Chuyên đề hệ thức Viet

Chuyên đề 1: Phương pháp cơ bản tìm cực trị đại số
 Chương I: cơ sở lý thuyết
 I. Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức
1.Định nghĩa1:
Cho biểu thức f(x,y,) xác định trên miền D. Ta nói M là giá trị lớn nhất của f(x,y,) trên D nếu hai điều kiện sau được thoả mãn:
Với mọi (x, y,) thuộc D thì f(x,y,) M với M là hằng số
Tồn tại (x0, y0 ,) thuộc D sao cho f(x0, y0 ,) = M
 2. Định nghĩa 2:
Cho biểu thức f(x,y,) xác định trên miền D. Ta nói m là giá trị nhỏ nhất của f(x,y,) trên D nếu hai điều kiện sau được thoả mãn:
Với mọi (x, y,) thuộc D thì f(x,y,) m với m là hằng số
Tồn tại (x0, y0 ,) thuộc D sao cho f(x0, y0 ,) = m
 II. Các kiến thức thường dùng
Xét biểu thức chứa biến P(x), P(x,y),Ta ký hiệu giá trị lớn nhất của biểu thức P trên tập xác định D của biến là GTLN(P) hay maxP, còn giá trị nhỏ nhất của P là GTNN(P) hay minP.
Cho P = A + B thì maxP = maxA + maxB và min P = min A + minB
Trong đó A và B là các biểu thức c...hương pháp dùng bất đẳng thức để giải toán cực trị
VD1:
Tìm GTNN của A = + 
Giải:
A = + 
 = + = 2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (1 – 2x)(2x – 3) 0
Lập bảng xét dấu:
x
1 – 2x
+
0
-
-
2x - 3
-
-
0
+
(1 – 2x)(2x – 3)
-
0
+
0
-
Từ đó ta có (1 – 2x)(2x – 3) 0 x 
Vậy GTNN của A bằng 2 với x 
VD2:
Tìm GTNN của hàm số
f(x) = + + + + 
Giải:
Ta có: 
f(x) = ( + + + + ) + 3
 + 3
 = 15 + 3 15
Mặt khác ta có f(4) = 15 suy ra minf(x) = 15
VD3:
Tìm GTNN của S = x2 + y2 + z2 với P = ax + by + cz không đổi (với a2 + b2 + c2 0).Giá trị đó đạt được khi nào?
Giải:
Theo bất đẳng thức Côsi – Bunhiacôpski ta có:
( x2 + y2 + z2) ( a2 + b2 + c2) (ax + by + cz)2.
Do đó
S = x2 + y2 + z2 .
S sẽ có giá trị bé nhất khi xảy ra dấu “ = ” tức là khi , hay nói cách khác Smin = .
Khi 	x= ; y = ; z = .
VD4:
Tìm GTLN của:
a) A = + biết x + y = 4
b) B = + 
Giải:
Điều kiện x 1, y 2
Ta có = 
 = 
Theo bất đẳng thức Côsi ta có:
Max B = 
VD5:
Tìm GTLN, GTNN của 
A = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 5
Giải:
Ta xét biểu thức A2 = (2x + 3y)2
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky ta có:
A2 = 
 = (2 + 3) (2x2 + 3y2) 5.5 = 25
A2 = 25 
Do A2 25 nên -5 A 5
MinA = -5 
MaxA = 5 
VD6:
Nếu x > 0, a > o, b > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
 .
Khi nào đạt giá trị đó?
Giải: Biểu thức có dạng:
Đối với hai số dương và x, ta có bất đẳng thức Cô-si:
Khi đó: 
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là ( đạt được khi 
VD7:
 Tìm giá trị lớn nhất của:
 a) ;
 b) ;
 c) ;
 d) .
Giải:
a) Do , nên ta có:
Vậy f(x) lớn nhất là khi .
b) 
 *) Nêú 1 thì f(x)
 *) Nếu -1 < x < 1 thì 
Vậy f(x) lớn nhất là khi 
c) Ta có: suy ra 
 Vậy f(x) lớn nhất là khi 
d) f(x) = . Ta có: .
Vậy f(x) đạt giá trị lớn nhất là , khi .
VD8:
 Tìm giá trị dương nhỏ nhất của 
 .
Giải:
Do f(x) > 0 nên x > 0. ta có: 
Vậy f(x) dương bé nhất là khi 
VD9: 
Cho các số x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx = 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
 .
Giải:
áp dụng bất đẳn...x và y là nghiệm của phương trình
X2 - X + 2 =0 
Tức là x = , y = 
Hoặc x = , y = 
b) Tìm GTLN
Ta có (1)
Viết A dưới dạng:
A = t(t3 + 2t – 40 ) + 101
Do (1) nên t3 , 2t 5
 t3 + 2t – 40 + 5 – 40 < 0
t > 0 nên A 101
Max A = 101 khi và chỉ khi t = 0 tức là x = 0 , y= 
 hoặc x = , y = 0
VD2:
Tìm GTNN của: 
Giải:
Đặt 
Suy ra minA = 2 
VD3:
Tìm GTLN, GTNN của:
 A = biết 
Giải:
Đặt , ta có 
Do nên 
MaxA = 1 hoặc hoặc 
Ta có: 
Bài tập đề nghị:
Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của:
 với 
Bài 2. Tìm GTNN của:
Bài 3. Tìm GTLN, GTNN của:
IV. phương pháp chia khoảng để tìm cực trị
VD1
Tìm GTLN của 
A = x2 (3 – x) với x 0
Giải:
a) Xét 0 x 3 
Viết A dưới dạng:
A = 4(3 – x)
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm , , 3 – x ta được:
Do đó A 4 (1)
b) Xét x > 3, khi đó A 0 (2)
So sánh (1) và (2) ta đi đến kết luận:
VD2:
Tìm GTNN của:
 biết 
Giải:
Với x < 2 thì (1)
Với xét 
áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
Suy ra minA = - 32 với x = 4
Bài tập đề nghị:
Bài 1. Tìm GTLN của:
Bài 2. Tìm GTLN của:
Bài 3. Tìm GTLN, GTNN của:
 biết 
V. Phương pháp dùng tam thức bậc hai
1. Đổi biến để đưa về tam thức bậc hai đối với biến mới
VD:
Tìm GTLN của:
A = x + 
Giải:
Điều kiện: x 2
Đặt = y 0 
Ta có y2 = 2 – x
A = 2 - y2 + y = - (y- )2 + 
MaxA = 
2. Đổi biến để đưa về bất phương trình bậc hai đối với biến mới
VD:
Tìm GTLN, GTNN của
A = x2 + y2 
Biết rằng x2 (x2 + 2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = 1 (1)
Giải:
Từ (1) suy ra
(x2 + y2)2 – 4 (x2 + y2) + 3 = - x2 0
Do đó A2 – 4A + 3 0 (A – 1)(A – 3) 0 
 1 A 3
Min A = 1 x = 0, khi đó y = 1
MaxA = 3 x = 0, khi đó y = 
3. Đưa về phương trình bậc hai và sử dụng điều kiện 0
VD1:
Tìm GTLN, GTNN của:
A = 
Giải:
Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi phương trình sau đây có nghiệm
a = (1)
Do x2 + x + 1 0 nên
(1) ax2 + ax + a = x2 – x – 1
 (a – 1)x2 + (a + 1)x + (a – 1) = 0 (2)
Trường hợp 1:
Nếu a = 1 thì (2) có nghiệm x = 0
Trường hợp 2:
Nếu a 1 thì điều kiện cần và đủ để (2)