Đề cương ôn tập môn Đại số Lớp 9 - Chương I - Bài 5: Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai và các bài toán liên quan

 BÀI 5. RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI
 VÀ CÁC BÀI TOÁN LIấN QUAN.
I. TểM TẮT LÍ THUYẾT
 1. Đờ’ rỳt gọn biểu thức cú chứa căn thức bậc hai, ta cần biết vận dụng linh 
 hoạt và phự họp cỏc phộp biờn đổi đơn giản như:
- Đưa thừa sụ' ra ngoài dõu căn;
- Đưa thừa sụ' vào trong dõu căn;
- Trực căn thức ở mẫu;
- Quy đồng mẫu thức...
2. Cỏc bài toỏn liờn quan đến bài toỏn rỳt gọn biờu thức chứa căn bậc hai thường là:
- Tỡm giỏ trị của biểu thức khi biết giỏ trị của biến;
- Tỡm giỏ trị của biến khi biết giỏ trị của biểu thức;
- Tỡm giỏ trị nguyờn của biến đờ’ biểu thức nhận giỏ trị nguyờn; 
- Tỡm giỏ trị thực của biến đế biểu thức nhận giỏ trị nguyờn; 
- So sỏnh biểu thức với một sụ' hoặc một biếu thức khỏc;
- Tỡm giỏ trị lớn nhất hoặc giỏ trị nhũ nhất cua biờu thức...
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Rỳt gọn biểu thức chỳa căn bậc hai và tỡm giỏ trị của biểu thỳc khi biết giỏ trị của biến 
Phương phỏp giải: Thực hiện theo hai bước:
Bước 1. Để rỳt gọn biểu thức chứa căn bậc hai đó cho, ta sử dụng cỏc phộp biờn đổi như đưa 
thừa sụ' ra ngoài hoặc vào trong dõu căn, trục căn thỳc ờ mẫu, quy đồng mẫu thức... một cỏch 
linh hoạt.
Bước 2. Đờ’ tỡm giỏ trị của biểu thức khi biết giỏ trị cựa biờn ta rỳt gọn giỏ trị của biờn (nờu cần) 
sau đú thay vào biểu thức đó dược rỳt gọn ở trờn và tớnh kết quả.
 CÁC BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Rỳt gọn biểu thỳc chứa căn bậc hai và tỡm giỏ trị của biểu thức khi biết giỏ trị của 
biến.
 1.Đường tuy gắn khụng đi sẽ khụng đến-Việc tuy nhỏ khụng làm sẽ khụng nờn x x 1 1
1A. Cho biểu thức P với x 0 và x 9 
 x 9 x 3 x 3
a) Rỳt gọn P
b) Tớnh giỏ trị của P trong cỏc trường hợp:
i) x 6 4 2 6 4 2 
 1 1
 ii) x 
 2 1 2 1
 1 7 x 1 
 Q : 1 với x 0 và x 4
1B. Cho biểu thức 
 x 2 x 4 x 2 
a) Rỳt gọn Q
b) Tớnh giỏ trị của Q trong cỏc trường hợp:
• x 27 10 2 18 8 2
 2 2
• x 
 2 3 2 3
Dạng 2: Rỳt gọn biểu thức chứa căn bậc hai và tỡm giỏ trị của biến khi biết giỏ trị của biểu 
thức.
 x x 2 2 x 
 M : với x 0 và x 1
2A. Cho biểu thức 
 x 1 x 1 x x x x 
a) Rỳt gọn M
 1
b) Tỡm x để M 
 2
 x 2 1 4 x
2B. Cho biểu thức N với x 0 
 x x 1 x 1 3
a) Rỳt gọn N
 8
b) Tỡm x để N 
 9
Dạng 3: Rỳt gọn biểu thức chứa căn bậc hai và tỡm giỏ trị của biến để biểu thức đạt giỏ trị 
nguyờn.
 1 x x 
 A : 1 với x 0 và x 1
3A. Cho biểu thức 
 x 1 x 1 x 1 
 2.Đường tuy gắn khụng đi sẽ khụng đến-Việc tuy nhỏ khụng làm sẽ khụng nờn a) Rỳt gọn A
 x 1 x x 5
b) Tỡm x nguyờn để M A. cú giỏ trị nguyờn
 2 x 1 x 3
 x 2 x 1 x 2
 A và B = : với x 0 và x 4
3B. Cho biểu thức 
 x 2 x 4 x 2 x 4
a) Rỳt gọn B
b) Tỡm x nguyờn để C = A ( B – 2 ) cú giỏ trị nguyờn
 1 1 x 2
4A. Cho biểu thức P : với x 0 và x 4
 x 2 x 2 x
a) Rỳt gọn P
 7P
b) Tỡm x thực để cú giỏ trị nguyờn
 3
4B. Cho hai biểu thức 
 15 x 2 x 1 1 x
 A : và B= với x 0 và x 25
 x 25 x 5 x 5 1 x
a) Rỳt gọn A
b) Tỡm x thực để M= A - B cú giỏ trị nguyờn
Dạng 4: Rỳt gọn biểu thức chứa căn bậc hai và so sỏnh biểu thức với một số (hoặc một biểu 
thức khỏc).
Phương phỏp giải: Để so sỏnh một biểu thức M với một số a, ta xột hiệu M-a và xột dấu của 
hiệu này, từ đú đi đến kết quả của phộp so sỏnh.
5A. Cho hai biểu thức 
 x 1 x 3 5 4
 A và B= với x 0, x 1,x 25 
 x 5 x 1 x 1 x 1
a) Rỳt gọn B
 x 5 x 5
b) So sỏnh C A.B . với 3 
 x 5 x
5B. Cho cỏc biểu thức:
 3.Đường tuy gắn khụng đi sẽ khụng đến-Việc tuy nhỏ khụng làm sẽ khụng nờn 2 x x 9 x x 5 x
 A và B= với x 0, x 9,x 25 
 x 3 x 9 x 25
a) Rỳt gọn cỏc biểu thức A và B
 A
b) Đặt P . hóy so sỏnh P với 1
 B
Dạng 5: Rỳt gọn biểu thức chứa căn bậc hai và tỡm giỏ trị lớn nhất( hoặc giỏ trị nhỏ nhất) của 
biểu thức.
Phương phỏp giải: Chỳ ý rằng
- Biểu thức P cú giỏ trị lớn nhất là a, kớ hiệu Pmax a nếu P a với mọi giỏ trị của biến 
và tồn tại ớt nhất một giỏ trị của biến để dấu “=” xảy ra.
- Biểu thức P cú giỏ trị nhỏ nhất là b, kớ hiệu Pmin b nếu P b với mọi giỏ trị của biến 
và tồn tại ớt nhất một giỏ trị của biến để dấu “=” xảy ra.
6A. Cho hai biểu thức 
 x 2 x 5 2 x 9 x 3 2 x 1
 A và B= với x 0, x 4,x 9 
 x 3 x 5 x 6 x 2 3 x
a) Rỳt gọn B
 A
b) Đặt P . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của P
 B
 x 2 x 3x 9
6B. Cho biểu thức P với x 0 và x 9 
 x 3 x 3 x 9
a) Rỳt gọn P.
b) Tỡm giỏ trị lớn nhõ't của P.
II. BÀI TẬP VỂ NHÀ
 2 x 9 x 3 2 x 1
7. Cho biờu thức: M với x 0 , x 4,x 9 
 x 5 x 6 x 2 3 x
a) Rỳt gọn M.
b) Tớnh giỏ trị của M khi X = 11 - 62 .
c) Tỡm cỏc giỏ trị thực của x để M = 2.
d) Tỡm cỏc giỏ trị thực của x đờ’ M < 1.
e) Tỡm cỏc giỏ trị X nguyờn để M nguyờn.
_ 3x + V9x-3 VX+1 VX-2 ,
 4.Đường tuy gắn khụng đi sẽ khụng đến-Việc tuy nhỏ khụng làm sẽ khụng nờn 3x 9x 3 x 1 x 2
8. Cho biờu thức: Q với x 0 và x 1 
 x x 2 x 2 1 x
a) Rỳt gọn Q.
b) Tớnh giỏ trị của Q khi x = 4 + 23 .
c) Tỡm cỏc giỏ trị của x đờ’ Q = 3.
 1
d) Tỡm cỏc giỏ trị của x để Q > 
 2
e) Tỡm x Z để Q Z .
9. Với x 0 và x 1 cho biểu thức:
 1 2 x x x 1 
 P : 
 x 1 x x x x 1 x x x x 1 x 1 
a) Rỳt gọn P.
 1
b) Tỡm giỏ trị của x đờ’ P < .
 2
 1
c) Tỡm giỏ trị của x để P = 
 3
d) Tỡm x nguyờn đế P nguyờn.
e) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của P.
 x 2 x x 4 
 P x : với x 0 và x 1,x 4
10. Cho biểu thức: 
 x 1 x 1 1 x 
 a) Rỳt gọn P.
 1
 b) Tỡm cỏc giỏ trị của x thỏa món P < .
 2
 c) Tỡm giỏ trị nhỏ nhõ't của P.
 x2 x 2x x 2(x 1)
11* Cho biờu thức N với x>0 và x 1
 x x 1 x x 1
 a) Rỳt gọn N.
 b) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của N.
 2 x
 c) Tỡm x đờ’ biểu thức M = nhận giỏ trị nguyờn. 
 N
 5.Đường tuy gắn khụng đi sẽ khụng đến-Việc tuy nhỏ khụng làm sẽ khụng nờn 12. Chứng minh cỏc đẳng thức sau:
 a b a2b4
 a) a với a+b>0 và b 0 
 b2 a2 2ab b2
 a b a b 2b 2 b
 b) với a 0, b 0 và a b . 
 2 a 2 b 2 a 2 b b a a b
 BÀI 5. RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI VÀ CÁC BÀI TOÁN LIấN 
 QUAN
1A. a) Rỳt gọn ta được 
 x 2
 P với x 0, x 9
 x 3 
 b) i) Ta có x= 2 2 2 2 4 (TM ĐK x 0, x 9)
 4
Thay x=4 vào P tớnh được P=
 5
ii) Tỡm được x=2 (TM ĐK x 0, x 9)
 4 2
Thay x=2 vào P tớnh được P=
 7
 x 5
1B. a) Rỳt gọn ta được Q với x 0, x 4 
 x 2
b) i) Ta có x= 5 2 4 2 2 1 (TM ĐK x 0, x 4)
Thay x=1 vào Q tớnh được Q= 2
ii) Tỡm được x=2 (TM ĐK x 0, x 4)
 8 3 2
Thay x=2 vào Q tớnh được Q=
 2
 x
2A. a) Rỳt gọn ta được M với x 0, x 1 
 x 1
 6.Đường tuy gắn khụng đi sẽ khụng đến-Việc tuy nhỏ khụng làm sẽ khụng nờn 1
b) Ta cú M 2x x 1 x 1 2 x 1 0 
 2 
 1
Giải ra ta được x=
 4
 4 x
2B. a) Rỳt gọn ta được N với x 0
 3 x x 1 
 9
b) Ta cú N x 2 2 x 1 0 
 8 
 1 
Giải ra ta được x 4; 
 4
 2 x 1
3A. a) Rỳt gọn ta được A với x 0,x 1 
 x 1
 7
b) Rỳt gọn ta được M x 3 
 x 3
Để M nguyờn, ta cần cú x N, x 3 Ư (7)
Từ đú tỡm được x=6
 2 x 2
3B. a) Rỳt gọn ta được B với x 0,x 4 
 x 2
 2
b) Rỳt gọn ta được C 
 x 2
ta cú C nguyờn, x 2 Ư (2) Giải ra ta được x 0,1,6,16 
Ta cú c nguyờn (yfx —2) e ư(2).
 2
4A. a) Rỳt gọn ta được P với x 0,x 4
 x 2
 7P 14
Đặt M . Ta cú M với x 0,x 4
 3 3 x 6
 7.Đường tuy gắn khụng đi sẽ khụng đến-Việc tuy nhỏ khụng làm sẽ khụng nờn 7
Cỏch 1. Tỡm được 0 < M Mà M Z nên M 1;2 
 3
 64 1
Từ đú tỡm được x = ; x = 
 9 9
 1
4B. a) Rỳt gọn ta được A với x 0,x 25
 x 1
 x
b) Ta cú M với x 0,x 25
 1 x
Cỏch 1. Tỡm được 0 M < 1. Mà M Z M = 0.
Từ đú tỡm được x = 0 (TMĐK với x 0,x 25).
 x
Cỏch 2. Đặt n với n nguyờn.
 1 x
 n
Ta cú x 0 0 n 1 n 0
 1 n
Từ đú tỡm được x = 0 (TMĐK với x 0,x 25).
 x 6
5A. a) Rỳt gọn ta được B với x 0,x 1
 x 1
 x x 1
b) Rỳt gọn ta được C với x>0,x 1
 x
 2
 x 1 
Xột hiệu C-3 = 0 với x 0,x 25,x 1
 x
Từ đú ta cú C> 3.
 x x
5B. a) Rỳt gọn ta được A và B với x 0,x 25,x 9
 x 3 x 5
 x 5 8
b) Ta cú P và P-1 = < 0 nờn P< 1.
 x 3 x 3
 8.Đường tuy gắn khụng đi sẽ khụng đến-Việc tuy nhỏ khụng làm sẽ khụng nờn x 1
6A. a) Rỳt gọn ta được B với x 0,x 4,x 9
 x 3
 x 2 x 5
b) Tỡm được B với x 0,x 4,x 9
 x 1
 4 4
Ta cú P ( x 1) 2 x 1 . 4 
 x 1 x 1
 4
Dấu"=" xảy ra x 1 x 1(TMĐK với x 0,x 4,x 9 ).
 x 1
Vậy tỡm được Pmin 4 x 0 
6B. 
 3
 a) Rỳt gọn ta được P với x 0,x 9
 x 3
 b) Tỡm được Pmin 1 x 0
7. 
 x 1
 a) Rỳt gọn ta được M với x 0,x 4,x 9
 x 3
 b) Từ x 11 6 2 x 3 2 (TMĐK với x 0,x 4,x 9 ).
Thay x 3 2 vào M tớnh được M = 1 - 2 2 .
 c) Tỡm được x = 49.
 4
 d) Ta cú M < 1 < 0. Từ đú tỡm được 0 x 9,x 4
 x 3
 4
 e) Ta cú M 1 với x 0,x 4,x 9
 x 3
Từ điều kiện x và M nguyờn ta tỡm được x = {l; 16; 25; 49}.
8. a) Gợi ý: x x 2 ( x 2)( x 1) 
 x 1
Rỳt gọn ta được Q với x 0,x 1
 x 1
b) Ta cú x 3 1 (TMĐK).
 3 2 3
Thay x 3 1 vào Q tỡm được Q 
 3
 9.Đường tuy gắn khụng đi sẽ khụng đến-Việc tuy nhỏ khụng làm sẽ khụng nờn c) Ta cú Q = 3 x= 4 (TMĐK).
 1 x 3
d) Ta cú Q 0 x 1 0 x 1 
 2 2( x 1)
 2
e) Tương tự 3A. Ta cú Q = 1 + 
 x 1
Từ đú tỡm được x {0;4;9}.
 x 1
9. a) Rỳt gọn ta được P với x 0,x 1
 x 1
 1 x 3
b) Ta cú P 0 . Từ đú tỡm được 0 x 9,x 1 
 2 2( x 1)
 x 1 1
c) Giải tỡm được x = 4 (TMĐK).
 x 1 3
 2
 d) Ta cú P 1 • Từ điều kiện P nguyờn, tỡm được x = 0
 x 1
 2
 e) Từ P 1 tỡm được Pmin = -1 x = 0.
 x 1
 x 1
 10. a) Rỳt gọn thu được P với x 0,x 4,x 1
 x 2
 1
Ta cú P x 4 
 2
Giải ra và kết hợp điều kiện ta được 0 x 16,x 1,x 4
 3
c) Tương tự 6A. Ta cú P 1 
 x 2
 1
Từ đú tỡm được P x 0 
 min 2
11. a) Rỳt gọn ta được N x x 1 với x > 0 và x 1 . 
 2
 1 3 3 1
 b) Ta cú N x . Dõự ”=” xảy ra x 
 2 4 4 4
 10.Đường tuy gắn khụng đi sẽ khụng đến-Việc tuy nhỏ khụng làm sẽ khụng nờn