Bồi dưỡng môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề: Đường tròn

Båi D­ìng m«n to¸n 9
Chuyªn §Ò §­êng trßn
A- Môc tiªu:
-Häc sinh cÇn n¾m v÷ng c¸c kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ ®­êng trßn.
-VËn dông mét c¸ch thµnh thôc c¸c ®n,tÝnh chÊt ®Ó gi¶i c¸c d¹ng bµi tËp ®ã.
-RÌn kü n¨ng vµ t­ duy h×nh häc.S¸ng t¹o vµ linh ho¹t trong gi¶i to¸n h×nh häc.
B - NỘI DUNG :
I/ Những kiến thức cơ bản :
Sự xác định và các tính chất cơ bản của đường tròn :
Tập hợp các điểm cách đều điểm O cho trước một khoảng không đổi R gọi là đường tròn tâm O bán kính R , kí hiệu là (O,R) .
Một đường tròn hoàn toàn xác định bởi một bởi một điều kiện của nó . Nếu AB là đoạn cho trước thì đường tròn đường kính AB là tập hợp những điểm M sao cho góc AMB = 900 . Khi đó tâm O sẽ là trung điểm của AB còn bán kính thì bằng .
Qua 3 điểm A,B ,C không thẳng hàng luôn vẽ được 1 đường tròn và chỉ một mà thôi . Đường tròn đó được gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
Trong một đường tròn , đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm dây đó . Ngược lại đường kính đi qua trung đi...à hai cạnh của góc chứa hai dây của đường tròn đó .
Tính chất : Số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn .
Góc tạo bởi một tia tiếp tuyến và một dây đi qua tiếp điểm :
Tính chất : Số đo của góc tạo bởi một tia tiếp tuyến và một dây bằng một nửa số đo của cung bị chắn .
Góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn :
Tính chất : Số đo của góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo của hai cung bị chắn giữa hai cạnh của góc và các tia đối của hai cạnh ấy .
Góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn :
Tính chất : Số đo của góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo của hai cung bị chắn giữa hai cạnh của góc .
Quỹ tích cung chứa góc :
Quỹ tích những điểm M nhìn đoạn thẳng AB cố định dưới một góc µ không đổi là hai cung tròn đối xứng nhau qua AB gọi là cung chứa góc µ dựng trên đoạn thẳng AB . Đặc biệt là cung chứa góc 900 là đường tròn đường kính AB .
Dựng tâm O của cung chứa góc trên đoạn AB :
Dựng đường trung trực d của AB .
Dựng tia Ax tạo với AB một góc µ , sau đó dựng Ax’ vuông góc với Ax .
O là giao của Ax’ và d .
Tứ giác nội tiếp đường tròn :
Đinh nghĩa : Tứ giác có 4 đỉnh nằm trên đường tròn .
Tính chất : Trong một tứ giác nội tiếp , tổng số đo hai góc đối diện bằng 2 góc vuông . Ngược lại , trong một tứ giác có tổng 2 góc đối diện bằng 2 góc vuông thì tứ giác đó nội tiếp một đường tròn .
Chu vi đường tròn , cung tròn , diện tích hình tròn , quạt tròn :
Chu vi hình tròn : 	C = 2R
Diện tích hình tròn : 	S = R2
Độ dài cung tròn :	 	l = 
Diện tích hình quạt tròn : 	S = 
Tính bán kính đường tròn nội tiếp , ngoại tíêp , bàng tiếp đa giác 
Bán kính đường tròn nội tiếp đa giác đều n cạnh :
R = 	r = 
Bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác đều n cạnh
r = 
Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác (R) :
R = 
R = 
Với tam giác vuông tại A : R = 
Với tam giác đều cạnh a : R = 
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác (r) :
r = với ( 2p = a+b+c )
Với tam giác vuông tại A : r = 
Với tam giác đều cạnh a : r = 
Bán kính ...ng kính MN và (O)
Cách dựng : Dựng điểm N rồi dựng điểm P
Bài tập về tiếp tuyến của đường tròn :
Ứng dụng của tiếp tuyến :
Từ các tính chất của tiếp tuyến , của hai tiếp tuyến cắt nhau ta chỉ ra được các đường thẳng vuông góc , các cặp đoạn thẳng và các cặp góc bằng nhau ; cũng từ đó ta xây dựng được các hệ thức về cạnh , về góc .
Từ tính chất của tiếp tuyến chúng ta có thể vận dụng vào tam giác tìm ra công thức tính diện tích của đường tròn nội tiếp , đường tròn ngoại tiếp và đường tròn bàng tiếp tam giác , cũng như bán kính .
X
E
F
A
Lưu ý : Chứng minh Ax là tiếp tuyến của (O;R) chúng ta làm theo một trong các cách sau :
A Î (O;R) và góc OAx = 900 .
Khoảng cách từ O đến Ax bằng R .
Nếu X nằm trên phần kéo dài của EF và XA2 = XE.XF
 ( xem hình ) .
Góc EAX = góc AEF .
Các ví dụ :
Bài 1 : Cho tam giác ABC vuông tại A . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ; d là tiếp tuyến của đường tròn tại A . Các tiếp tuyến của đường tròn tại B và C cắt d theo thứ tự ở D và E .
Tính góc DOE .
Chứng minh : DE = BD + CE .
Chứng minh : BD.CE = R2 ( R là bán kính đường tròn tâm O )
Chứng minh BC là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính DE .
Hướng dẫn chứng minh :
A
E
C
O
B
D
a) Sử dụng tính chất tiếp tuyến ta chứng minh được :
b) Sử dụng tính chất tiếp tuyến ta chứng minh được :
DE = DA + EA = BD + EC
c) Sử dụng tính chất tiếp tuyến ta có : BD.CE = DA.EA .
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông cho tam giác DOE DA.EA = OA2 = R2
d) Trung điểm I của DE là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông DOE . Ta thấy OI là đường trung bình của hình thang vuông BDEC nên OI // BD // CE hay OI ^ BC hay BC là tiếp tuyến đường tròn đường kính DE .
Bài 2 : Cho hai đường tròn ( O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A . Kẻ các đường kính AOB ; AOC’ . Gọi DE là tiếp tuyến chung của 2 đường tròn ; D Î ( O ) ; E Î ( O’) . Gọi M là giao điểm của BD và CE .
Tính số đo góc DAE .
Tứ giác ADME là hình gì ?
Chứng minh rằng MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn