét hai trường hợp:
Trường hợp 1. Hai phương trình cùng vô nghiệm.
4.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên Trường hợp 2. Hai phương trình cùng có nghiệm. Khi đó:
- Điều kiện cần để hai phương trình tương đương là chúng có nghiệm chung. Từ đó tìm 
được điều kiện của tham số.
- Điều kiện đủ với giá trị của tham số vừa tìm được, thay trở lại để kiểm tra xem 2 phương 
trình tập nghiệm bằng nhau hay không và kết luận.
7A. Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh phương trình b2x2 - (b2 +c2 -a2)x + c2 
=0 luôn vô nghiệm.
7B. Gho phương trình x2 +(a + b + c)x + (ab + bc + ca) = 0 với a, b, c là ba cạnh của một tam 
giác. Chứng minh phương trình trên luôn vô nghiệm.
8A. Cho hai phương trình x2 + ax + b = 0 và x2 + cx + d = 0. Chứng minh nếu hai phương 
trình trên có nghiệm chung thì:
 (b - d)2 +(a- c)(ad - bc) = 0.
 1 1 1
8B. Cho hai phương trình x2 +ax + b = 0 và x2 +bx + a = 0 trong đó . Chứng minh 
 a b 2
rằng có ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm.
9A. Cho hai phương trình x2 +x-m = 0 và x 2 -mx +1 = 0. Tìm các giá trị của tham số m để:
a) Hai phương trình có nghiệm chung;
b) Hai phương trình tương đương.
9B. Cho hai phương trình x2 -2ax + 3 = 0 và x 2 -x + a = 0, (a là tham số). Với giá trị nào 
của a thì:
a) Hai phương trinh trên có nghiệm chung?
b) Hai phương trình trên tương đương?
III. BÀI TẬP VỀ NHÀ
10. Giải các phương trình:
a) 2x2 (1 2 2)x 2 = 0; b) 3x2 + 3 = 2(x +1);
 1
c) (2x 2)2 1 = (x + 1)(x-1); d) x(x + l) = (x - 1)2.
 2
5.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên 11. Cho phương trình 2x2 -(4m + 3)x + 2m2 -1 = 0 (m là tham số). Tìm các giá trị của m để 
phương trình:
a) Có hai nghiệm phân biệt; b) Có nghiệm kép;
c) Vô nghiệm; d) Có đúng một nghiệm;
e) Có nghiệm.
12. Biện luận theo m số nghiệm phương trình:
 mx 2 - 4(m - 1)x + 4m + 8 = 0 (m là tham số).
13. Cho hai phương trình x2 +mx + 2 = 0 và x 2 + 2x + m = 0. Xác định các giá trị của tham số 
m để hai phương trình:
a) Có nghiệm chung; b) Tương đương.
 BÀI 2. CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
 2 7 
1A. a) Ta có 5x 7x 0 x(5x 7) 0 . Tìm được x 0;  
 5
b) Ta có 3x2 9 0 x2 3. Tìm được x 3 
c) Ta có x2 6x 5 0 (x 1)(x 5) 0 . Tìm được x 1;5 
 6 33
d) Ta biến đổi thành 3(x + 2)2 = 11. Tìm được x 
 3
1B. Tương tự 1A.
 a) Tìm được x 2 3;0. b) Vô nghiệm.
 1 37
 c) Tìm được x . d) Vô nghiệm.
 2
2A. Thay x = 1 vào phương trình ta có 4.12 + m2 + 4m = 0. Tìm được m = -2.
2B. Tương tự 2A.
 4 11
 Tìm được m 
 5
3A. a) Ta có a = 2, b = -3, c = -5. Tính được = 49 > 0. Phương trình có hai nghiệm phân việt: 
 b 5
 x1,2 x 1;  
 2a 2
6.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên b) ta có a = 1, b = -6, b' = -3, c= 8. Tính được ' = 1. Ta tìm được x 4;2.
 2
c) Ta có a = 9, b = -12, c = 4. Tính được = 0. Phương trình có nghiệm kép là x x .
 1 2 3
d) Ta có a = -3, b = 4, c = -4. Tính được = -32 < 0. Phương trình vô nghiệm.
3B. Tương tự 3A.
 1 3 5
a) Tìm được x b) Tìm được x = 2.
 1,2 2
 1
c) Tìm được x 1;  d) Tìm được x  .
 5
4A. Tương tự 3A
 3 5 3 5 
a) Tìm được x ;  
 2 2  
 2 3
b) Tìm được x c) Tìm được x , x 1 
 2 1 3 2
 6 2 6 6 2 6 
d) Tìm được x ; 
 3 3  
4B. Tương tự 3A, 4A
 11 5
a) Tìm được x b) Tìm được x  
 1,2 2
 3
c) Tìm được x 2; 3 b) Tìm được x 
  3
5A. Xét ' = (m - 1)2 - m(m - 3) = m + 1
 m 0
a) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi Tìm được m 0, m 1.
 0
 3
b) Xét m 0 2x 3 0 x (TM ) 
 2
 m 0
Xét m 0 . Phương trình có nghiệm kép khi m 1
 ' 0
c) Tương tự, ta tìm được m < -1
7.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên d) Tìm được m = 0
e) Tìm được m 1; m 0 .
5B. Tương tự 5A
 1 1
a) Tìm được m , m 2 b) Tìm được m 
 4 4
 1
d) Tìm được m d) Tìm được m = 2
 4
 1
e) Tìm được m = 2 hoặc m .
 4
6A. a) Ta có m2 2m 1 0, m m 1 
 m 1
* 0 m 1: Phương trình đã chó có nghiệm kép: x x 
 1 2 2
* 0 m 1: Phương trình đã chó có nghiệm phân biệt: x1 m, x2 1
 1
b) Với m 3 Phương trình có dạng: 6x 3 0 x 
 2
Với m 3 ' 9m 18 
* ' 0 m 2 : Phương trình vô nghiệm. 
 m
* ' 0 m 2: Phương trình có nghiệm kép: x x 
 1 2 m 3
 m 3 m 9m 18
* ' 0 : Phương trình có nghiệm phân biệt: x1,2 
 m 2 m 3
6B. Tương tự 6A
a) Với m 0 x 2;
Với n 0 12m 1 
 1
* ' 0 m : Phương trình vô nghiệm. 
 12
 1 1 2m
* 0 m : Phương trình có nghiệm kép: x x 
 12 1 2 2m
8.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên m 0
 1 2m 1 12m
* 0 1 : Phương trình hai có nghiệm phân biệt: x , 
 m 1 2 2m
 12
 1
b) Với m 2 x ;
 3
Với m 2 ' 4m 1: 
 1
* ' 0 m : Phương trình vô nghiệm. 
 4
 1 m 1
* ' 0 m : Phương trình có nghiệm kép: x x 
 4 1 2 m 2
 m 0
 m 1 4m 1
* 0 1 : Phương trình có hai nghiệm kép: x1,2 
 m m 2
 4
7A. Ta có (b c a)(b c a)(b c a)(b c a) . Từ đó chứng minh được 0 .
7B. Ta có a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 
Vì a b c a2 ab ca . Tương tự ta có b2 ab bc và c2 ca bc . Từ đó suy ra 0 .
8A. Gọi x 0 là nghiệm chung của hai phương trình. Ta có: (a c)x0 d b 
 d b
Nếu a c thì x . Thay x vào phương trình ta được ĐPCM.
 0 a c 0
Nếu a = c thì b = d ĐPCM.
 1 1 1 1
8B. Ta có a2 b2 4(a b).Từ a b ab .
 1 2 a b 2 2
 2 2 2
Từ đó ta có 1 2 a b 2ab (a b) 0 ĐPCM.
9A. a) Gọi x 0 là nghiệm chung của hai phương trình. Ta biến đổi được (1 + m) x 0 = m +1. 
Tìm được m = -1 hoặc m = 2.
b) Ta xét hai trường hợp:
 1
Trường hợp 1: Hai phương trình cùng vô nghiệm 2,m 
 4
Trường hợp 2: JHai phương trình cùng có nghiệm và tập nghiệm giống nhau m 1.
9.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên 1
Vậy 2 m thì hai phương trình tương đương.
 4
9B. Tương tự 9A
 1
 a) Tìm được a  b) Tìm được a 3 
 4
10. Tương tự 1A
 1 
a) Tìm được x ; 2 b) Tìm được x  .
 2 
 2  5 17 
c) Tìm được x 2;  d) Tìm được x  
 3  2  
11. Tương tự 5A
 17 17 17
 a) m b) m c) m 
 24 24 24
 17
 d) m  e) m 
 24
12. a) m 0, m 1 b) m 1 c) m 1.
 d) m 0 e) m 1 
13. Tương tự 9A
a) Tìm được m = 2 hoặc m = -3. b) Tìm được 1 m 2 2 
10.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên