Đề cương ôn tập môn Đại số Lớp 9 - Chương III - Bài 6: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

 BÀI 6. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH
 LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:
Bước 1. Lập hệ phương trình:
- Chọn các ẩn số và đặt điều kiện, đơn vị thích hợp cho các ẩn số;
- Biểu diên các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết;
- Lập hệ phương trình biểu thị sự tương quan giữa các đại lượng. 
Bước 2. Giải hệ phương trình vừa tìm được.
Bước 3. Kết luận:
- Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của 
ẩn.
- Kết luận bài toán.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN 
Dạng 1. Bài toán vê quan hệ giữa các số
Phương pháp giải: Ta sử dụng một số kiên thức liên quan sau đây:
1. Biểu diễn số có hai chữ số: ab - 10a + b trong đó a là chữ số hàng chục và 0 < a ≤ 9, a a 
N, b là chữ số hàng đơn vị và 0 < b ≤ 9,b N.
2. Biểu diễn số có ba chữ số: abc = 100a + 10b + c, trong đó, a là chữ số hàng trăm và 0 < a 
≤ 9,a N, b là chữ số hàng chục và 0 ≤ b ≤ 9, b N, c là chữ số hàng đơn vị và 0 ≤ c ≤ 
9, c N.
1A. Cho một số có hai chữ số. Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số lớn hơn số đã 
cho là 63. Biết tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng 99, tìm số đã cho.
1B. Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2, 
nếu viết xen chữ số 0 vào giữa chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị thì số đó tăng thêm 
630 đơn vị.
Dạng 2. Bài toán về làm chung, làm riêng công việc
Phương pháp giải: Một số lưu ý khi giải bài toán về làm chung, làm riêng công việc:
1.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên 1. Bài toán về làm chung, làm riêng công việc còn có tên gọi khác là toán năng suất.
2. Có ba đại lượng tham gia vào bài toán là:
- Toàn bộ công việc;
- Phần công việc làm được bong một đơn vị thời gian (năng suất);
- Thời gian hoàn thành một phần hoặc toàn bộ công việc.
 1
3. Nếu một đội làm xong công việc trong x ngày thì một ngày đội đó làm được công 
 x
việc.
4. Thường coi toàn bộ công việc là 1.
2A. Hai bạn A và B cùng làm chung một công việc thì hoàn thành sau 6 ngày. Hỏi nếu A 
làm một mình 3 ngày rồi nghỉ thì B hoàn thành nốt công việc trong thời gian bao lâu? Biết 
rằng nếu làm một mình xong công việc thì B làm lâu hơn A là 9 ngày.
2B. Hai đội xe chở cát để san lâp một khu đất. Nếu hai đội cùng làm thì trong 18 ngày xong 
công việc. Nếu đội thứ nhất làm 6 ngày, sau đó đội thứ hai làm tiếp 8 ngày nữa thì được 
40% công việc. Hỏi mỗi đội làm một mình bao lâu xong công việc?
3A. Hai vòi nước cùng chảy vào một bê thì sau 4 giờ 48 phút bê đầy. Nếu vòi I chảy bong 4 
giờ, vòi II chảy trong 3 giờ thì cả hai vòi 3
 3
chảy được bể. Tính thời gian môi vòi chảy một mình đầy bể.
 4
3B. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 2 giờ 55 phút đầy bể. Nếu để 
chảy một mình thì vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai là 2 giờ. Tính thời gian 
mỗi vòi chảy một mình mà đầy bể.
Dạng 3. Bài toán về chuyên động của một vật
Phương pháp giải: Một số lưu ý khi giải bài toán về chuyển động của một vật:
1. Có ba đại lượng tham gia là quãng đường (s), vận tốc (v) và thời gian (t).
2. Ta có công thức liên hệ giữa ba đại lượng s, v và t là:
 s = v.t.
4A. Một ôtô đi quãng đường AB với vận tốc 50km/giờ, rồi đi tiếp quãng đường BC với vận 
tốc 45km/giờ. Biết quãng đường tổng cộng dài 165km và thời gian ôtô đi trên quãng đường 
2.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên AB ít hơn thời gian đi trên quãng đường BC là 30 phút. Tính thời gian ô tô đi trên mỗi đoạn 
đường.
4B. Một ôtô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhât định. Nếu xe chạy mỗi giờ 
nhanh hơn 10km thì đến nơi sớm hơn dự định 3 giờ, còn nếu xe chạy chậm lại mỗi giờ 
10km thì đến nơi chậm mất 5 giờ. Tính vận tốc của xe lúc đầu, thời gian dự định và chiều 
dài quãng đường AB.
5A. Một canô chạy trên sông trong 7 giờ, xuôi dòng 108km và ngược dòng 63km. Một lần 
khác cũng trong 7 giờ canô xuôi dòng 81 km và ngược dòng 84km. Tính vận tốc nước chảy 
và vạn tốc canô lúc nước yên lặng.
5B. Một chiếc canô đi xuôi dòng theo một khúc sông trong 3 giờ và đi ngược dòng trong 
vòng 4 giờ, được 380km. Một lần khác, canô này đi xuôi dòng trong 1 giờ và ngược dòng 
trong vòng 30 phút được 85km. Hãy tính vận tốc thật (lúc nước yên lặng) của canô và vận 
tốc của dòng nước (biết vận tốc thật của canô và vận tốc dòng nước ở hai lần là như nhau).
6A. Một khách du lịch đi trên ôtô 4 giờ, sau đó đi tiếp bằng tàu hỏa trong 7 giờ được quãng 
đường dài 640/cm. Hỏi vận tôc của tàu hỏa và ôtô, biết rằng mỗi giờ tàu hỏa đi nhanh hơn 
ôtô 5km?
6B. Hai người khách du lịch xuất phát đồng thời từ hai thành phố cách nhau 38km. Họ đi 
ngược chiều và gặp nhau sau 4 giờ. Hòi vận tốc của mỗi người, biết rằng đến khi gặp 
nhau, người thứ nhất đi được nhiều hơn người thứ hai 2km?
Dạng 4. Bài toán về tỉ số phần trăm
Phương pháp giải: Chú ý rằng, nêu gọi số sản phẩm là x thì số sản phẩm khi vượt mức a% là 
(100 + a)%.x.
7A. Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm tổng cộng 360 dụng cụ. Trên thực tế, xí nghiệp 1 
vượt mức 12%, xí nghiệp 2 vượt mức 10% do đó cả hai xí nghiệp làm tổng cộng 400 dụng 
cụ. Tính số dụng cụ mỗi xí nghiệp phải làm.
7B. Trong tuần đầu hai tổ sản xuất được 1500 bộ quần áo. Sang tuần thứ hai, tổ A vượt 
mức 25%, tổ B giảm mức 18% nên trong tuần này, cả hai tổ sản xuất được 1617 bộ. Hỏi 
trong tuần đầu mỗi tô sản xuất được bao nhiêu?
Dạng 5. Bài toán có nội dung hình học 
Phương pháp giải:
-Với hình chữ nhật:
3.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên Diện tích = Chiều dài x Chiều rộng
 Chu vi = (Chiều dài + Chiều rộng) x 2
-Với tam giác:
 Diện tích = (Đường cao x Cạnh đáy): 2
 Chu vi = Tổng độ dài ba cạnh.
 3
8A. Một tam giác có chiều cao bằng cạnh đáy. Nêu chiều cao tăng thêm 3ảm và cạnh đáy 
 4
giảm đi 3dm thì diện tích của nó tăng thêm 12 dm2. Tính chiều cao và cạnh đáy của tam 
giác.
8B. Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi bằng 48m. Nếu tăng chiều rộng lên bốn lẩn và 
chiều dài lên ba lần thì chu vi của khu vườn sẽ là 162m. Hãy tìm diện tích của khu vườn 
ban đầu.
Dạng 6. Bài toán về sự thay đôi các thừa số của tích
9A. Một ôtô đi từ A đến B với vận tốc và thời gian dự định. Nếu ôtô tăng vận tốc 8km/h thì 
đến B sớm hơn dự định 1 giờ. Nếu ôtô giảm vận tốc 4km/h thì đến B chậm hơn dự định 40 
phút. Tính vận tốc và thời gian dự định.
9B. Trong hội trường có một số băng ghế, mỗi băng ghế quy định ngồi một số người như 
nhau. Nếu bớt 2 băng ghế và mỗi băng ghế ngồi thêm 1 người thì thêm được 8 chỗ. Nếu 
thêm 3 băng ghế và mỗi băng ghế ngồi bớt 1 người thì giảm 8 chỗ. Tính số băng ghế trong 
hội trường.
III. BÀI TẬP VỀ NHÀ
10. Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích là 720m2, nếu tăng chiều dài thêm 6m và 
giảm chiều rộng đi 4m thì diện tích mảnh vườn không đổi. Tính các kích thước của mảnh 
vườn.
11. Một hình chữ nhật. Nếu tăng chiều dài thêm 2m và chiều rộng 3m thì diện tích tăng 
100m2. Nêu cùng giảm chiều dài và chiều rộng 2ra thì diện tích giảm 68m2. Tính diện tích 
thửa rộng đó.
12. Hai vòi nước cùng chảy chung vào một bể không có nước trong 12 giờ thì đầy bể. Nếu 
để vòi thứ nhất chảy một mình trong 5 giợ rồi khóa lại và mở tiếp vòi thứ hai chảy một 
mình trong 15 giờ thì được 75% thể tích của bể. Hỏi mỗi vòi chảy một mình thì trong bao 
lâu sẽ đầy bể?
4.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên 13. Hai công nhân nếu làm chung thì hoàn thành một công việc trong 4 ngày. Người thứ 
nhất làm một nửa công việc, sau đó người thứ hai làm nốt nửa công việc còn lại thì toàn bộ 
công việc sẽ được hoàn thành trong 9 ngày. Hỏi nếu mỗi người làm riêng thì sẽ hoàn thành 
công việc đó trong bao nhiêu ngày?
14. Một canô ngược dòng từ bến A đến bến B với vận tốc riêng là 10km/giờ, sau đó lại xuôi 
từ bến B trở về bên A. Thời gian canô ngược dòng từ A đến B nhiều hơn thời gian canô 
xuôi dòng từ B trở về A là 2 giờ 40 phút. Tính khoảng cách giữa hai bêh A và B. Biết vận 
tôc dòng nước là 5km/giờ, vận tốc riêng của canô lúc xuôi dòng và lúc ngược dòng bằng 
nhau.
15. Hai xe máy khỏi hành cùng một lúc từ hai tỉnh A và B cách nhau 90km, đi ngược chiều 
và gặp nhau sau 1,2 giờ (xe thứ nhất khởi hành từ A, xe thứ hai khởi hành từ B). Tìm vận 
tốc của mỗi xe. Biết rằng thời gian để xe thứ nhất đi hết quãng đường AB ít hơn thời gian 
để xe thứ hai đi hết quãng đường AB là 1 giờ.
16. Hai địa điểm A và B cách nhau 200km. Cùng một lúc có một ôtô đi từ A và một xe máy 
đi từ B. Xe máy và ôtô gặp nhau tại C cách A một khoảng bằng 120km. Nếu ôtô khởi hành 
sau xe máy 1 giờ thì sẽ gặp nhau tại D cách c một khoảng 24km. Tính vận tốc xe máy và 
ôtô.
17. Có hai phân xưởng, phân xưởng I làm trong 20 ngày, phân xưởng II làm trong 15 ngày 
được 1600 dụng cụ. Biết số dụng cụ phân xưởng I làm trong 4 ngày bằng số dụng cụ phân 
xưởng II làm trong 5 ngày. Tính số dụng cụ mỗi phân xưởng đã làm.
18. Trong một kì thi, hai trường A, B có tổng cộng 350 học sinh dự thi. Kết quả hai trường 
đó có 338 học sinh trúng tuyển. Tính ra thì trường A có 97% và trường B có 96% số học 
sinh trúng tuyển. Hỏi mỗi trường có bao nhiêu học sinh dự thi.
19. Người ta trộn 4kg chất lỏng loại I với 3kg chất lỏng loại II thì được một hỗn họp có khối 
lượng riêng là 700kg/m3. Biết khối lượng riêng của chất lỏng loại I lớn hơn khối lượng riêng 
của chất lỏng loại II 200kg/m3. Tính khôi lượng riêng của mỗi chất.
20. Trong một buổi liên hoan văn nghệ, phòng họp chi có 320 chỗ ngồi, nhưng số người tới 
dự hôm đó có tới 420 người. Do đó phải đặt thêm 1 dãy ghế và thu xếp để mỗi dãy ghế 
thêm được 4 người ngồi nữa mới đủ. Hỏi lúc đầu trong phòng có bao nhiêu dãy ghế?
 BÀI 6. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH
1A. Gọi số cần tìm là ab, a ¥ *,b ¥ *, a;b 9 
5.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên ba ab 63
 Ta có HPT: 
 ab ba 99
 Giải HPT thu được ab 18, ba 81 
 Từ đó ta có số cần tìm là 18.
1B. Gọi số cần tìm là ab, a ¥ *, b ¥ , a,b 9 
 a b 2
 Ta có HPT: . Từ đó thu được số cần tìm là 75.
 90a 630
2A. Gọi thời gian A, B là một mình xong công việc lần lượt là x, y (ngày) (ĐK: x, y < 6).
 1 1
 Mỗi ngay các bạn A, B lần lượt làm được và công việc.
 x y
 1 1 1
 x 9
 Ta có HPT: x y 6 . Giải HPT thu được 
 y 18
 y x 9
 Kết luận.
2B. Gọi thời gian xe I, xe II làm một mình xong công việc lần lượt là x, y (ngày) (ĐK: x, y > 
18).
 1 1 1
 x y 18 x 45
 Ta có HPT: . Giải HPT thu được 
 6 8 40 y 30
 x y 100
 Kết luận.
3A. Gọi thời gian vòi I, vòi II, chảy một mình đầy bể lần lượt là x, y (giờ) (ĐK: x, y > 5).
 1 1 5
 x y 24 x 8
 Tìm được HPT: . Giải HPT thu được 
 4 3 3 y 12
 x y 4
 Kết luận.
3B. Gọi thời gian vòi I, vòi II chảy một mình đầy bể lần lượt là x, y (giờ) (ĐK: x, y > 3).
6.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên 1 1 12
 x 7
 Ta có HPT: x y 35 . Giải HPT thu được 
 y 5
 x y 2
 Kết luận
4A. Gọi thời gian ô tô đi trên mỗi đoạn đường lần lượt là x, y (giờ) (ĐK: y > x > 0)
 50x 45y 165 x 1,5
 Ta có HPT: . Giải HPT thu được 
 y x 0,5 y 2
 Kết luận.
4B. Gọi chiều dài AB cần tìm là x (x > 0,km) và vận tốc theo dự định là y (y > 10,km/giờ)
 x x
 3
 y 10 y
 Theo bài ra ta có HPT: 
 x x
 5
 y 10 y
 x 600
 Giải HPT thu được 
 y 40
 Vậy vận tốc lúc đầu là 40km/giờ, thời gian dự định là 15 giờ,quãng đường AB dài 
600km.
5A. Gọi vận tốc riêng của canô và vận tốc dòng nước lần lượt là x, y (km/h) (ĐK: x > y > 0)
 108 63
 7
 x y x y x 24
 Ta có HPT: . Giải HPT thu được 
 81 84 y 3
 7 
 x y x y
 Vậy vận tốc dòng nước và vận tốc canô lần lượt là 3km/h và 24km/h.
5B. Gọi vận tốc riêng của canô và dòng nước lần lượt là x, y (km/h) (ĐK: x > y > 0)
 3(x y) 4(x y) 380
 Ta có HPT: 1
 (x y) (x y) 85
 2
 x 55
 Giải HPT ta được 
 y 5
 Kết luận.
7.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên 6A. Gọi vận tốc của ô tô là x (km/h) và vận tốc tàu hỏa là y (km/h) (y > x > 5). Ta có HPT: 
 4x 7y 640 x 5
 y x 5 y 4,5
 Vận tốc của người A là 5km/h, vận tốc của người B là 4,5km/h.
7A. Gọi số dụng cụ xí nghiệp I và II làm lần lượt là x, y (x, y ¥ *)
 x y 360 x 200
 Ta có HPT: 
 112%.x 110%.y 400 y 160
 Vậy số dụng cụ xí nghiệp I và II lần lượt phải làm là 200 (dụng cụ) và 160 (dụng cụ)
7B. Gọi số bộ quần áo tổ A và B sản xuất được trong tuần đầu lần lượt là x, y (x, y ¥ *)
 x y 1500 x 900
 Ta có HPT: 
 125%.x 82%.y 1617 y 600
 Vậy số bộ quần áo tổ A và B lần lượt làm trong tuần đầu là 900 (bộ) và 600 (bộ)
8A. Gọi chiều cao và chiều dài đáy của tam giác lần lượt là x, y (dm) (x > 0, y > 3)
 3
 x y
 4 x 33
 Ta có HPT: 
 1 1 y 44
 (x 3)(y 3) xy 12 
 2 2
 Vậy chiều cao và chiều dài đáy của tam giác là 33dm và 44dm.
8B. Gọi chiều dài và chiều rộng của khu vườn lần lượt là x, y (m) (x, y> 0).
 x y 24 x 9
 Ta có HPT: 
 4x 3y 81 y 15
 Vậy chiều dài và chiều rộng khu vườn là 9m và 16m.
9A. Gọi vận tốc dự định và thời gian dự định của ô tô lần lượt là x (km/h), y (giờ) (x > 4, y > 
1)
 (x 8)(y 1) xy
 x 40
 Ta có HPT: 2 
 (x 4)(y ) xy y 6
 3
 Vậy vận tốc dự định của ô tô là 40km/h và thời gian dự định là 6 (giờ).
8.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên 9B. Gọi số băng chế là x (ghế) và số chỗ ngồi trên mỗi băng ghế là y (chỗ) (x > 2, y > 1, x, y 
 ¥ ).
 Số người ban đầu là xy (người)
 Sau khi bớt đi 2 băng ghế thì còn lại x - 2 ghế. Mỗi ghế ngồi thêm 1 người thì số chỗ 
ngồi trên mỗi băng ghế là y + 1. Khi đó thêm được 8 người so với ban đầu, do đó ta có 
phương trình (x - 2) (y + 1) = xy + 8.
 Lập luận tương tự ta có HPT:
 (x 2)(y 1) xy 8 x 20
 (x 3)(y 1) xy 8 y 5
 Vậy số băng ghế là 20 (ghế)
10. Gọi chiều dài và chiều rộng khu vườn lần lượt là x, y (m) (x > 0, y > 4)
 xy 720 x 30
 Ta có HPT: 
 (x 6)(y 4) 720 y 24
 Vậy chiều dài và chiều rộng khu vườn lần lượt là 30m và 24m.
11. Gọi chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật lần lượt là x, y (m) (x> 2, y > 3).
 (x 2)(y 3) xy 100 x 22
 Ta có HPT: 
 (x 6)(y 2) xy 68 y 14
 Vậy chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật lần lượt là 22m và 14m.
12. Gọi thời gian vòi I và vòi II chảy một mình đầy bể lần lượt là x, y (giờ) (x, y > 12).
 1 1 1
 x y 12 x 20
 Ta có HPT: 
 5 15 75 y 30
 x y 100
 Vậy thời gian vòi I và vòi II chảy một mình đầy bể lần lượt là 20 giờ và 30 giờ.
13. Gọi thời gian người thứ nhất và người thứ hai làm một mình lần lượt là x, y (ngày) (x, y 
> 4)
 1 1 1
 x y 4 x 6 x 12
 Ta có HPT: hoặc 
 1 1 y 12 y 6
 x y 9 
 2 2
9.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên Vậy thời gian người thứ nhất và người thứ hai làm 1 mình xong việc là 6 ngày và 12 
ngày hoặc ngược lại.
14. Gọi thời gian ca nô ngược dòng từ A đến B và xuôi dòng từ B về A lần lượt là x, y (giờ) 
(x > y > 0)
 8 20
 x y x 
 Ta có HPT: 3 3 
 15x 25y y 4
 Vậy khoảng cách AB là 25.4 = 100km.
15. Gọi vận tốc xe thứ nhất và xe thứ hai lần lượt là x, y (km/h) (x, y > 0)
 1,2x 1,2y 90
 x 45
 Ta có HPT: 90 90 
 1 y 30
 y x
 Vậy vận tốc xe thứ nhất và xe thứ hai lần lượt là 45km/h và 30km/h.
16. Gọi vận tốc xe ô tô và xe máy lần lượt là x, y (km/h) (x, y>0). Khi 2 xe cùng xuất phát và 
gặp nhau tại C thì ô tô và xemays lần lượt đi được quãng đường 120km và 80km ta có 
 120 80
phương trình ;
 x y
 Khi xe ô tô xuất phát sau xe máy và gặp nhau tại D thì ô tô và xe máy lần lượt đi 
 96 104
được quãng đường 96km và 104km ta có phương trình 1 ;
 x y
 120 80
 x y x 60
 Ta có HPT: 
 96 104 y 40
 1 
 x y
 Vậy vận tốc của ô tô là 60km/h và vận tốc của xe máy là 40km/h.
17. Gọi số dụng cụ 2 phân xưởng làm trong 1 ngày lần lượt là x, y (dụng cụ) (x > y > 0). (x, 
y ¥ *)
 20x 15y 1600 x 50
 Ta có HPT: 
 4x 5y y 40
 Vậy số dụng cụ phân xưởng I và II phải làm lần lượt là 20.50 = 1000 (dụng cụ) và 
15.40 = 600 (dụng cụ)
10.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên